关于数学知识在彩票中应用的研究学士学位论文.doc

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1、哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 关于数学知识在彩票中应用的研究哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 关于数学知识在彩票中应用的研究学生姓名 指导教师 年 级 专 业 数学与应用数学2010年11月课题来源：由指导教师拟定。课题研究的目的和意义：在研究彩票的同时增加自己的知识层面，分析福利彩票、体育彩票各种奖项的获奖以及不获奖概率，帮助彩民合理选购彩票。从概率以及建模两个方向出发，建立合理的选购方案，提出彩民选购的建议。 彩票充分应用概率统计学知识，通过研究彩票，突出数学在生活中的应用，让彩民充分认识彩票的本质，不要过于沉迷于“一夜暴富”的幻想中，正确的看待彩票在丰富娱乐生活

2、的作用，采取积极的态度，客观的接受彩票的乐趣。国内外同类课题研究现状及发展趋势：西方不少发达国家都发行彩票，除了福利彩票、体育彩票，还有三十多个国家发行竞猜型体育彩票，浙江体育科学就我国体育彩票的发展提出建议，体育彩票被世界各国作为发行彩票的主要载体，是彩票中重要的、必不可少的组成部分。慧典市场研究报告网原创2010-2015年中国彩票市场发展趋势预测及投资前景分析报告中对彩票市场现状进行了深度的市场调研，对整个彩票行业的未来发展前景及投资风险进行了权威预测。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要研究体育彩票、福利彩票各种获奖概率，体育彩票中6+1型超级大乐透型排列3型

3、20选5型，福利彩票中双色球型七乐透型3D型15选5型。分别从概率的古典概型角度分析各种获奖概率，利用建模的方法将抽象概率列举成具体方案，进行分析。在概率研究过程中，计算数目比较繁琐，需要耐心、仔细的运算，追求数学的准确性就要多次运算。而在模型建立时，遇到的问题比较多，采集数学和彩票选购方案，要利用书籍搜集彩票这方面的知识，头脑要清晰，将头等奖模型和多目标决策模型分析透彻。概率统计学贯穿全文，合理分析，提出合理选购方案以及优良建议。 课题研究起止时间和进度安排：2010年11月 选定研究专业课题方向以及题目2010年12月 搜集研究专业课题文献2011年01月 拟订论文写作提纲2011年02月

4、 调研计划和实验设计方案2011年03月 论文初稿上交给指导教师2011年04月 论文在指导教师审阅批改后，成稿课题研究所需主要设备、仪器及药品：外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：_院（系）主任 （签字） 年 月学 士 学 位 论 文题 目 关于数学知识在彩票中应用的研究学 生 田佳指导教师 赵健巍 讲师年 级 2007 级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2011年4月关于数学知识在彩票中应用的研究田佳摘要：从概率统计学出发分析彩

5、票各种数字出现的概率值，或把以前所有中奖号码进行统计来预测新的中奖号码。本论文分为三部分：中国彩票的历史；从概率方面研究体育彩票中6+1型超级大乐透型排列3型20选5型等，福利彩票中双色球型七乐透型3D型15选5型等中奖概率；利用建模数学方法将抽象概率建立具体选购方案从而分析彩票。在生活水平的提高，彩票成为丰富人们娱乐生活的充分条件，合理购买彩票，客观看待彩票在生活中的作用。 关键词：彩票福利彩票、体育彩票、6+1型超级大乐透型排列3型20选5型、双色球型七乐透型3D型15选5型、彩票采购、概率 众所周知，一提起“一夜暴富”的方法就让大家想到彩票，而对于大家中奖的几率又是多少呢？随着科学的不断

6、发展，生活条件的水平的提高，人们的娱乐生活质量要求的也越来越高，彩票不仅仅满足生活娱乐而且给人们一种希望。在本文中，简介中国彩票的历史以及将从概率和数学建模两个方向出发分析彩票中奖的几率，以及我个人对彩票的见解和意见。一、 中国彩票历史彩票具有明显的赌博性质，为清朝禁赌法律所不容，传入中国后一度遭禁止。清朝末年财政窘困，天灾人祸交逼，清政府缺乏吸引民间投资的有效手段，遂不得不借彩票应付各种需要。中国彩票首先在救灾的名义下，冲破法律的禁阻创办于上海；各地政府纷纷仿效，寻找各种借口滥发彩票，作为敛财的新手段；清政府无力干预，它对彩票正常行销的种种规定也形同虚设。清朝覆灭前10年间，彩票开始风靡全国

