北师大版九年级上册数学全册ppt课件.ppt

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1、北师大版九年级上册数学全册课件,3/31/2023,第一章 特殊平行四边形,1.1 菱形的性质与判定,第1课时 菱形及其性质,3/31/2023,1,课堂讲解,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,菱形的定义菱形边的性质菱形对角线的性质,2023/3/31,下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,2023/3/31,1,知识点,菱形的定义,菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组 邻边相等二者必须同时具备，缺一不可(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判

2、定方法,知1讲,2023/3/31,如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是()AABCD BADBC CABBC DACBD,知1练,C,2023/3/31,如图，在ABC中，ABAC，D是BC上一点，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()AADBC BBADCAD CBDDC DADBD,知1练,B,2023/3/31,2,知识点,菱形边的性质,知2导,菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?,问 题,菱形的四条边都相等.,2023/3/31,

3、知2讲,例1 如图所示，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为()A B C D3,在菱形ABCD中，因为B60，连接AC，则ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE，所以AEF的周长为，故选B.,B,分析：,2023/3/31,总 结,知2讲,在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.,2023/3/31,1 边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm,知2练,C,2023/3/31,知2练,如图，在菱形ABCD中，AB4，B60，AE

4、BC，AFCD，垂足分别为E，F，连接 EF，则AEF的面积是()A4 B3 C2 D.,B,2023/3/31,3,知识点,菱形对角线的性质,知3导,因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？,思考,菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?,2023/3/31,归 纳,知3导,定理菱形的对角线互相垂直,2023/3/31,问 题,菱形的面积如何计算呢？,菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.,2023/3/31,由于菱形的四条

5、边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算,知3讲,例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，BD12 cm，AC6 cm.求菱形的周长,导引：,2023/3/31,四边形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6 cm，BD12 cm，AO3 cm，BO6 cm.在RtABO中，由勾股定理，得AB 菱形的周长4AB,解：,2023/3/31,总 结,知3讲,菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定

6、理来计算,2023/3/31,1 如图，四边形ABCD是菱形，BEAD，BFCD，垂足分别为E，F.(1)求证：BEBF；(2)当菱形ABCD的对角线AC8，BD6时，求BE的长,知3练,2023/3/31,知3练,(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABCB，BADBCD.BEAD,BFCD，AEBCFB90.,2023/3/31,知3练,(2)解：对角线AC8，BD8，AO4，OD3.易求得AD5.又菱形ABCD的面积ADBE ACBD，5BE,2023/3/31,如图，四边形ABCD是菱形，AC8，DB6，DHAB于H，则DH等于()A.B.C5 D4,知3练,A,2023/3/31,第一

7、章 特殊平行四边形,1.1 菱形的性质与判定,第2课时 菱形的判定,3/31/2023,1,课堂讲解,由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,2023/3/31,1.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充 就可以判定它是一个菱形.3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.,2023/3/31,根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流,2023/3

8、/31,1,知识点,由对角线的位置关系判定菱形,可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形下面我们证明这个结论,知1导,2023/3/31,已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形四边形ABCD是平行四边形，OAOC.又ACBD，BD是线段AC的垂直平分线BABC.四边形ABCD是菱形(菱形的定义),知1讲,证明：,2023/3/31,知1讲,总 结,1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱 形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边 形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或 直接证明四边形的对角线互相垂直平分.,2023/3/31,如图

9、，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_使其成为菱形(只填一个即可),知1练,ACBD（答案不唯一）,2023/3/31,2 下列命题中正确的是()A对角线相等的四边形是菱形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形,知1练,D,2023/3/31,2,知识点,由边的数量关系判定菱形,知2导,议一议已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形你是怎

10、么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.,2023/3/31,知2讲,例1 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O，AB，OA2，OB1.求证：ABCD 是菱形 在AOB中，AB，OA2，OB1，AB2AO2OB2.AOB是直角三角形，AOB是直角 ACBD.ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形),证明：,2023/3/31,总 结,知2讲,1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平 行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四 边形的四条边都相等,2023/3/31,1

11、 做一做 你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形 你能说说小颖这样做的道理吗？,知2练,2023/3/31,如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给 出的条件不正确的是()AABAD BACBD CACBD DBACDAC,知2练,C,2023/3/31,1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形,2023/3/31,平行四边形,四边形,菱形,2、

12、判定菱形的常见思路：,四条边都相等,判定条件,对角线互相垂直,一组邻边相等,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.1 菱形的性质与判定,第3课时 菱形性质与判定 的综合应用,3/31/2023,名师点金,菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对 角线平分一组对角 判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平 行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等,2023/3/31,1,训练角度,利用菱形的性质与判定判断图

