应用数学硕士学位论文利用小波编码的图像压缩研究.doc

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1、 桂林电子工业学院研 究 生 学 位 论 文题目:利用小波编码的图像压缩研究(英文)The Study of Image Compression Based on Wavelet Coding研究生姓名： 指 导 老师： 申 请 学位：理学硕士学科、专业：应用数学提交论文日期：2005.4中文摘要随着计算机多媒体技术的不断发展，人们期望更高性能的图像压缩技术的出现。出于图像存储和大量图像数据传输的考虑，良好的图像压缩技术不仅能够实现高压缩率和高保真度，还应该满足诸如渐进传输、图像渐现等网络应用的需要。本文首先综述了图像压缩的技术介绍、基本概念和小波编码理论及其在图像处理中的应用，然后详细介绍了

2、嵌入式零树编码的算法和实现方法以及对其做的改进方法，最后在改进的EZW算法的基础上设计了一种结合嵌入式零树量化和自适应算术编码相结合的小波变换混合编码方案。本文所做主要工作具体如下:（1）研究了小波基的选取原则，通过对性能优良的Symlets小波的2到5阶正交小波基的验证，得到了实际的仿真结果数据。最后通过仿真结果数据选择了Symlets 4阶小波基对图像进行三级分解。（2）仔细分析了Shapiro的嵌入式零树编码算法（EZW），从小波变换的理论出发，通过仿真实验，对图像进行小波变换后小波系数的特点进行分析，讨论了其适用于图像压缩编码的优势，提出了有利于提高图像压缩质量和编码效率的设计方案；同

3、时，又根据小波变换系数的分布特点，分析了嵌入式零树量化编码的优缺点，在仿真实现了传统的EZW算法的基础之上，提出了改进的小波零树编码算法，并在量化过程中充分考虑了图像边界问题和人的视觉特性对于重构图像质量的影响。通过对仿真实验数据进行结果分析，验证了改进的方法比EZW算法更有效，图像效果更好。（3）在EZW算法的基础上，通过设立标志矩阵和以扫描单元为单位进行主表扫描的方法提高EZW算法的编解码时间，改进了算法执行的时间复杂度。通过仿真实验对编解码时间进行了比较，验证了改进的方法比EZW算法编解码时间大大缩短。关键词:图像压缩、小波分析、小波变换、嵌入式零树编码、量化、EZWAbstractWi

4、th the development of Multimedia technique, image compression plays an important role in the storage and transfer of mass image data. A favorable image compression technique can not only achieve high compression ratio and fidelity but also meet the demands such as progression transmission.Firstly, t

5、he technique and basic concept of image compression, wavelet coding theory and image compression using wavelet coding are introduced. Secondly, the embedded zero-tree wavelet algorithm, implement method and a new method based on it are presented in detail. Finally, with the analysis on distribution

6、of transform coefficients and the advantage and shortage of the traditional EZW algorithm, an advanced wavelet zero-tree coding algorithm of image compression is developed, which is based on implementing the EZW algorithm. The main work is listed as follows:(1) In this part, the orthogonal Symlets w

7、avelet bases from 2 to 5 are analyzed. And a simulation result also is shown. So, the four Symlets wavelet base is chosen to decompose images.(2) The embedded zero-tree wavelet algorithm, which is proposed by Shapiro, is analyzed detailedly. Based on the theories of wavelet transform in image compre

8、ssion, and with lots of experiments, the characteristics of wavelet coefficients are analyzed and the advantage of why wavelet transform is applied for image coding are discussed.Regarding to its shortcomings, a new quantization method based on zero-tree is presented. At the same time, with the anal

9、ysis on distribution of transform coefficients and the advantage and shortage of the traditional EZW algorithm, an advanced wavelet zero-tree coding algorithm of image compression is developed, which is based on implementing the EZW algorithm. In addition, some experiment results are given to testif

10、y the efficiency of the advanced EZW algorithm objectively and subjectively.(3) Based on EZW algorithm, improving the coding and decoding time through setting the flag matrixes and scanning the main table based on scanning units. In addition, some experiment results about comparing the executing tim

11、e are given to testify the new methods executing time. The results prove that the new method is much faster obviously than the traditional EZW.Keywords: image compression, wavelet analysis, wavelet transform, quantization, embedded zero-tree coding, EZW目录第一章 图像压缩的基本知识11.1图像压缩技术介绍11.1.1图像压缩技术的产生背景11.