7、。北洋军阀统治时间，上海等大中城市现过各种私人发性的彩票。1933年5月，国民党中央政府发行了“航空公路建设奖券”。第一次发行之初，国民党政府公布了航空公路建设奖券条例的规定“国民政府为筹集发展航空筑路经费起见，每年发行不记名奖券4次，每次50万张，每张售价计国币10元”；还规定“每次发行所收券款，由国民政府提出50，内除发行及办公费及代销手续费外，概充发展航空及筑造公路经费。其余50作奖金，其等级分配如下：一等奖一张，独得洋50万元；二等奖二张，各得洋10万元，共20万元；总共中奖50645张，共计249910元”。以后国民党中央政府还发行了“黄河彩票”等。 在新中国成立之后的很长一段时间内

8、，彩票也被歧视为一种赌博而被长期的禁止。到了20世纪80年代中期，随着中国改革开放的逐步深入，彩票才逐渐成为国家以社会公益事业为目的筹集资金的形式。中国彩票已经走过了将近20年的历史，目前，福利彩票和体育彩票已经成为我国最重要的两大彩票。 现在彩票可分为即开型和计算机型两种。即开型彩票指的是现场开奖现场兑奖, 而计算机型彩票是利用计算机销售的传统型彩票,但中奖额度是个未知数, 并定期开奖即由各销售点用计算机售票, 打印彩票并将销售资料通过通讯线路传至中心机房进行集中处理, 统一玩法, 统一摇奖, 统一兑奖, 但各销售终端机必须做到单机不重号这是计算机技术进入彩票业的结果, 它仍属被动型彩票。1

9、2000年至今，现代技术设备全面应用，新型玩法层出不穷，中国彩票进入高速发展时期。这一阶段的重要特点是，财政部全面接管彩票的管理工作，确定了现行的彩票管理体制，建立和完善了彩票的管理制度；两大彩票发行机构全面应用现代彩票技术设备，不断改进发行销售方式，全力丰富彩票品种。 相信中国彩票将会和中国经济一样，在不久的将来也会获得世界的认同。二、应用概率知识分析彩票中奖率概率统计学对彩票也有有两个方面的应用 。据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概

10、率统计方面的书籍也一下子销售量升高。许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地研究起来。东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到现实彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。实际上，概率统计学主要有两个方面应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计

11、，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定增加，从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字.这也说明了概率的无所不在。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，研究

12、一下体育彩票和福利彩票的各种奖项的获奖几率。2.1体育彩票 体育彩票是由国家体育总局发行的一种福利型彩票,它分为即开型与电脑型等两种彩票。我主要研究的是电脑型体育彩票的获奖概率。它分为6+1型超级大乐透型排列3型20选5型等。2.1.1体育彩票6+1中奖概率特等奖概率：1/10101010101010 =1/10000000一等奖概率：2/101010101010 =1/500000 2二等奖概率：3/1010101010 1/33333 三等奖概率：4/10101010 =1/2500 四等奖概率：5/101010 =1/200 五等奖概率：6/1010 1/16不中奖的概率：1-1/100

13、00000-1/500000-1/33333-1/2500-1/200-1/16=330695993007/3333300000000.92.1.2超级大乐透中奖概率就等于前区35选5的中奖概率N与后区12选2的中奖概率n的乘积S,即S=1=1/21425712为超级大乐透一等奖的中奖概率。即一等奖：选中5个前区号码及2个后区号码的概率为(1/21425712)；同理二等奖的计算公式为S=2=1/10712856 即二等奖：选中5个前区号码及2个后区号码中的任意1个 (1/10712856) ； 三等奖的计算公式为S=1=1/324632 即三等奖：选中5个前区号码的概率为(1/324632)

14、；四等奖的计算公式为S=5/3570952 即四等奖(3000元)：选中4个前区号码及2个后区号码的概率为(5/3570952)； 五等奖的计算公式为S=2=25/892738即五等奖(500元)：选中4个前区号码及2个后区号码中的任意1个(25/892738)；六等奖的计算公式为S=()=1/1930即六等奖(200元)：选中3个前区号码及2个后区号码或选中4个前区号码(1/1930) 七等奖的计算公式为；S=2=1/168即七等奖(10元)：选中3个前区号码及2个后区号码中的任意1个或选中2个前区号码及2个后区号码；(1/168) 八等奖的计算公式为S=2=1/16.6即八等奖(5元)：选

15、中3个前区号码或选中1个前区号码及2个后区号码或2个前区号码及2个后区号码中的任意1个或只选中2个后区号码，(1/16.6)； 不中奖的概率：1-1/21425712-1/10712856-1/324632-5/3570952-25/892738-1/1930-1/168-1/16.60.92.1.3体育彩票排列三中奖概率排列三直选号码是1000个，买一注直选的中奖概率为1/1000组选六的概率为6/1000组选三的概率为3/10003不中奖概率为99/1002.1.4体育彩票20选5中奖概率 中奖情况 中奖概率 5个数字全部选中的概率 1/ =1/1504 选中其中4个数字的概率 =1/96

