D6-6(2)第一型面积分课件.ppt

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1、,第六节（2）,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,第一型面积分,第六章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此

2、极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,二、对面积的曲面积分的计算法,1 曲面面积,令,曲面的面积为,例：求半径为a的球面面积.,若光滑曲面为,则,若光滑曲面为,则,若光滑曲面为,则,例：求圆柱面 在第一卦限中被平面 所截下部分的面积。,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,则曲面积分,推论:设有光滑曲面,例:,可有类似的公式.,如果曲面方程为,说明:,课本例

3、6.8:,例1.计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z=h 截,出的上下两部分,则,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,思考:若例3 中被积函数改为,计算结果如何?,例4.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解:设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,例5.计算,解:取球面坐标系,则,例6.计算,其中 是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,例7.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,