12、1.2图像压缩的发展历程与应用前景11.2图像压缩的基本概念21.2.1图像与图像的特征21.2.1.1位图图像(Bit Map)21.2.1.2位图图像的空间冗余性31.2.2图像压缩的基本过程31.2.2.1编码与解码31.2.2.2压缩方法分类与评价的技术指标31.2.2.3现有图像编码技术的介绍4第二章 小波变换基本理论及其在图像压缩中的应用92.1 二维小波及其Mallet算法92.1.1 多分辨率分析92.1.2 Mallet算法102.2图像的小波表示112.2.1图像的小波分解112.2.2 图像的小波重建122.3 小波变换在图像压缩中的应用132.3.1 小波变换编码的优越

13、性132.3.2 小波变换编码的基本框架142.3.3 图像小波变换系数的统计特性142.4 图像处理中常用的小波函数15第三章 图像的量化编码以及嵌入式零树编码243.1量化的基本原理243.2基于小波变换的编码技术243.3嵌入式小波系数零树图像编码253.3.1小波系数的四叉树结构253.3.2内嵌编码的原理263.3.2嵌入式零树编码算法原理2273.4 嵌入式零树编码的基本步骤32第四章 小波基的选取研究及仿真384.1 小波基的选取原则384.2 小波基的正则性阶数与图像数据压缩效果的关系394.3 多分辨子图相似性414.4 小波变换的级数的选择434.5 边界问题对图像压缩的影

14、响444.6 小波基的实际选取与仿真实验结果44第五章 嵌入式零树编码改进算法及其编码方案485.1嵌入式零树编码的缺点和不足485.2小波系数零树量化方法的改进与实现495.2.1小波系数的特点495.2.2改进的算法和编码、扫描方案505.3整体方案实现流程545.4仿真结果分析55第六章 结论58参考文献59发表论文62致谢63第一章 图像压缩的基本知识1.1图像压缩技术介绍1.1.1图像压缩技术的产生背景 在人类认识自然，改造自然的科学探索与实践中，信息扮演了至关重要的角色。特别是自二十世纪中叶以后，随着计算机科学的迅猛发展，信息科学与计算机科学紧密结合，相互促进，其地位与日俱增。当今

15、的人们己普遍意识到，未来的时代就是信息时代。 一般地，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最重要的信息媒体包括如文字、图像、声音等人们能感知到的，或微波、激光等人们无法感觉的。其中，图像是最常见的信息存载和表现形式，它不仅十分直观和生动的，而且内涵非常丰富。同时，图像与人们日常的生活与工作密不可分。每天，人们从睁开眼睛的时候起，就会利用各种图像信息来帮助自己的行走、交流、判断思考等等活动，阅读与看电视是今天人们最喜爱的娱乐方式之一。可以想见，如果失去视觉能力，生活将会有多么的不便与枯燥。在科学研究上，图像也具有非常重要的地位，它的应用遍及宇宙探索、海底勘探、数字电视、虚拟现实、电子商务、互

16、连网等领域。 图像作为信息的载体具有数据量非常大的缺点。例如，一帧CCIR601标准电视图像的数据量是1.2Mbyte，一分钟的数据量为1.9Gbyte。然而，普通PC计算机的硬盘的存储量是1OGbyte，还不足以记录七分钟的CCIR601标准电视图像的数据。可见，图像本身过于庞大的数据量将妨碍它的存储、传送和处理。因此，通常情况下，图像的记录和传播首先需要进行数据压缩处理。压缩的目的就在于减少数据存储空间、提高传输速率和节约费用。 目前，图像压缩技术与计算机多媒体技术紧密相关。多媒体技术是二十一世纪计算机技术发展的一个重大热点，它是将文本、图形、音频、动画通讯和计算机技术结合在一起的新枯术。