16、9 选中其中3个数字的概率 =1/144 选中其中2个数字的概率 =1/19 选中其中1个数字的概率 =1/4不中奖率:1-1/1504-1/969-1/144-1/19-1/4=98822184/1419655680.72.2福利彩票 福利彩票是由国家民政部门发行的一种福利型彩票,它分为即开型与电脑型等两种彩票。我主要研究的是电脑型福利彩票的获奖概率。它分为双色球型七乐透型3D型15选5型等。 2.2.1福利彩票双色球中奖概率的计算双色球的总中奖率6.709453，它的计算方法是将一至六等奖的所有中奖概率相加所得出的一等奖的中奖概率:一等奖就是中了6个红色球号码和1个蓝色球号码，即中了“6+

17、1”。中奖概率就等于红色球33选6的中奖概率N与蓝色球16选1的中奖概率n的乘积S，即得头奖的概率计算公式为S1l17721088。其余中奖概率的计算方法与体彩大乐透算法一样一等奖（6+1）中奖概率为：1/17721088=0.0000056%； 二等奖（6+0）中奖概率为：1/1107568=0.00009%； 三等奖（5+1）中奖概率为：1/3797376=0.000026%； 四等奖（5+0）中奖概率为：1/237336=0.00042%； 四等奖（4+1）中奖概率为：1/654720=0.015%； 五等奖（4+0）中奖概率为：1/40920=0.24%； 五等奖（3+1）中奖概率为：

18、1/87296=0.11%； 六等奖（2+1）中奖概率为：1/8448=0.012%； 六等奖（1+1）中奖概率为：1/528=0.189%； 六等奖（0+1）中奖概率为：1/16=6.25%.总中奖率:1188988/17721088=0.067094526024587203675079092209237=6.7%。 不中奖的概率：93.3%按照概率如果守一个号,可能中一等奖可能需要48550年42.2.2福利彩票七乐彩中奖概率福利彩票七乐彩中奖概率与体彩6+1算法基本一致，则福利彩票的七乐彩中奖概率中奖号码 几率（1/N） 奖金一等奖 选7中（7） 1/2035800 高等奖的总奖金的70

19、%除以中奖个数二等奖 选7中（61） 1/290829 高等奖的总奖金的10%除以中奖个数三等奖 选7中（6） 1/13219 高等奖的总奖金的20%除以中奖个数四等奖 选7中（51） 1/4406 200元五等奖 选7中（5） 1/420 50元六等奖 选7中（41） 1/252 10元七等奖 选7中（4） 1/38 5元不中奖概率：1- 1/2035800-1/290829-1/13219-1/4406-1/420-1/252-1/380.972.2.3福利彩票3D中奖概率计算福利彩票3D直选号码是1000个，直选的中奖概率为1/1000组选六的概率为6/1000组选三的概率为3/1000

20、不中奖概率为99/1002.2.4福利彩票15选5中奖概率，同体育彩票20选5中奖情况 中奖概率 5个数字全部选中的概率 1/3003选中其中4个数字的概率 1/273选中其中3个数字的概率 1/91选中其中2个数字的概率 2/21选中其中1个数字的概率 1/3不中奖概率 1-1/3003-1/273-1/91-2/21-1/30.65综上计算概率可知：彩票确实可以使人一夜暴富，但其中奖的概率实在是不高，希望彩民要抱有平常心去购买，不要在意他的或得或失。把买彩票当作一种慈善就可以了。三、利用建模在概率知识基础上分析彩票中奖概率在看多本书籍研究彩票中奖概率，我将从彩票发行方案出发，从而分析彩民们

21、中奖的概率以及给彩民的一些自己的建议。近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额的诱惑是越来5越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票有两种，“传统型”、“乐透型”。我将从两种类型建立建模。3.1问题的提出3.1.1 分类及方案 （1）“传统型”：采用“10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09是个号码中任意选6个基本号码（可重复），从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注 号码与中奖号码相符的个数的多少及顺序确定中奖等级。表3.1“传统型”彩票中奖等级举例中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码 特别

22、号码说明一等奖ABCDEF G选7中（6+1）二等奖ABCDEF选7中（6）三等奖ABCDEx xBCDEF选7中（5）四等奖ABCDxx xBCDEx xxCDEF选7中（4）五等奖ABCxxx xBCDxx xxCDEx xxxDEF选7中（3）六等奖ABxxxx xBCxxx xxCDxx xxxDEx xxxxEF选7中（2）(2)“乐透型”：有多种不懂形式，比如“33选7”的方案：选从0133个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数的多少确定相应的中奖等级，不考

