实二次型与实对称矩阵的定性分析数学专业毕业论文.doc
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1、实二次型与实对称矩阵的定性分析摘 要: 本文以矩阵理论在二次型理论中的应用为基础,重点讨论了正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵的若干等价命题,并给出详细的证明,得到了一些有一定价值的结论.关键词: 实二次型; 实对称矩阵; 正定矩阵1 引言数域上一个元实二次齐次多项式:可表示成矩阵形式:其中是由的系数构成的实对称矩阵.反之,若是数域上阶实对称矩阵,则可得上的一个元实二次型.所以,数域上元实二次型与数域上阶实对称矩阵一一对应.因此要研究实二次型,只要研究该实二次型的矩阵即可.事实上, 实二次型的等价分类问题与矩阵的合同分类问题本质上是同一个问题.设实二次型,是实对称矩阵,若对于任意的实非
2、零列向量有,则称和是正定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是负定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是半正定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是半负定的;若存在两个实向量和,使和则称是不定实二次型,便是不定的.2 实二次型性质的简单分析2.1 线性替换实二次型经过非退化线性替换化为标准形实二次型的上述过程相当于在实二次型的矩阵表示式中,对于实对称矩阵通过寻找一个可逆矩阵,使.2.2 正定实二次型的有关结论(1) 正定实二次型经过实满秩线性替换后仍为正定实二次型.(2) 实二次型是正定的充分必要条件是(3) 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为.2. 3 负定实二次型的有关结论
3、(1) 负定实二次型经过实满秩线性代换后仍为负定实二次型.(2) 实二次型是负定的充分必要条件是(3) 元实二次型负定的充分必要条件是的负惯性指数为. 2. 4 半正定实二次型的有关结论 的正惯性指数等于实二次型的秩.2. 5 半负定实二次型的有关结论 的负惯性指数等于实二次型的秩.3 实对称矩阵的等价条件和证明3.1 正定矩阵设是实对称矩阵,则以下命题等价(1) 是正定的;(2) 的正惯性指数等于矩阵的阶数;(3) 合同于单位矩阵;(4) 存在可逆矩阵,使;(5) 的所有顺序主子式全大于0,特别地的行列式大于0.证明 : 由于是正定矩阵,所以二次型正定.设元实二次型经过非退化线性替换变成.正
4、定当且仅当正定,而我们知道实二次型是正定的当且仅当.即正惯性指数为,且矩阵的秩为.: 设元实二次型所对应的系数矩阵为,的正惯性指数为,则经过非退化线性替换变为规范形式,所以与单位矩阵合同.: 与单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,使.: 因为,其中是可逆矩阵,所以是正定矩阵,则所对应的实二次型是正定二次型.对于每一个令,我们来证明是元的正定二次型对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的,有上面的推论的矩阵的行列式.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.: 对作数学归纳,设,其中当时,由条件知,所以,是正定二次型,矩阵对应是正定矩阵.假设上述论断对于元实二次型已经成立.现在来证元的情形,令,于是矩阵
5、可以分块写成,既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式也全大于零.由归纳假设,是正定矩阵.换句话说,有可逆的级矩阵,使,这里代表级单位矩阵. 令于是 再令 ,于是令就有,再两边同时取行列式条件,因此,显然 这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵.3.2 负定矩阵根据定义: 设负定, 任给,且.有于是,同时也为实对称矩阵,因此得()是正定矩阵.设是实对称矩阵,则以下命题等价(1) 是负定的;(2) 的负惯性指数等于矩阵的阶数;()的正惯性指数即为的负惯性指数)(3) 合同于();(由,即得)(4) 存在可逆矩阵,使;(5) 的所有顺序主子式满足:,特别地.()的阶主子式即为)证明 : 由
6、于是负定矩阵,所以二次型负定.设元实二次型经过非退化线性替换变成负定当且仅当负定,而我们知道二次型是负定的当且仅当.即负惯性指数为,且矩阵的秩为.: 设元实二次型所对应的系数矩阵为,的负惯性指数为,则经过非退化线性替换变为规范形式,所以与负单位矩阵合同.: 与负单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,使.: 因为,其中是可逆矩阵,因此是正定矩阵,故的一切顺序主子式全大于零,从而,即且有.: 对作数学归纳,设,其中.当时,由条件知,所以当时, ,因此是负定二次型, 对应矩阵 是负定矩阵.假设上述论断对于元二次型已经成立.现在来证元的情形,令,于是矩阵可以分块写成,既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式
7、也全大于零.由归纳假设,是负定矩阵.换句话说,有可逆的级矩阵,使,这里代表级单位矩阵.令于是再令, 令就有其中再两边同时取行列式由条件,因此,即,所以且有这就是说,矩阵与负单位矩阵合同,因此是负定矩阵,或者说是负定的.3.3 半正定矩阵设是实对称矩阵,(1) 是半正定的;(2) 正惯性指数等于秩;(3) 存在可逆矩阵使得;(4) 存在实矩阵,使得;(5) 的所有主子式都大于或等于0.证明 : 实对称矩阵一定合同于对角矩阵(其中r为A的秩,p为A的正惯性指数)即,若,令,其中则一定有,也就是:,且.这与为半正定矩阵矛盾,于是得.即得证.: 由上面的证明得, ,且,即得证.: 由, 只要令,即得,
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