17、由干图像、音频、视频 ,动画的数据量非常巨大，对原始多媒体数据的保存与实时传送常常难以保证，因此它们的压缩和解压缩技术成了多媒体技术中关键的技术之一。多媒体数据，尤其对图像数据的有效压缩成为了实现图像通信和储存的必要前提，是多媒体计算机和计算机网络市场化的根本保证。1.1.2图像压缩的发展历程与应用前景 图像压缩技术的目的是在维持可接受的保真度的条件下，尽可能地减少表征该图像的数据量。它的出现可以追溯到1948年提出的电视信号数字化，到今天己经有50年的历史了。二十世纪五十年代和六十年代的图像压缩技术由于受到电路技术等的制约，仅仅停留在预测编码、亚采样以及内插复原等技术的研究，还很不成熟。19

18、69年美国召开的第一届“图像编码会议”标志着图像编码作为一门独立的学科诞生了。 二十世纪七十年代和八十年代，人们突破了Shannon理论的框架，重视对感知特性的利用，使图像压缩技术取得突破性进展。在这一阶段，图像压缩技术的主要成果体现在变换编码技术上。变换编码以其压缩比高、误差影响小等明显优势成为图像压缩编码的核心技术之一。这一时期的代表“静止彩色图像压缩编码国际标准(JPEG标准)”就是以变换编码为基础的。此外，图像压缩技术的发展与矢量量化技术(简称VQ)有十分紧密的联系，矢量量化方法近十几年发展很快，新方法层出不穷，为编码技术提供了灵活的应用空间。而优秀的编码技术是高效压缩的直接因素。 二

19、十多年来，有关图像编码技术的科技成果和科技论文与日俱增，图像编码技术开始走向繁荣。自二十世纪八十年代以后，由于小波变换理论、分形理论人工神经网络理论、视觉仿真理论的建立，人们开始突破传统的信源编码理论，例如不再假设图像是平稳的随机场。图像编码向着更高的压缩比和更好的压缩质量的道路前进，进入了一个崭新的，欣欣向荣的发展时期。1.2图像压缩的基本概念1.2.1图像与图像的特征1.2.1.1位图图像(Bit Map) 原始位图图像(Bit Map)的存储是图像文件格式的最主要存储形式，它通过定义一个长X宽Y的二维矩阵，使图像的每一个像素点的值对应了矩阵中的一个坐标位置(X, Y )，全部图像的像素点

20、组成了长X宽Y矩阵的十六进制数据流。在变换编码技术中，将图像看成是二维离散信号。 位图图像具有以下的特点，在实际的特征提取中，对哪一种的重视主要依赖于对象和处理的目的。 (1)点的特征: 仅由各个象素就能决定的性质。如单色图像中的灰度值，彩色图像中的R、G、B值。(2)局部的特征:只依赖于点周围的小范围邻域的性质，可以举出线和边缘的强度、方向、密度、小范围统计量(平均值、方差等)等。(3)区域的特征: 在对应图像内，对象物区域内的点或者局部的特征分布、统计量、以及区域的几何特征(面积、形状连接情况等)等。(4)整体的特征: 将整个图像作为一个区域看待时的统计特性。1.2.1.2位图图像的空间冗

21、余性 在一幅图像中，位图各象素值的出现具有很小的随机性，它所使用的颜色限于全部调色板很小的一个部分，并且往往在一块很小的区域重复出现相同和相似的像素字节，而不是平均分配到整个显示区域，图像信号固有的统计特性表明，图像的相邻像素、相邻行和相邻列之间都存在较强的相关性。 利用某种编码方法在一定程度上消除这些相关性(即去除那些无用的冗余信息)便可实现图像的数据压缩。这种冗余来自多个方面，其主要有空间冗余、时间冗余、结构冗余、知识冗余、视觉冗余、信息熵冗余等。在对静态数字图像的编码过程中，主要依据了图像的空间冗余性。1.2.2图像压缩的基本过程1.2.2.1编码与解码为了减少数据的冗余，往往采用某种压

22、缩算法把原始图像存储为具有一定格式的图像压缩文件。目前的数据压缩算法很多，压缩率也不尽相同。 图像的压缩就是将图像的位图信息转变成另一种能将数据量缩减的表达形式，该操作称为编码(Encode)。在显示时则重新将编码数据的形式还原到位图形式，该操作称为解码(Decode)。编码的压缩比是指编码前后的数据量的比值。对同一图像来说，在对其压缩数据解码时使用的表说明(Table Specification)必须和编码时所用的表说明一致。如果将压缩图像数据交给另一个应用程序去解码，则必须将编码时所用的表说明与压缩数据一起交给另一个应用程序。1.2.2.2压缩方法分类与评价的技术指标压缩算法可以分成两类:

23、无失真压缩(Lossless Compression)和有失真压缩(Lossy Compression)。前者在对原图像编码后经对应的解码算法处理可以获得与原图像完全一样的重建图像;后者生成的图像经解压算法处理后与原图像在视觉上保持一致，但有一定的信息损失。一般说来，压缩比越大，视觉上的一致性越差。图像编码常用的技术指标主要有两个方面:压缩比或压缩率(见式1-1)和保真度(包括主观失真和客观失真);此外，压缩和解压缩过程消耗的时间也经常是需要关心的。 （1-1） 压缩后的图像允许有一定的误差，对图像质量的评价方法以保真度为准则，它包括客观和主观两个方面。前者以压缩前后图像的误差来度量，目前使用

24、较广的是信噪比（SNR），它是指原始图像和压缩后图像之间的均方根误差（）或均方根信噪比压缩图像与原始图像的均方误差()可表示为: （1-2）相应的均方根误差是: （1-3）信噪比(SNR)和峰值信噪比(PSNR)分别定义为(单位分贝(dB): （1-4） （1-5）是像素最大灰度值，一般是255。其中， 被处理的图像最终是由人来观察和评价的，用人的主观视觉来评价更 具有实际意义。因为同一幅图像在不同人看来可能有不同的观察效果，主 观质量评价是一种统计意义下的结果。1.2.2.3现有图像编码技术的介绍 静止彩色图像压缩编码方法根据去除冗余信息种类的不同可以分为两大类，即分量编码和综合编码。分量编

25、码是把彩色图像的各分量视为相对 独立的灰度图像进行压缩，以往的工作主要就是集中在灰度图像编码方法 的研究上。然而，这种将彩色图像各分量分离处理的做法显然是忽视了分 量间存在的冗余信息，因此人们开始探讨更适合彩色图像自身特点的编码方法。综合编码方法在利用灰度图像压缩技术去除彩色图像各分量内部冗余的同时，引入了去除色空间冗余的机制。以下是对图像编码中常用技术的介绍:I、行程长度编码(RLE) 行程长度编码(run-length encoding)是压缩一个文件最简单的方法之一。它的做法就是把一系列的重复值(例如图像像素的灰度值)用一个单独的值再加上一个计数值来取代。比如有这样一个字母序列aabbb

26、ccccccccdddddd它的行程长度编码就是2a3b8c6d。这种方法实现起来很容易，而且对于具有长重复值的串的压缩编码很有效。例如对于有大面积的连续阴影或者颜色相同的图像，使用这种方法压缩效果很好。很多位图文件格式都用行程长度编码，例如TIFF PCX, GEM等。II、霍夫曼编码 霍夫曼编码(Huffman encoding)是常用的压缩方法之一，它是通过用更有效的代码代替数据来实现的。霍夫曼编码最初是为了对文本文件进行压缩而建立的，迄今已经有很多变体。它的基本思路是出现频率越高的值，其对应的编码长度越短，反之出现频率越低的值，其对应的编码长度越长。霍夫曼编码很少能达到8:1的压缩比，

27、此外它还有以下两个不足:（1）它必须精确地统计出原始文件中每个值的出现频率，如果没有这个精确统计，压缩的效果就会大打折扣，甚至根本达不到压缩的效果。霍夫曼编码通常要经过两遍操作，第一遍进行统计，第二遍产生编码，所以编码的过程是比较慢的。另外由于各种长度的编码的译码过程也是比较复杂的，因此解压缩的过程也比较慢。（2）它对于位的增删比较敏感。由于霍夫曼编码的所有位都是合在一起的而不考虑字节分位，因此增加一位或者减少一位都会使译码结果面目全非。III、预测及内插编码 一般在图像中局部区域的象素是高度相关的，因此可以用先前的象素的有关灰度知识来对当前象素的灰度进行预计，这就是预测。而所谓内插就是根据先

