数学方面的毕业论文.doc

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1、分院名称： 学生学号：本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 平方差型不定方程的解法 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 2011年 5 月目 录承诺保证书1 不定方程及其解法简介 1 1.1 几类不定方程 1 1.1.1 一次不定方程 1 1.1.2 沛尔方程 2 1.1.3 勾股方程 2 1.1.4 不定方程 3 1.2 在数学竞赛中不定方程问题的类型 3 1.3 解决不定方程的常用方法 3 2 平方差型不定方程的解法 4 2.1 质因子分析 4 2.2 奇偶性分析 7 2.3 整数范围分析 9 2.4 运用二项式定理10参考文献 14英文摘要 15

2、平方差型不定方程的解法 摘要：本文简析了不定方程的含义、几类不定方程的类型及在中学数学竞赛中不定方程问题的类型,并简单阐述了六种解不定方程的方法.文中着重介绍了平方差型不定方程，归纳总结了什么是平方差型不定方程，并通过实例讨论了平方差型不定方程在质因子分析、奇偶性分析、整数范围分析和运用二项式定理等方面的解法. 关键词：不定方程 平方差型 解法 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程的内容十分 丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有

3、较为密切的联系. 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组. 不定方程在经过了无数数学家的反复研究、解答以及证明后，终于总结出几类不定方程、不定方程的解法以及解答不定方程的解题技巧.在本文的第一部分将作简单的介绍，第二部分将着重分析不定方程中的一种-平方差型不定方程的解题方法.1 不定方程及其解法简介1.1 几类不定方程 通常我们把不定方程分为一次不定方程、沛尔方程、勾股方程、不定方程这四种. 1.1.1 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有

4、如下定理:定理一：不定方程为整数.有整数解的充要条件是.定理二：若为之一解，则方程全部解是，（为整数）.1.1.2 沛尔方程 形如 的方程称为沛尔方程.能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使最小的解，则其全部正整数解由（）给出. 只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. 满足的关系 , . 1.1.3 勾股方程 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知实际上两两互素.这种两两互素的正整数解称为方程的本原解，也称为本原的勾股数.容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式.定理三：方程满足，的全部正整数解可表为 其中是满足一

5、奇一偶，且的任意整数.1.1.4 不定方程 这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设，则,其中，故，所以.因此方程的正整数解可表示为 其中都是正整数，且.反过，易知上述给出的都是解. 1.2 在数学竞赛中，不定方程问题的类型 不定方程问题一般会分为三类即求不定方程的解、判断不定方程是否有解及判断不定方程解的数量（有限还是无限）.随着问题的不同解题的方法也就不同.1.3 解决不定方程问题的常用方法 解决不定方程的问题有很多种方法，下面就简单介绍一下因式分解法、估计法、同余法、构造法、无穷递降法、换元法这六种方法.1.3.1 因式分解法 将方程的一边化为常数，作质因数分析

6、，另一边含未知数的代数式也作因式分解.考虑各因式的取值情况，可将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.1.3.2 估计法 先通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围，这是解不定方程的一个常用技巧.1.3.3 同余法 如果不定方程有整数解，则对于任意，其整数解 满足，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石. 利用同余关系解不定方程关键在于模的选择.一般而言，可考虑除数或除数的因数、项的系数或幂的指数作为模.1.3.4 构造法 在处理不定方程问题时，

7、可根据题设的特点，构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式等.构造法常用来证明不定方程有解或者有无穷多组解.1.3.5 无穷递降法 若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，可以推出：存在正整数，使得成立，适合证明不定方程无正整数解.1.3.6 换元法 利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解目的.2 平方差型不定方程 一般来说，平方差型不定方程是指未知数在指数位置，并且可通过平方差公式将方程化简解决的不定方程. 解决平方差型不定方程通常先选择适当的模数（或结合二项式定理）对其指数进行奇偶性分析，再因式分解.最后

8、，通过对质因子的分析来求解.下面就介绍在数学竞赛中常见的几类平方差型不定方程的解法.2.1 质因子分析 首先通过观察或计算方程得出方程的未知数的奇偶性，其次将式子变形分解，再将未知数替换成两个或两个以上的其他未知数，将方程分成两个简单的方程，最后讨论解得情况. 例1 试求方程的全部正整数解.分析 为了分解方程创造条件，应先证明是偶数.是偶数这一事实，从原方程本身不易导出来.我们将原方程模，那么方程被化简，消去两个未知量，进而易于产生某些结果.解 显然与不同余，故 将方程模，得出 因此是偶数，设，将原方程变形为 由及唯一分解定理推出正整数与都是（素数）的方幂，但这两数的和是（注意与不同余），故