13、形的形状,如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断 ABC的形状，并说明理由,2023/3/31,(1)ABCD，CEAD，四边形AECD是平行四边形，DACACE.AC平分BAD，EACDAC.EACACE.AECE.四边形AECD是菱形,证明：,2023/3/31,(2)ABC是直角三角形，理由如下：点E是AB的中点，AEBE.AECE，CEBE.EBCECB.EBCBCABAC180，EACACE，BCEECA90，即BCA90.ABC是直角三角形,解：,2023/3/31,2,训练角度,利

14、用菱形的性质与判定证明线段的关系,2如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，BDAC.(1)求证：ADBC；(2)若E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的 中点，求证：线段EF 与线段GH互相垂直平分,2023/3/31,如图，连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，HEAD，且HE AD，FGAD，且FG AD，EG BC.HEFG，HEFG.四边形HFGE为平行四边形 由(1)知，ADBC，HEEG.HFGE为菱形 线段EF与线段GH互相垂直平分,2023/3/31,3,训练角度,利用菱形的性质与判定求线段长,3如图，在四边形ABCF中，

15、ACB90，点E 是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的 对称点(1)证明：四边形AECF为菱形；(2)设EF交AC于点O，若BC10，求线段OF的长,2023/3/31,(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线 所以CECF，AEAF.又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AECE.所以AEAFCECF.所以四边形AECF是菱形,证明：,2023/3/31,(2)因为四边形AECF是菱形，所以OAOC，OEOF.因为点E是AB的中点，所以EO是ACB的中位线 所以EO BC5.所以OF5.,解：,2023/3/31,4,训练角度,利用菱形的性质与判定

16、解决面积问题,4如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD平分 BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EFAB，分别交AC，BC于点E，F，作PMAC，交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形(2)当点P在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM面积的 一半？请说明理由,2023/3/31,(1)EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形 AD平分BAC，CADBAD.EPAB，BADEPA.CADEPA.EAEP.四边形AEPM为菱形,证明：,2023/3/31,解：,(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM S四边形EFBM.理由如下：

17、四边形AEPM为菱形，APEM.ABAC，CADBAD，ADBC.EMBC.又EFAB，四边形EFBM为平行四边形 过点E作ENAB于点N，如图，EP EF，S菱形AEPMAMENEPEN EFEN S四边形EFBM.,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.2 矩形的性质与判定,第1课时 矩形及其性质,3/31/2023,1,课堂讲解,2,课时流程,矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,2023/3/31,下面图片中都含有一些特殊的平行四边形观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,2023/3/31,1

18、,知识点,矩形的定义,矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行 四边形不一定是矩形(2)矩形必须具备两个条件：它是一个平行四边形；它有一个角是直角这两个条件缺一不可,知1讲,2023/3/31,例1 如图所示，l1l2，A、B是l1上的两点，过A、B分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C四 边形ABCD是矩形吗?简述你的理由,知1讲,很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为ADl2有直角，问题得证 四边形ABCD是矩形，理由：ADl2，BCl2，ADBCl1l2，四边形ABCD是平行四边形又ADC=90，平行四边形

19、ABCD为矩形,分析：,解：,2023/3/31,总 结,知1讲,利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.,2023/3/31,1,下列说法正确的是()A平行四边形是矩形 B矩形不一定是平行四边形C有一个角是直角的四边形是矩形D平行四边形具有的性质矩形都具有,知1练,B,2023/3/31,2,知识点,矩形的边角性质,知2导,想一想(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性 质你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(3)你认为矩形还具有哪些 特殊的性质？与同伴交流,2023/3/31,知

20、2导,已知：如图，四边形ABCD是矩形，ABC90，对角线AC与DB相交于点O.求证：ABCBCDCDADAB90；证明：四边形ABCD是矩形，ABCCDA，BCDDAB(矩形的 对角相等)，ABDC(矩形的对边平行)ABCBCD180.又ABC90，BCD90.ABCBCDCDADAB90.,2023/3/31,归 纳,知2导,矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形具有平行四边形的所有性质(3)矩形是轴对称图形，如图所示，邻边不相等的矩形有两条对称轴,2023/3/31,如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且ADDE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是