23、虑号码顺序。又如：“36选6+1”的方案，先从0136个号码中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数的多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。表3.2 “乐透型”彩票中奖等级序列中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码 特别号码说明基本号码 特别号码说明一等奖选7中7 选7中6+1二等奖 选7中6+1选7中6三等奖选7中6 选7中5+1四等奖 选7中5+1选7中5五等奖选7中5 选7中4+1六等奖 选7中4+1选7中4七等奖选7中4 选7中3+163.1.2 设

24、奖规则，奖项设置方案（1）上面两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。（2）其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。（3）各高项奖额的计算方法为：【（当期销售总额总奖金比例）低项奖总额】单项奖比例（4）现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表3.3表3.3 彩票的常见销售规则及相应奖金设置方案序号 奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060

25、%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600

26、606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%2001012

27、95/6060%20%20%3003073.1.3需解决的问题（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。3.2 问题的分析考察问题的题设与要求，我们必须首先对现有的“传统型”和“乐透型”彩票各种奖项出现的可能性进行分析，此概率的大小的计算属于古典概型问题，实际生活中，中头奖的概率、高项奖出现的概率以及能够中奖的概率大小，往往都是彩民关心的，也是吸引彩民进行摸彩、投彩的主要因素。3.3 模型的假设（1）彩票中奖号码的摇出是严格随机事件，不考虑彩球质量、角度、摇杆摇动的时间等因素的影响。（2）奖金比例为销售总额的50%

28、，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。（3）所有号码的中奖概率都是相等的。（4）本期若无人中一等奖，其奖金将自动滚入下一期的一等奖奖池中。（5）购买彩票均采用单式投注。3.4头奖期望模型的建立与求解3.4.1彩票各种奖项出现的可能性分析（1）“传统型”采用“10选6+1”单注总数为：5。各项奖的单注数分别为：一等奖：1二等奖：三等奖：2四等奖：（2）五等奖：2（六等奖：8由概率的定义可以得出：（2）“乐透型”（r/s）的情形。博取某一奖项奖金的可能性问题，可以用包含下列阶乘的二项式系数加以表述如下：m!=12（m-1）m(m=1,2,3,)。二项式系数（k=0,1

29、,，n）.又上述二项式可以算出从1,2,3，n中选中k个数字可能的选法中枢，在r/s性的彩票当中，选中r个基本号当中的k个的可能性，可以通过超几何分布得出：（k=0,1,2,，r）则选中r个基本号加特别号的可能性为：=（k=0,1,2,，r-1）选中r个基本号不加特别号的可能性为：=（k=0,1,2,，r-1）其中，分别为选中中奖号码当中的k个基本号码以后，选中特别号码和没有选中的特别号码的可能性。表3.4 个档次奖金的几率值序号中奖几率方案一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖16+1/105000000055555655556383126+1/105000000055555655556

30、38312922436+1/10500000005555565555638312922446+1/10500000005555565555638312922457/29156078022296910618353935421266+1/291560780709451182411264506877/3020358002908291322044064202523887/3020358002908291322044064202523897/30203580029082913220440642025238107/31262957537565416333544449529742117/3126295753

31、75654163335444495297127/323365856480837200356678581348137/323365856480837200356678581348147/323365856480837200356678581348157/334272048610293244128137678407167/33427204861029324412813767840753177/345379616768517295589853788473187/34537961676851729558985378847359197/3567245209606463558011860912547207

32、/356724520960646355801186091254766217/356724520960646355801186091254766227/356724520960646355801186091254766237/35672452034309847599246+1/3683476802878514797534271371152114256+1/3683476802878514797534271371152267/3683476801192530425901497105263173277/3710295472147078050717169061208725286/40383838063

33、9730193867754485363295/6054615211092300200228101143283.4.2 头等奖期望模型分析彩民的心理，他们真正感兴趣的是在某一段时间内少博取一次头奖的机会问题。要解决这个问题，可以首先假设彩民选择了某一种r/s型彩票中的h组不同号码。由于彩民未能博取下一期头奖的可能性是1h ，因此，彩民在w期中都未能博取头奖的可能性为1h 的w次方，那么，在w期的r/s型彩票中，至少博取一次头奖的可能性即为：1,由此，我们建立如下关于头等奖期望的数学模型：，其中，M表示高项奖的奖金总额， 表示上一期一等奖滚入这一期的奖金额数，%表示一等奖的奖金比例，表示中一等奖的

