浅谈导数及其应用毕业论文.doc

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1、河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目： 浅谈导数及其应用 学 院： 数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级：2008级A班 学生姓名： 学号： 2008011414 指导教师： 职称： 教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 研究目标:通过对微分学中导数概念及其应用的研究，体会导数在数学思想史和科学思 想史的应用价值。 主要任务:（1）系统了解微积分理论。（2）认识微积分的创立的重要意义，挖掘导数概念产生背景。（3）结合所学专业知识，探索导数的应用价值。2、论文（设计）的主要内容 （1）微积分学产生的时代背景和历史意义。 （2）导数概念产生的背景。 （3）导数在解决

2、相关知识问题中的重要应用。3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：（1）数学学科专业知识（2）英语阅读能力（3）材料分析汇总能力 研究路线：导数概念的产生背景导数的性质导数的应用 4、主要参考文献 1 史宁中.中学概率与微积分研究.北京：高等教育出版社，2010.2 张天德.高等数学同步辅导（上）.济南：山东科学技术出版社，2009.3 施光燕.高等数学讲稿.大连：大连理工大学出版社，2008.4 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京：高等教育出版社，2001.5、计划进度阶段起止日期1提出选题的初步设想2011.12.1 2011.12.152阅读相关文献资料,具体确定题目,分析

3、筛选已有文献2011.12.152012.1.313构思论文框架，编写论文提纲，完成开题报告书2012.2.1 2012.2.294撰写初稿，并送交指导老师修改2012.3.1 2012.3.315经过修改，完成终稿，准备答辩2012.4.1 2012.5.1指 导 教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 2012 届学生姓名 论文（设计）题目浅谈导数及其应用指导教师 专业职称教授所属教研室离散数学研究方向组合数学课题论证：见附页方案设计： 1、系统了解微积分学的发展史，认识导数概念产生及发展的过程。

4、 2、导数的概念、意义、性质、求导法则。 3、利用实例体现导数的具体应用，表现为利用导数解决数学问题，利用导数解决生活中的问题。 4、在解决问题的同时，总结出数学的基本思想和方法。进度计划： 2011.12.1 2011.12.15 提出选题的初步设想；2011.12.152012.1.31 阅读相关文献资料,具体确定题目,分析筛选已有文献；2012.2.1 2012.2.29 构思论文框架，编写论文提纲，完成开题报告书；2012.3.1 2012.3.31 撰写初稿，并送交指导老师修改；2012.4.1 2012.5.1 经过修改，完成终稿，准备答辩指导教师意见：指导教师签名： 年 月 日教

5、研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日附页课题论证1、课题目的及意义我们在学习过程中发现微积分学具有数学形式化的美丽，推理与论证思维体操的严谨，理论与实践的应用魅力。然而，导数是微积分的基本概念，它的产生、发展凝聚着几代数学家的心血，具有浓厚的时代背景和重要的历史意义。我们研究导数及其性质，广泛联系所学知识，利用这一工具解决各领域的问题。从具体的实例出发，我们会发现导数在解决问题时表现出解题的轻便性和技巧性。我们在研究分析和知识总结中，体味应用过程中蕴含的数学思想和方法，并从中提高我们运用所学知识解决问题的意识。2、课题研究可行性综合运用大学阶段学习的数学课程的有关知识和高中数学选修2-2的

6、导数部分内容，将论文的课题的观点鲜明提出。通过专家调研和文献调研，结合互联网上查到的相关资料和个人、组织在各种刊物上发表的研究函数存在的问题与解决方法的文章，并向相关专业教师特别是指导老师当面请教。对论题进行论证，做到既摆事实又说道理，论证充分，提出自己的不同的看法。学校及数学系的先进实验室，计算机等设施为我们在毕业论文的完成提供很大的帮助。 3、课题内容设计论文的结构分三部分：（1）微积分学产生的时代背景和历史意义。 （2）导数概念产生的背景及导数的意义、性质和求导法则。 （3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。本文主要是导数及其性质为主要研究对象，重点介绍导数在各领域的应用。其中，利用导

7、数解决函数的单调性、极值与最值、画函数图形、求解函数的值域、函数的解析式等；利用导数求解函数斜率；利用导数解决不等式的证明问题；用导数研究方程根的情况；用导数求解极限；利用导数进行数列求和与最大或最小项的求解；利用导数解决实际问题。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述 一、前言微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。2 微积分从20世纪开始进入中学。它作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识。1它那闪耀着智慧光芒的深刻思想，一定会哺育人类走向更高的历史阶段。 “导数及其应用”