28、前的和后来的象素的灰度知识来推断当前象素的灰度情况。如果预测和内插是正确的，则不必对每一个象素的灰度都进行压缩，而是把预测值与实际象素值之间的差值经过熵编码后发送到接收端。在接收端通过预测值加差值信号来重建原象素。 预测编码是数据压缩技术的一个重要分支，它主要是以现代统计和控制理论为基础，因此可以方便地实现彩色图像的色空间压缩，如设计预测器在彩色分量间进行预测来去除彩色图像色空间的冗余信息。预测编码可以获得比较高的编码质量，并且实现起来比较简单，因而被广泛地应用于图像压缩编码系统。但因这种方法本身的压缩能力有限，而且精确的预测有赖于图像特性的大量的先验知识，并且必须作大量的非线性运算，因此一般

29、不单独使用，而是通常要与其它编码方法配合使用。如在JPEG中，使用了预测编码技术对DCT直流系数进行编码，而对交流系数则使用量化游程编码霍夫曼编码。IV、矢量量化编码 矢量量化编码利用相邻图像数据间的高度相关性，将输入图像数据序列分组，每一组m个数据构成一个m维矢量，一起进行编码，即一次量化多个点。根据香农率失真理论，对于无记忆信源，矢量量化编码总是优于标量量化编码。在VQ算法中，图像中的各种相关信息(如:各象素点间、各块之间以及相邻编码地址间等)可通过有效的码书设计得以充分去除。用相近的方法，也可将彩色图像的各分量联合编码，使得色空间冗余得到同样效率的消除。编码前，先通过大量样本的训练或学习

30、或自组织特征映射神经网络方法，得到一系列的标准图像模式，每一个图像模式就称为码字或码矢，这些码字或码矢合在一起称为码书，码书实际上就是数据库。输入图像块按照一定的方式形成一个输入矢量。编码时用这个输入矢量与码书中的所有码字计算距离，找到距离最近的码字，即找到最佳匹配图像块。输出其索引(地址)作为编码结果。解码过程与之相反，根据编码结果中的索引从码书中找到索引对应的码字(该码书必须与编码时使用的码书一致)，构成解码结果。由此可知，矢量量化编码是有损编码。目前使用较多的矢量量化编码方案主要是随机型矢量量化，包括变换域矢量量化，有限状态矢量量化，地址矢量量化，波形增益矢量量化，分类矢量量化及预测矢量

31、量化等。 VQ方法具有压缩能力强的特点，它的核心问题就是码书设计。目前除了理论上进行最佳矢量量化及最佳设计算法的研究外，主要的研究集中在如何降低指数式上升的存储与计算复杂度，以便把VQ推向实用并作出硬件产品。V、变换编码 变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。由于正交变换的变换矩阵是可逆的且逆矩阵与转置矩阵相等，使解码运算是有解的且运算方便;更重要的是正交变换在变换结果上可使能量向

32、低频成分方向集中，边缘信息和高频信息在高频成分上得到反映，从而图像比特率被压缩;编码方面，将对低频成分分配较多的比特数，对高频成分分配较少的比特数。 变换总是选用正交变换来做。常用的变换有K-L变换、DCT变换和小波变换等。VI、模型法编码 预测编码、矢量量化编码以及变换编码都属于波形编码，其理论基础是信号理论和信息论;其出发点是将图像信号看作不规则的统计信号，从象素之间的相关性这一图像信号统计模型出发设计编码器。而模型编码则是利用计算机视觉和计算机图形学的知识对图像信号的分析与合成。 模型编码将图像信号看作三维世界中的目标和景物投影到二维平面的产物，而对这一产物的评价是由人类视觉系统的特性决

33、定的。模型编码的关键是对特定的图像建立模型，并根据这个模型确定图像中景物的特征参数，如运动参数、形状参数等。解码时则根据参数和已知模型用图像合成技术重建图像。由于编码的对象是特征参数，而不是原始图像，因此有可能实现比较大的压缩比。模型编码引入的误差主要是人眼视觉不太敏感的几何失真，因此重建图像非常自然和逼真。1988年召开的首届“64kbit/s活动图像编码工作会议”确定模型编码为新一代的编码方法。模型编码有很大的发展空间和希望。VII、分形编码 分形(Fractal)是Mandelbrot在1977年提出的几何学新概念。Fractal来自拉丁文Fractus，意为“碎片”。分形压缩的基本原理