9、因此必有 ，由以上两式消去，得 若为奇数，则是奇数平方的倍，故得左边，右边这不可能，因此式偶数，设，将的左边用平方差公式分解，不难求出其解，但我们宁愿用下面的方法是奇数，设为，则成为 若，则与中至少有一个有奇素数因子，显然不能成立，从而，故，这样易知所求的全部解为.例2 已知为完全平方数，求所有的有序整数对.分析 显然均为非负整数，且必为一奇一偶.那么我们就应用质因子分析，将原方程变形分解，使之更易讨论得出结果.解 设，首先方程两边得 注意到，则必为一奇一偶，下分别讨论： 为奇数，为偶数设，则 注意到不为的倍数，则和不可能均为的倍数，故必有从而 若，则，从而为一组解.若，则，易知使得的最小正整

10、数，从而满足上式的均为的倍数，这与为奇数矛盾. 为偶数，为奇数设，则 注意到不为的倍数，则和不可能均为的倍数，故必有 从而 若，则，从而为一组解.若，则，而使得的最小正整数，从而满足上式的均为的倍数.设注意到为大于等于的奇数，并记则 从而 注意到是奇数，则 ，其中为正整数，且，又由知，从而 这与矛盾，综上知，或.总结 这种方法在求所有解是应用广泛.一般的在遇到未知数可以判定其中一个或两个的奇偶性，然后将为偶数的未知数质因子分析.将方程分解成两个简单并且好分析的方程.这种方法的关键是找到偶数未知数，并将其质因子分析.2.2 奇偶性分析 从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围.另一

11、方面又可用或代入方程，变形为更便于讨论的等价形式.这种方法的适用范围很广. 例3 求所有满足的正整数三元组.分析 通过方程取模的出、都是偶数运用质因子替换，得出两个新的简单的不定方程，进一步讨论新方程中未知数的奇偶行进而解决问题. 解 两边取得所以是偶数，再得所以也是偶数.此时令于是，由可知 由唯一分解定理 两式相加从而 注意到是奇数，所以要使成立，一定有.于是 当时，在的两边取，得这显然是不成立的，所以，从而.故方程只有唯一的一组解.例4 试求方程的所有正整数解. 分析 通过质因子将方程分解成两个简单不定方程，通过讨论质因子、的奇偶性得出、的值进而得出、的值.解 显然是整数解.现设，因故有两

12、种情况：或者当时，可令，故 此时必有 ，其中易知，故 于是有，即 从而是偶数，可令，故 故，此时由奇偶性知必须 ，从而，进而，同样的方法可证当 时，必有，综上或或.总结 这种方法通常用在有范围或有约束的解上，例如非负整数解或含未知数的式子是完全平方数等等.通过分析某一个未知数是偶数，则运用偶数的性质讨论其他未知数的奇偶性，从而用质因子分析进一步解析方程得出结果. 2.3 整数范围分析通过不等式的讨论，限制未知数的取值范围是解不定方程的一个常用技巧.一般地说，当方程的一个含未知数项的次数比其他项都高时，或者当某一个未知数的各项关于该未知数次数相同时，可考虑通过除以一式，将方程变形为带分式的形式，

13、并通过不等式估计来求解. 例5 求方程的一切整数解. 分析 原方程即 因此右端必须为整数，从而整数都不可能是负数；再从被除所得余数为，进而讨论可能取的值. 解 由可见，整数中不可能仅有一个是负的，否则右端为分数，左端是整数矛盾，仅、，、或、是负整数时，例如仅、为负整数时，则 这时式右端仍是分数，也不可能都是负整数，否则 仍然产生矛盾，所以。若，即为正整数，则 被除所得的余数为，但，因此被除所得的余数也是，于是从式推出另一方面时，时，故不论哪种情形，都有与不同余这一矛盾推出，这时原方程为由于所以，即原方程只有唯一一组整数解.总结 此类方法用在讨论不出未知数的奇偶性的不定方程.通过在整数范围内分析