21、()AAOBBOC BBOCEODCAODEOD DAODBOC,知2练,1,2023/3/31,3,知识点,矩形的对角线性质,知3导,任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD是矩形 求证：AC=DB 四边形ABCD是矩形，ABC=DCB=90(矩形的性质定理1)AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB ABCDCB(SAS).AC=DB 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.,证明：,2023/3/31,矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A对角相等 B对角线相等C对边相等 D对角线互相平分,知3练,1,B,2023/3/

22、31,知4导,4,知识点,直角三角形斜边上中线的性质,议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是RtABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？,2023/3/31,1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、请你完成这个定理的证明.3、总结：(1)此性质与“含30角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”是解决线段倍分问题的重要依据；(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上 的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30角的直角三角形 性质”仅适用于含30角的特殊直角三角形；(3)直角三角形还具有以下性质：两

23、锐角互余；两直角边的平 方和等于斜边平方,知4讲,2023/3/31,例2如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AOD120，AB2.5，求这个矩形对角线的长解：四边形ABCD是矩形，ACBD(矩形的对角线相等)，OAOC AC，OBOD BD(矩形的对角线互相平分)OAOD.AOD120，ODAOAD(180120)30.又DAB90(矩形的四个角都是直角)，BD2AB22.55.,知4讲,2023/3/31,1,如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点若AB6，AD8，则四边形ABPE的周长为()A14 B16 C17 D18,知4练,D,2023/3/31,2,如

24、图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AFBC，垂足为点F，ADE30，DF4，则BF的长为()A4 B8 C2 D4,知4练,D,2023/3/31,1矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行 四边形所有性质2性质归纳：(1)边的性质：对边平行且相等(2)对角线性质：对角线互相平分且相 等(3)对称性：矩形是轴对称图形,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.2 矩形的性质与判定,第2课时 矩形的判定,3/31/2023,1,课堂讲解,由对角线关系判定矩形由直角的个数判定矩形,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,20

25、23/3/31,做一做如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化,(1)随着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此 你能得到一个怎样的猜想？,2023/3/31,1,知识点,由对角线关系判定矩形,判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.请完成该定理的证明：,知1讲,3/31/2023,知识点,知1讲,例1如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB4，求 ABCD是矩形.,2023/3/31,知识点,知1讲,四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.又ABO

26、是等边三角形，OAOBAB4，BAC60.OAOBOCOD4.ACBD2OA248.ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),解：,3/31/2023,1,如图，在ABCD中，延长AD到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_，使四边形DBCE是矩形,知1练,EBDC,2023/3/31,2,下列关于矩形的说法中正确的是()A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分,知1练,B,2023/3/31,3,已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是()A当ABBC时，

27、四边形ABCD是菱形B当ACBD时，四边形ABCD是菱形C当OAOB时，四边形ABCD是矩形D当ABDCBD时，四边形ABCD是矩形,知1练,D,2023/3/31,2,知识点,由直角的个数判定矩形,知2导,想一想我们知道，矩形的四个角都是直角反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流,2023/3/31,知2讲,例2 已知：如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC 的一条角平分线，AN为ABC的外角CAM的平分 线，CEAN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形,证明：AD平分BAC，AN平分CAM，CAD=BAC，CAN CAM.DAECAD

28、CAN(BACCAM)18090 在ABC中，ABAC，AD为BAC的平分线，ADBC.ADC90.又CEAN，CEA90.四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),3/31/2023,1,数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是()A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量三个角是否都为直角,知2练,D,2023/3/31,3,议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流,知2练,2023/3/

29、31,1.矩形的判定方法：（1）矩形的判定与性质是互逆定理；（2）判定矩形的常见思路如下：,平行四边形,四边形,矩形,对角线,互相平分,有三个角是直角,有一个角是直角,对角线相等,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.2 矩形的性质与判定,第3课时 矩形的性质与判定 的综合应用,3/31/2023,1,题型,利用矩形的判定和性质解和差问题,如图，在ABC中，ABAC，点P是BC上任意一点，PEAB，PFAC，BDAC，垂足分别为E，F，D.(1)求证：BDPEPF.(2)当点P在BC的延长线 上时，其他条件不变 如图，BD，PE，PF之间的上述关系还成立 吗？若不成立，请说明理由,2

30、023/3/31,(1)如图，作BHFP交FP的延长线于点H.BDAC，PFAC，BHPF，四边形BDFH是矩形 BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90.EPBFPC.,证明：,2023/3/31,又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90.又PBPB，PEBPHB.则PEPH.BDHFPFPHPFPE.即BDPEPF.,2023/3/31,(2)不成立，PEBDPF.理由：作BHPF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PEPH，BDHF.PEFHFPBDPF.,解：,2023/3/31,2如图，已知点E是ABCD中BC边的中点，连接 AE