34、是利用分形几何中的自相似性原理来进行图像压缩。所谓自相似性就是指无论几何尺度如何变化，景物的任何一小部分的形状都与较大部分的形状极其相似。 分形编码方法分形图像压缩是使用IFS来刻划自然物体的自相似性(这种自相似性可以是确定的，也可以是统计意义上的)，并将其应用于图像编码。分形压缩编码的压缩比可以达到很高，对某些特定图像甚至能够达到10000 : 1。正是由于这一点，自从分形编码方法出现以来，这项技术一直受到广泛关注。由于彩色图像的各色分量是出于同一景物模型，因此更为明显地体现了分形自相似性的特点，在各分量图像间引用分形编码方法，可以实现色空间的压缩。分形编码目前仍处于研究阶段，大多数关键问题

35、尚未完全揭示。 与DCT不同，分形编码利用的“自相似性”不是邻近样本的相关性，而是大范围的相似性，即图像块的相似性。对相似性的描述是通过仿射变换来确定的，而编码的对象就是仿射变换的系数。由于仿射变换的系数的数据量小于图像块的数据量，因此可以实现压缩的目的。分形压缩一般分三步: （1）图像划分，一般是划分为互不重叠的大小相等的方块。 （2）区块与域块的匹配。一般采用比区块大一倍的域块，由于随机搜索匹配比较费时，所以事先将域块分类，或事先做好域块库。 （3）确定映射参数，使重建图像与原图像之间的范数最小。分形压缩编码是不对称的，即它的编码时间比解码时间要长得多，要是因为第二步搜索耗时太长。VIII

36、、零树编码基于小波变换的零树编码是由Lewis和Knowles在1992年提出的。所谓的“先验知识”，即人们对图像感兴趣的部分主要由平坦区域、纹理和边界等组成，容许人们利用一种跨带结构形式。零树编码器就是将跨带相关性思想与“零”值编码概念有效地结合起来，得到强有力的压缩算法。零树编码所产生的重构图像的率失真性能低于JPEG标准。它的优势在于自动检测零树，通过计算己知系数的幅度来确定零树。但是由于在确定零树位置时无需任何附加信息，零树编码的这种简单性也带来了压缩编码性能的降低。 Lewis等人提出的零树编码算法虽然存在着缺陷，但它的基本思想还是被后人所吸收，在1993年，Shapiro提出了著名

37、的EZW(嵌入式零树小波编码)算法，它第一次充分地确定了一个有意义的映射关系，而这就是小波编码的关键所在。EZW使零树编码思想成为了基于小波变换的图像压缩技术的一个里程碑。当然，嵌入式零树小波编码也并不是完美无缺的，对零树小波的改进也是现代图像编码技术研究的一个焦点，本文在以下的论述中也将会有进一步的阐述。VIIII、混合编码 以两种或两种以上的方法对图像进行编码称为混合编码，JPEG、MPEG都属于混合编码。第二章 小波变换基本理论及其在图像压缩中的应用2.1 二维小波及其Mallet算法2.1.1 多分辨率分析多分辨分析又称多尺度分析，它是Mallet在80年代提出的，可用于正交小波的分解

38、和重建。其基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制的伸缩和平移构成了的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallet在构造正交小波基时提出了多分辨分析，将之前的所有正交小波基的构造方法统一起来，给出了正交小波的构造方法和正交小波变换的快速算法，即Mallet算法。Mallet算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典发傅立叶变换中的地位。定义1：多分辨分析是指空间中的一个闭子空间序列要满足以下条件：（1） 单调性：（2） 稠密性：close（3

39、） 分散性：（4） 伸缩性：（5） 平移性：（6） 的Riesz基的存在性：即存在一个函数，使是的Riesz基，称为尺度函数。 定义函数 （21）即函数系是规范正交的。设以表示分解中的低频部分，表示分解中的高频部分，则是在中的正交补，即： ， （22）显然有 （23）则在多分辨分析的子空间可以用有限个子空间来逼进，即有 （24） 从包容关系,可以得到尺度函数的一个极为有用的性质：因为，所以可以用子空间的基函数 展开，令展开系数为，则 （25）这就是尺度函数的双尺度方程。另一方面，由于,故,这意味着小波基函数可以用子空间的正交基展开，令展开系数为，即有： （26）这就是小波函数的双尺度函数。 上