34、人数，表示中一等奖的概率。在题中所给（61）/10的“传统型”彩票中，我们可以看出方案1的一等奖比例显然小于后三种方案，并且方案1只有一项低项奖，彩票的中奖概率也小于另外三中，由此可以得出方案1的吸引力明显劣于其他三种方案。另外对乐透型中的方案23来说，由于它只设立了一等奖的比例，二等奖及二等奖以下只设立了固定的金额，对于彩民来说，它的吸引力相对较弱，此种方案可不予考虑。下面对其余方案进行分析：（1） 对设有其中奖项的方案进行比较 假如获低项奖的人数如下：四等奖：=200，五等奖：=3000，六等奖：=300000，七等奖：=400000。10调整程序得出一等奖的期望，如表3.5表3.5 各方

35、案一等奖的期望值（1）序号7891016182021222426期望6.7057.9238.7313.9933.9502.9961.5610.9822.3911.8871.887由表3.5可以看出：对设有其中奖项的方案而言，方案9的头奖期望值较大，设计较为合理。（2） 对设有六种奖项的方案进行比较。假如获低项奖的人数如下：四等奖：=2000，五等奖：=30000，六等奖：=300000。方案29的六等奖对一等奖的期望的影响较小，我们可以将其归入六种奖项的考虑范围之内。得出一等奖的期望如表3.6所示。表3.6 一等奖的期望值（2）序号23456111213期望3.2763.5493.82210.

36、37910.5627.6894.7315.095序号14151719252728期望5.4594.1273.1782.7482.2040.6126.195由表3.6可以看出：在设有六种奖项的方案里，方案6的一等奖期望最大，设计较为合理。传统型彩票中方案4、乐透型彩票中方案6（即6+1/29）设计较为合理。总体而言，乐透型彩票的方案6头奖期望最大，方案设计最为合理。3.4.3 多目标决策模型由头奖期望模型的结果我们可以看到，头奖期望模型只是一个简易的数学模型。实际上要判断某一方案是否合理，需要同时考虑彩民关心的多个因素，如：高项奖的中奖概率、总的中奖概率、奖项的设置以及奖金的分配等。只有综合分析

37、这些因素对合理性的影响，才能设计出合理的彩票发行方案。假设售出a注彩票，则奖金总额为a元，第i项方案中低项奖总额为元，第i项方案中j等高项奖的单项奖比例为，根据各高项奖额的计算方法：(当期销售总额总奖金比例)低项奖总额单项奖比例则可以得出单注中第i项方案中j等高项奖的金额为：【（2a50%）】，其中，为第i种方案中第j等奖的概率，为第i种方案中j等奖单注所获得的金额，表示单注中第i项方案中第j等低项奖的金额，。（1）目标函数。我们从三个方面设计了目标函数。111）高项奖概率目标。对彩民来说，高项奖的奖金越大越具有诱惑力，彩民购买的根本目的就希望获得高项奖。作为影响方案合理性的因素，高项奖的中奖

38、概率就成为影响彩票吸引力的一个重要目标函数。高项奖概率目标：式中，为第i种方案中j等奖的概率。2）总中奖概率目标。判断一种彩票的发型方案，应尽可能增加彩票的中奖普遍性。不论哪种奖项只要其中奖率较大，对彩民就会构成一定的吸引力。在此，我们全面考虑高项和低项奖的总中奖概率。总中奖概率目标：式中，为第i中方案中第j等奖单注所获得的金额。3）奖金及奖项的设置目标。奖金及奖项的设置时彩民最关心的问题。彩票的期望值越大，彩民买彩票的热情就会越高；奖项的设置越多，对彩民也构成不小的吸引力。为此在这一目标函数中，我们考虑了使每一部分尽可能达到最大。奖金及奖项的设置目标：（j=1,2,，7）式中，为七种奖项的奖金及奖项分配函数，它符合下面的关系式：其中，权系数由表3.4,、3.5中数据确定。（2）模型的建立。该模型全面考虑了影响方案合理性的各个主要因素，是一个多目标的规划模型。要是方案的吸引力最大，我们再次求解加权目标函数的最大值，不妨设三个规划目标的权系数为（i=1,2,3）,得到加权目标函数。加权目标函数： （）=Max(+)其中，。对权系数归一化，令，于是，目标函数简化为（含r,s变量）：。（3）模型求解。对于以上模型，利用表3.4中数据及目标函数我们可以首先对高项奖概率、中奖概率、奖项及奖金设置进行归一化，得到总的权系数如表3.7所示。12表3.7 总的权系数目标高项奖目标中将目标奖项