31、并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若AEC2ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若AFD 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积,2,题型,利用矩形的判定和性质解面积问题,2023/3/31,(1)四边形ABCD为平行四边形，ABDC.ABEECF.又点E为BC的中点，BECE.又AEBFEC，ABEFCE.ABCF.,证明：,2023/3/31,又ABCF，四边形ABFC为平行四边形AEEF.AEC为ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBECE，即AFBC.四边形ABFC为矩形,2023/3/3

32、1,(2)四边形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等边三角形，且边长为4，CFCD 2.AC S矩形ABFC,解：,2023/3/31,3如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，且DEAC，AEBD.求证：四边形AODE是矩形,3,题型,利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形,2023/3/31,DEAC，AEBD，四边形AODE是平行四边形四边形ABCD是菱形，ACBD.AOD90.四边形AODE是矩形,证明：,2023/3/31,4如图，已知ACBADB90，N，M分别 是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，并说明理由,4,题型,利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系

33、,2023/3/31,MNCD.理由如下：如图，连接ND，NC.在RtABD中，ADB90，N是AB的中点，ND AB.同理可证NC AB.NDNC.NDC是等腰三角形 在等腰三角形NDC中，M是CD的中点，MNCD.,解：,2023/3/31,5阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边 形吗？,5,题型,利用矩形、菱形的判定探究条件,2023/3/31,小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.,2023/3/31,参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图中四边形ABCD的

34、形状(如图)，则 四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由(2)如图，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱 形？写出结论并说明理由 当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩 形直接写出结论,2023/3/31,(1)四边形EFGH还是平行四边形理由如下：连接AC.E，F分别是AB，BC的中点，EFAC，EF AC.G，H分别是CD，AD的中点，GHAC,GH AC.EFGH，EFGH.四边形EFGH是平行四边形,解：,2023/3/31,(2)当ACBD时，四边形EFGH是菱形 理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当ACBD时

35、，FG BD，EF AC，FGEF.四边形EFGH是菱形 当ACBD时，四边形EFGH是矩形：(2)中由(1)可知四边形EFGH是平行 四边形，,2023/3/31,E，F分别是AB，BC的中点，EFAC.ACBD，EFBD.G，F分别是CD，BC的中点，FGBD.EFBD，EFFG.即EFG90.四边形EFGH是矩形,2023/3/31,6已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且 BEBC，AB3，BC4，点P是EC上的一动点，且PQBC于点Q，PRBD于点R.,6,题型,利用矩形的性质探究动点问题,2023/3/31,(1)如图，当点P为线段EC的中点时，求证：PRPQ(2)如图，当

36、点P为线段EC上任意一点(不与点E，点 C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由(3)如图，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其 他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,2023/3/31,(1)连接BP，作CHBD于点H.BEBC，点P为CE的中点，BP是EBC的平分线 PRBE，PQBC，PRPQ.在矩形ABCD中，BCD90，BC4，CDAB3，,证明：,2023/3/31,由SBCD BCCD BDCH，得CH SPBESPBCSBCE，又BEBC，PRPQ,2023/3/31,(2)(1)中结论P

37、RPQ 仍成立 证明：连接BP，作CHBD于H.SPBESPBCSBCE，又BEBC，PRPQCH.而CH PRPQ(1)中结论成立(3)猜想：PRPQ,解：,解：,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.3 正方形的性质与判定,第1课时 正方形及其性质,3/31/2023,1,课堂讲解,正方形的定义正方形的性质,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,2023/3/31,图中的四边形都是特殊的平行四边形观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,2023/3/31,1,知识点,正方形的定义,正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

38、,知1讲,2023/3/31,1,下面四个定义中不正确的是()A有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B有一组邻边相等的四边形叫做菱形C有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形D有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,知1练,B,2023/3/31,2,知识点,正方形的性质,知2导,议一议(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形 的所有性质,（正方形边的性质）,2023/3/31,知识点,知2讲,正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；,2023/3/31,

39、知识点,知2讲,例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延 长线上一点，且CECF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由解：BEDF，且BEDF.理由如下：(1)四边形ABCD是正方形，BCDC，BCE90(正方形的四条边相等，四个角都是直角)DCF180BCE1809090.BCEDCF.又CECF，BCEDCF.BEDF.,2023/3/31,知识点,知2讲,(2)延长BE交DF于点M(如图)BCEDCF，CBECDF.DCF90，CDFF90.CBEF90.BMF90.BEDF.,2023/3/31,知2讲,例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交 点为O，E