40、式的两个方程式表明，小波基可由尺度函数的平移和伸缩的线性组合得到，其构造归结为滤波器的频域表示和(的频域表示)的设计。2.1.2 Mallet算法 设是一多分辨逼近，为对应的尺度函数，由于，所以可以在的正交基上展开： （27）将式子的两边与作内积并化简得： （28）令H表示一离散滤波器，其脉冲响应为： （29）为镜像滤波器，其脉冲响应 ，则 （210）即可以通过将和滤波器进行卷积，然后对结果进行隔点采样而获得，对于的所有离散逼进，可以由通过反复迭代而得到，这一算法被称为“Mallet算法”，又被称为“金字塔算法”。2.2图像的小波表示2.2.1图像的小波分解 图像属于二维信号，图像的小波变换必

41、然要用到二维小波变换。由于在计算机中处理的都是离散信号，故图像的小波变换就是二维离散小波变换。二维离散小波变换往往可以由一维信号的离散小波变换推导得之。假设(x)是一个一维的尺度函数，是相应的小波函数，则可以得到二维小波变换的基础函数： （211） 可以证明：在二维情况下，存在可分离的唯一尺度函数，其伸缩和平移可构成的一组正交基。 设，则函数族构成的正交基。 对于一类关于的可分离的多分辨率逼进，每个矢量空间是可以分解为两个相同的子空间的张量积，即，而且当且仅当构成的多分辨率逼进时，矢量空间序列构成的多分辨率逼进。可以证明，其中是对应的一维尺度函数。的正交基为 （212）于是，信号在分辨率下的逼

42、进由下列内积得到： （213）假设原始图像是在分辨率为1的情况下获得的，N为像素总数，显然，离散图像逼进有个像素，与一维情况相同，假设原始图像关于水平和垂直边界对称，在分辨率上的细节信号等于在关于的正交补空间上的正交投影。空间的正交小波函数如式(2.3.1.1)所示，式中的三个函数的伸缩与平移构成空间的规范正交基。 和之间的信息差等于在上的正交投影，可以用内积序列表示： （214）因此，二维图像的逼进和细节可改写成卷积形式： （215）式(215)表明，二维图像分解成和，可以通过沿x方向和y方向（也即水平方向和垂直方向）分别进行滤波而得到，于是，滤波分解可以理解为在一组独立的空间有向的频率通道

43、上的信号分解，在分辨率，代表了信号的最低频率，它给出了x方向和y方向上的低频分量；给出了垂直方向上的高频分量（水平方向上的边缘）和水平方向上的低频分量；给出了水平方向上的高频分量（垂直方向上的边缘）和垂直方向上的低频分量；同时给出了水平方向和垂直方向上的高频分量（对应角点）。对于,图像完全由下列3J1离散图像来表征： （216）这一集合称为二维图像的正交分解。为在分辨率上的粗逼进，是不同分辨率不同方向上的细节信号。在新的表示法中，像素总和不变，这正是由于小波表示的正交性。其分解算法可以用图（2.1）表示。2.2.2 图像的小波重建二维小波的重建算法于一维类似，可由，重建。首先在图像，的每两列之

44、间插入一列零，并用一个一维滤波器和各行作卷积，然后在每两行之间插入零，且用另一个一维滤波器与各列作卷积，这样即可得到。通过重建这一算法，可以由小波变换重建图像。其重建算法可用图（2.2）表示。 : 两列中取一列 : 两行中取一行图2.1二维小波分解算法：两行中插入一行0 ：两列中插入一列0图2.2 二维小波重建算法2.3 小波变换在图像压缩中的应用2.3.1 小波变换编码的优越性长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换（DCT）作为主要的变换技术，并成功的应用于各种标准，比如JPEG,MPEG-1,MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成像素或像素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声。小波变换式全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，只要具有以下优点：（1） 小波变换本质上是全局变换，重构图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。（2） 小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到细、由全貌道细节的观察习惯相一致，这是将WT与HVS的空间分解特性结合起