勾股定理典型分类练习题.doc

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1、勾股定理典型分类练习题题型一：直接考查勾股定理中，已知，求的长 已知，求的长变式1：已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。变式2：已知ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2 如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并用例3 如图

2、3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么DEF是直角三角形吗？为什么题型四：旋转中的勾股定理的运用：例4、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。变式：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.题型五：翻折问题例5：如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处

3、，求BE的长. 变式：如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D好落在BC边上的点F，求CE的长.题型6：勾股定理在实际中的应用：例6、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 变式：如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，CABDE10

4、15DAAB于A，CBAB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？ 关于最短性问题例5、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）选择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.5，12，13 B.4，5，7 C

5、.2，3， D.1，ABC中，C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为135，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、109、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a0）；m2-n2、2mn、m2+n2（m、n为正整数，且mn）其中可以构成直角三角形的有（ ）A、5组； B、4组； C、3组； D、2组4.下列结论错误的是（ ）A、三个角度之比为123的三角形是直角三角形；B、三条边长之比为345的三角形是直角三角形；C、三条边长之比为81617的三角形是直角三角形；D、三个角度之比为112的三角形是直角

6、三角形。5.下面几组数:7,8,9；12,9,15；m2 + n2, m2n2, 2mn（m，n均为正整数,mn）,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. B. C. D. 6. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617 B a2-b2=c2 Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 ,则这个三角形是( )A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形8.三角形的三条中位线长分别为6、8、10,则该三角形为( )的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A B.C D.10.已知三角形的三边

7、长为a、b、c，如果，则ABC是（） 11.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的摆放是（ ）BACD12.若三角形ABC中，ABC=211,a、b、c分别是A、B、C的对边，则下列等式中，成立的是（ ）A. B. C. D.13已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14C、7D、7或2514. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 三角形三边长分别为6、8、10，那么最大边上的高是（ ）16.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm

8、，则斜边上的高为( ) A、cm B、cm C、 5 cm D、cm17.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）A6cm B8.5cm Ccm DcmABC中，C=90，如果AB=10，BCAC=34，则BC=（ ）A.6 B.8 C.10 D、以上都不对19.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A5 B25 C D5或20.等腰三角形的底边为16cm，底边上的高为6cm，则腰长为（ ）A.8 cm B 9cm C 10cm D 13cm一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定22.

9、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121 B120 C90 D不能确定23.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A12 B7 C12或7 D以上都不对ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长为A42 B32 C42或32 D37或33两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（） A、6013 B、512 C、1213 D、60169ABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm227.等腰三角形底边上的高为8，周长

10、为32，则三角形的面积为（） A、56B、48C、40D、3228.一个三角形的三边长分别是5、13、12,则它的面积等于( )29.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A、 6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm230.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于（ ）A、； B、； C、； D、31.在ABC中，ACB=90，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）32.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O

11、的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（ ）A小于1m B大于1m C等于1m D小于或等于1m33.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cmABCMN第31题ABEFDC第29图填空题1，在RtABC中，C=90，如果a=8,c=17,则b= ABC中，C=90（1）若a=5，b=12，则c=（2）b=8，c=17，则SABC=

12、。ABC中，C90，且2a3b，c2，则a_，b_4.直角三角形ABC中，C=90，若C=5，则a2+b2+c2= ABC中，AB=8cm,BC=15cm,要使CB=90，则AC长为 cm2853，则这个三角形是（按角分类）。7.若三角形三边长为9、40、41，则此三角形是 8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为。9.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_10.三个内角之比为1：2：3的三角形的最短边为1，则此三角形的面积为 ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是。12.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16

13、cm，ADBC于D，则AD=。13.直角三角形的两直角边长分别是16、12，则斜边上的高为 RtABC中，E是斜边AB上的一点，把RtABC沿CE折叠，点A与点B正好重合，如果AC=4，则AB= 15.如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是。BCAD解答题：1.如图，已知AB=4、BC=12、CD=13、AD=3、ABAD求证BCBDCABD2.如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9。(1)求DC的长。 (2)求AB的长。3.如图，AD4，CD3，ADC90，AB13，BC12，求该图形的面积。ABCDADCBFE4已知：如图，折叠长方形的一边

14、AD，使点D落在BC边上的点F处，如AB=8cm，BC=10cm,求EC的长5.如图，ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求DC的长6.如图一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？ABECD图BCAAB7.一个长10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？8.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB

15、上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、 基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证. 勾股定理的适用范

16、围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形； 若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为

17、三边的三角形是锐角三角形； 定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，

18、以便正确使用勾股定理进行求解. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做

19、原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例题1例.在中，已知，求的长已知，求的长： 题型二：利用勾股定理测量长度例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题3 如图（8），水池中离岸边D点的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用例题4 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么DEF是直角三角形吗？为什么？例题5 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将AD

20、E折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题6如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？题型六：旋转问题：变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45试

21、探究间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是

22、18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题例5、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒

23、钟？一、选择题1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )A. 9,12,15 B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,73.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( )5.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )A. 12cm B. C. D. 6已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A. B.3 C.+2 D.二、填空题7.如图,6

24、4、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _ . (第5题) （第6题)_8. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有_米. 9.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 .10.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP4，SQ9，则Sk .12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 .13在ABC中，AB8cm，BC15cm，要使B90，则AC的长必为_cm.三、解答题11.P为正方形ABCD内一点，将ABP绕

25、B顺时针旋转90到CBE的位置，若BPa.求：以PE为边长的正方形的面积.12.已知:如图13,ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.13.从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？13.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋1、如图，C=90，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13， 判断ABD的形状，并说明理由。2、已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状.3、（10分）已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.4、已知：在ABC中，C=90，AD为BAC的角平分线，CD=6cmBD=10cm，求AC的长？5、已知：在ABC中，AB=13cm，AC=5cm，边上的中线AD=6cm，求BC的长？6、 已知：在ABC中，C=90,BD、AE分别是AC、BC边的中线，AE=, BD=, 求AB边的长？