40、是OB上的一点，DGAE于G，DG 交AO于F，求证：EFAB.,要证EFAB，由于OBA45，EOF90，即需证OEF45，即要证明OEOF，而OEOF可通过证明AEODFO获得,导引：,2023/3/31,知2讲,四边形ABCD是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又DGAE，EAOAEOEDGGED90.AEOGED，EAOEDGFDO.AEODFO(ASA)OEOF.OEF45.OEFOBA.EFAB.,证明：,2023/3/31,总 结,知2讲,通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角

41、都是直角为证明三角形全等提供了条件,2023/3/31,知识点,知2讲,议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流,解：,2023/3/31,1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A四个角都相等 B四条边相等 C对角线相等 D对角线互相平分,知2练,B,2023/3/31,2,如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BEEC21，则线段CH的长是()A3 B4 C5 D6,知2练,B,2023/3/31,知2讲,例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分BA

42、C，EFAC，求BE的长,线段BE是RtABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证ABEAFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解,导引：,（正方形角的性质）,2023/3/31,四边形ABCD为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABEAFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在RtABC中，AC FCACAF(1)(cm)，BE(1)cm.,解：,知2讲,2023/3/31,总 结,解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角

43、相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙,知2讲,2023/3/31,1 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD 的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M，N两点，则图 中的全等三角形共有()A2对 B3对 C4对 D5对,知2讲,C,2023/3/31,正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依

44、据,2023/3/31,第一章 特殊平行四边形,1.3 正方形的性质与判定,第2课时 正方形的判定,3/31/2023,1,课堂讲解,正方形的对称性正方形的判定,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,2023/3/31,如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开怎样剪才能剪出一个正方形？,2023/3/31,1,知识点,正方形的对称性,正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.,知1讲,2023/3/31,知识点,知1讲,例1 如图,正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一

45、点，AF=2，P为AC上一个 动点，则PF+PE的最小值为_.找到点F关于直线AC的对称点M，连接EM,计算EM的长即可.如图,在AD上取一点M，使AM=2,点M即为点F关于直线AC的对称点.连接EM，过M点作MNBC于N，由题意可知EN=BNBE=AMBE=21，易得MN4，EM,导引:,2023/3/31,总 结,知1讲,正方形是特殊的平行四边形，正方形关于它的对角线所在直线对称.求两线段和的最小值，往往要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.,2023/3/31,2,知识点,正方形的判定,议一议 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是

46、正方形？请证明你的结论，并与同伴交流,知2导,2023/3/31,知识点,知2讲,1.正方形的判定定理：（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.请你证明以上定理.,2023/3/31,知2讲,2.判定方法：(1)从四边形出发：有四条边相等，四个角都是直角的四边形是 正方形；对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形 是正方形(3)从矩形出发：有一组邻边相等的

47、矩形是正方形；对角线互 相垂直的矩形是正方形(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相 等的菱形是正方形,2023/3/31,知2讲,例2已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC，CE平 分DCB，BFCE，CFBE.求证：四边形BECF是 正方形 BFCE，CFBE，四边形BECF是平行四边形 四边形ABCD是矩形，ABC90，DCB90.又BE平分ABC，CE平分DCB，EBC ABC45，ECB DCB45.EBCECB.EBEC.,证明：,2023/3/31,知2讲,BECF是菱形(菱形的定义)在EBC中，EBC45，ECB45，BEC90.菱形BECF是正方形(有一

48、个角是直角的菱形是 正方形),2023/3/31,1,如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件_，使四边形ABCD是正方形(填一个即可),知2练,BAD90,（答案不唯一）,2023/3/31,2,在ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DECA，DFBA，连接EF，则下列三种说法：如果EFAD，那么四边形AEDF是矩形；如果EFAD，那么四边形AEDF是菱形；如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有()A3个 B2个 C1个 D0个,知2练,B,2023/3/31,正方形的判定：,平行四边形,矩形,菱形,正方形,

49、一组邻边相等,一个内角是直角,一组邻边相等,对角线垂直,对角线相等,一个内角为直角,2023/3/31,第二章 一元二次方程,2.1 认识一元二次方程,第1课时 一元二次方程,2023/3/31,1,课堂讲解,一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式建立一元二次方程的模型,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,课后作业,2023/3/31,幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？观察下面等式：102112122132142.,2023/

50、3/31,你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？,2023/3/31,如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？,3/31/2023,1,知识点,一元二次方程的定义,议一议,由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(82x)(52x)18，x2(x1)2(x2)2(x3)2(x4)2，(x6)