14、未知数的几个范围确定所有未知数的值.这种方法通常对未知数的要求是整数.2.4 运用二项式定理二项式定理在不定方程中也很实用，我们通过对不定方程的变形，进而由二项式定理得出比较容易得出某些结论的式子，使问题简化.例6 证明不定方程，仅有一组正整数，.分析 方程是著名的卡特朗猜想的特殊情形.卡特朗猜想：是仅有的一对差为的正整数方幂，即不定方程 只有一组正整数解.证明 首先证明没有奇素数因子，采取反证法，设有一个奇素数，使，设 ，其中与不同余由二项式定理，可将变形为 由此可见，即，从而，设 ，与不同余，则我们将通过比较式两边所含的幂次来导出矛盾.对，设，则在 中，的幂次至少是若，则，；若，则由得 又

15、，故，因此，从而 故我们总有，于是 进而有 又，因此式左边含的幂次为，另一方面，由于，故即式右边含的幂次为，但由原方程可见，又，故从而 因此式左右两边含的幂次不等，这不可能.所以不含奇素数因子，即为的幂，设，由前面证明过的，可知是偶数，设，方程可分解为 因上式左边两个因数的最大公约数为，而右边是的幂，故必须 ，因此，即，故.总结 在不能确定未知数的奇偶性和范围的情况下就应运用二项式定理，确定未知数的范围或某种结果，从而进行因式分解或其他运算解决问题.不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富.我国对不定方程的研究已经延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为

16、中国剩余定理.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程可以拓展数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.而对于高于二次的不定方程，相当复杂.当时，没有不等于零的整数解，即著名的费尔马大定理，经历个世纪，已由英国数学家证明完全可以成立.以上就是几种解不定方程的方法，鉴于不定方程的多变性，解法也具有多变性.总的来说，解平方差型不定方程，首先通过将方程两边取模，得出方程 的未知数的奇偶性，再通过质因子分析将方程分解为两个较简单的不定方程，然后通过其他方法解出方程的解得问题.近年来，这个领域更有重要进展.但从整体上来说，对于像平方差型不定方程这类的高于二次的多元不定方程，人们知道的

17、不多.另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一.本文虽然介绍了四种不定方程的类型，但随着题的类型不同那么它们的分类也就不尽相同，所以在不定方程的分类上可能还不到位.而平方差型不定方程问题是本文的重点，在这类不定方程的解法上可能也有不同的，其他方法没有讲到，但在以后会尽量将其补足.参考文献： 1 左宗明.金牌奥赛教程（数学高中综合分册）M.浙江大学出版社,2009.2 马兵.高中数学竞赛标准教材M.浙江大学出版社,2007

18、. 3 黄宣国.数学奥林匹克大集1994M.上海教育出版社，1997.4 刘鸿坤等.国内外数学竞赛试题汇编M.上海科学技术出版社，1993.5 李胜宏 李明德.高中数学竞赛培优教程M.浙江大学出版社，2009.6 单墫等.数学奥林匹克竞赛题解精编M.南京大学出版社，1991. 7 丁萍 冯惠愚.高中数学竞赛全解题库M.南京大学出版社,2010.8 杨培谊 于鸿.高中数学解题方法与技巧M.北京学院出版社，1993.9 竺仕芳.激发兴趣走出误区综合高中数学教学探索J.宁波教育学院出版社，2003.10 肖果能.一类不定方程的整数解J.长沙铁道学院学报，1994.11 周长根.几类特殊不定方程的研究

19、M.西北大学出版社，2010.12 马文波.几类特殊的不定方程问题初探J.武汉理工大学出版社，2006.13 刘培杰.数学奥林匹克与数学文化M.哈尔滨工业大学出版社，2006.THE SOLUTION OF THE SQUARE-TYPE INDEFINITE EQUATION Abstract：This article analyzes the meaning of indeterminate equation and introduces several types of indeterminate equation of the type. In middle school mathem

20、atics competition in the type of problem indeterminate equation. Describes briefly the six methods of indeterminate equation. The paper highlights the square-type equation and summarized what is a square-type equation and discusses the square-type equation through examples in quality factor analysis、parity analysis、integer range analysis and the use of the binomial theorem aspects of solution.Key word: indeterminate equation; the square-type; solution