全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析.doc
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1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA点P是抛物线上的一个动点,过点P作PEx轴于点E,交直线BC于点D,连接PC(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PFBC于点F,试问PDF的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由 (3)当点P在抛物线上运动时,将CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由【答案】(1) y=+
2、x+3;(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,此时点P的坐标为(,)或(,)【解析】试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)设P(m,m2+m+3),PFD的周长为L,再利用待定系数法求直线BC的解析式为:y=x+3,表示PD=,证明PFDBOC,根据周长比等于对应边的比得:,代入得:L=(m2)2+,求L的最大值即可;(3)如图3,当点Q落在y轴上时,四边形CDPQ是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ,PQ=PD,PCQ=PCD,又知Q落在y轴上时,则CQPD,由四边相等:CD=DP=PQ=QC,得四边形CDPQ是菱形,表示P(n, +n+3
3、),则D(n,n+3),G(0,n+3),利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论试题解析:(1)由OC=3OA,有C(0,3),将A(1,0),B(4,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中,得:,解得:,故抛物线的解析式为:y=+x+3;(2)如图2,设P(m,m2+m+3),PFD的周长为L,直线BC经过B(4,0),C(0,3),设直线BC的解析式为:y=kx+b,则解得:直线BC的解析式为:y=x+3,则D(m,),PD=,PEx轴,PEOC,BDE=BCO,BDE=PDF,PDF=BCO,PFD=BOC=90,PFDBOC,由(1)得:OC=3,OB=4,BC=5,故BO
4、C的周长=12,即L=(m2)2+,当m=2时,L最大=;(3)存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,如图3,当点Q落在y轴上时,四边形CDPQ是菱形,理由是:由轴对称的性质知:CD=CQ,PQ=PD,PCQ=PCD,当点Q落在y轴上时,CQPD,PCQ=CPD,PCD=CPD,CD=PD,CD=DP=PQ=QC,四边形CDPQ是菱形,过D作DGy轴于点G,设P(n, +n+3),则D(n,n+3),G(0,),在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=(n+3)32+n2=,而|PD|=|()(n+3)|=|+3n|,PD=CD,解方程得:n=或0(不符合条件,舍去),解方程得:n=或0(
5、不符合条件,舍去),当n=时,P(,),如图3,当n=时,P(,),如图4,综上所述,存在这样的Q点,使得四边形CDPQ是菱形,此时点P的坐标为(,)或(,)点睛: 本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定,将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题,此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长,并利用相似比或勾股定理列方程解决问题2如图所示,抛物线的顶点为,与轴交于、两点,且,与轴交于点求抛物线的函数解析式;求的面积;能否在抛物线第三象限的图象上找到一点,使的面积最大?若能,请求出点的坐标;若不能,请说明理由【答案】 ;点的坐标是【解析】
6、【分析】(1)设顶点式并代入已知点即可;(2)令y=0,求出A、B和C点坐标,运用三角形面积公式计算即可;(3)假设存在这样的点,过点作轴于点,交于点,线段PF的长度即为两函数值之差,将的面积计算拆分为即可.【详解】设此函数的解析式为,函数图象顶点为,又函数图象经过点,解得,此函数的解析式为,即;点是函数的图象与轴的交点,点的坐标是,又当时,有,解得,点的坐标是,则;假设存在这样的点,过点作轴于点,交于点设,则,设直线的解析式为,直线过点,解得,直线的解析式为,点的坐标为,则,当时,有最大值,此时点的坐标是【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解,从而将面积最大的问题转化为P
7、F最大进行理解.3如图,在平面直角坐标系中,ACB=90,OC=2OB,tanABC=2,点B的坐标为(1,0)抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE求点P的坐标;在直线PD上是否存在点M,使ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)y=x23x+4;(2)P(1,6),存在,M(1,3+)或(1,3)或(1,1)或(1,)【解析】【分析】(1)先根据已知求点A的坐标,利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)先得AB的解析式
8、为:y=-2x+2,根据PDx轴,设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),根据PE=DE,列方程可得P的坐标;先设点M的坐标,根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长,分三种情况:ABM为直角三角形时,分别以A、B、M为直角顶点时,利用勾股定理列方程可得点M的坐标【详解】解:(1)B(1,0),OB=1,OC=2OB=2,C(2,0),RtABC中,tanABC=2, , AC=6,A(2,6),把A(2,6)和B(1,0)代入y=x2+bx+c得:,解得:,抛物线的解析式为:y=x23x+4;(2)A(2,6),B(1,0),AB的解析式为:y=2x+2, 设P(x,x23x+
9、4),则E(x,2x+2),PE=DE, x23x+4(2x+2)=(2x+2),x=-1或1(舍), P(1,6);M在直线PD上,且P(1,6),设M(1,y), B(1,0),A(2,6)AM2=(1+2)2+(y6)2=1+(y6)2,BM2=(1+1)2+y2=4+y2, AB2=(1+2)2+62=45,分三种情况:i)当AMB=90时,有AM2+BM2=AB2,1+(y6)2+4+y2=45, 解得:y=3,M(1,3+)或(1,3);ii)当ABM=90时,有AB2+BM2=AM2,45+4+y2=1+(y6)2, y=1,M(1,1),iii)当BAM=90时,有AM2+AB
10、2=BM2,1+(y6)2+45=4+y2, y=,M(1,);综上所述,点M的坐标为:M(1,3+)或(1,3)或(1,1)或(1,)【点睛】此题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,铅直高度和勾股定理的运用,直角三角形的判定等知识此题难度适中,解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用4如图,抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线对称轴DE交x轴于点E,连接BD(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)点P是线段BD上一点,当PEPC时,求点P的坐标【答案】(1)yx2+2x+3;(2)点P的坐
11、标为(2,2)【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式,设出点P的坐标为(x,2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根据题意列出方程,解方程求出x的值,计算求出点P的坐标【详解】解:(1)抛物线yx2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,解得,所求的抛物线的函数表达式为yx2+2x+3;(2)如图,连接PC,PE抛物线的对称轴为x1当x1时,y4,点D的坐标为(1,4)设直线BD的解析式为ykx+b,则, 解得直线BD的解析式为:y2x+6,设点P的坐标为(x
12、,2x+6),又C(0,3),E(1,0),则PC2x2+(3+2x6)2,PE2(x1)2+(2x+6)2,PCPE,x2+(3+2x6)2(x1)2+(2x+6)2,解得,x2,则y22+62,点P的坐标为(2,2)【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式,掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键5如果一条抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点,那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,a,b,c称为“抛物线系数”(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题;(2)若一条抛物线系数为1
13、,0,2,则其“抛物线三角形”的面积为 ;(3)若一条抛物线系数为1,2b,0,其“抛物线三角形”是个直角三角形,求该抛物线的解析式;(4)在(3)的前提下,该抛物线的顶点为A,与x轴交于O,B两点,在抛物线上是否存在一点P,过P作PQx轴于点Q,使得BPQOAB?如果存在,求出P点坐标;如果不存在,请说明理由【答案】(1)假;(2);(3)yx22x 或yx22x;(4)P(1,1)或P(1,3)或P(1,3)或(1,1)【解析】分析:(1)当0时,抛物线与x轴有两个交点,由此可得出结论;(2)根据“抛物线三角形”定义得到,由此可得出结论;(3)根据“抛物线三角形”定义得到yx22bx,它与
14、x轴交于点(0,0)和(2b,0);当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形,由抛物线顶点为(b,b2),以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到,解方程即可得到结论;(4)分两种情况讨论:当抛物线为yx22x 时,当抛物线为yx22x 时详解:(1)当0时,抛物线与x轴有两个交点,此时抛物线才有“抛物线三角形”,故此命题为假命题;(2)由题意得:,令y=0,得:x=, S=;(3)依题意:yx22bx,它与x轴交于点(0,0)和(2b,0);当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=,顶点为(b,b2),由直角三角形斜边上
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