8、作为高中数学选修系列2中的一个模块内容。在这章中，利用丰富背景和大量实例介绍导数和定积分的基本概念与思想方法。学生学习这部分内容会出现不适应的情况，所以把加强所学知识的运用能力作为论文的研究目标。二、主题 1、微积分创立的时代背景和历史意义？十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归纳起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分的

9、发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。2、导数的概念产生背景？导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接联系的是以下的两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。对这两个问题进行分析和归纳，可以得到一种极限的形式。3、导数的有哪些应用？函数是描述客观世界变化规律的

10、重要数学模型。我们发现，导数在一定程度上反映出函数变化的快慢程度，导数可以用来解决函数的一些问题。与此同时，导数在课本中的引入和定义始终贯穿着函数思想，由此可见函数和导数的联系是非常密切的，也是相辅相成的。我们利用导数可以判定函数的单调性；可以解决函数的极值与最值问题；可以作出函数的图形；可以求解函数的解析式；可以判定函数的凸凹性及拐点等1。导数可以解决生活问题，表现为物理学方面的运动速度问题；农业生产中的物种繁殖率问题；城市建设中的绿化面积增长率问题；以及工业生产中利润最大、用料最省、效率最高的问题。2三、 总结微积分是数学史上具有标志性的转折点和分水岭，从而堪称具有里程碑的意义。这个伟大的

11、创造将导数的相关理论以有限处理无限、以近似求得精确、以量变求得质变的思想发挥到了顶峰。我们在学习过程中发现微积分学具有数学形式化的美丽，推理与论证思维体操的严谨，理论与实践的应用魅力。四、 参考文献 1 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京:高等教育出版社,2001. 2 普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2A版.人民教育出版社，2007. 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章数学就像一种奇妙的幻想，但这种奇妙幻想最终还是会真实的体现在一直存在的现实中。做数学运算有一种在做一个想象的发明的感觉，但它确实是强化我们洞察力的过程，所以我们在周围任何地方都可以发现那样的情景模式我们数学

12、教育的目标是为了飞越到现实的脚步之前并分享数学运算带来的理智愉悦的体验。 微积分的发展史是数学史的重要组成部分。极限、函数、导数、积分和无穷级数等内容在微积分中有所体现。微积分这门学科依然在现代数学教育中占据一席之地。微分学和积分学统称为微积分学。这两大部分间起桥梁作用的是著名的微积分学基本定理。微积分研究的主要内容是丰富的、变化的。微积分课程是先进思想的传播课程，后来人们也将微积分称为数学分析。微积分作为工具广泛应用在科学、经济学、工程等领域，用于解决许多问题，这是代数这门学科独自解决是不能满足的。一、微分学希腊数学家阿基米德是第一个找到切线方向的曲线，除了一个圆圈，在一个方法类似于微积分。

13、当研究螺旋时，他一个点的运动分开成两个组成部分，一个径向运动部件和一个圆周运动组件，然后继续增加双组分在一起从而找到切线运动的曲线。印度数学家及天文学家阿雅巴塔在499年为解决无穷小天文问题，采用了一种新的观念和表达方式，创造性的利用了一种基本微分方程形式。Manjula,在世纪十周年开个晚会，详细阐述了该微分方程在一个评论。该方程skara最终导致Bh二世时12世纪发展一种衍生为代表无穷小观念的改变，而他描述早期版本的“罗尔定理”。在15世纪，一个早期版本中值定理Parameshvara是在天文学的喀拉拉学校里他的评论中和数学登顶，巴卡拉II被首次描述(1370 - 1460)。在17世纪，

14、欧洲数学家撒向后拉线，皮埃尔德费，布莱斯帕斯卡，约翰沃利斯和其他学者讨论了概念的衍生体系。特别是，在Methodus广告disquirendam maximam最小风险，在德tangentibus等linearum curvarum，开发出一种方法测定费最大值、最小值，并对各种曲线的切线相当于分化。艾萨克牛顿后来写他自己的想法微分早期直接来自“费马研究极值的问题”。二、积分学计算面积和体积是微积分的基本功能。这可以追溯到莫斯科纸莎的手写稿（约1820年），其中一名埃及数学家成功的运用微积分知识计算金字塔形锥体的体积。希腊geometers被人认为是利用无穷小解决问题的显著体现者。德谟克利特是称

15、自己是第一个经过缜密、严肃考虑后，将对象划分成无数的横切面。但他不能把其合理化，如果想把光滑的斜坡构思成数学中的一个离散的锥形截面，这个问题是他走入到了思想紧闭区，所以他必须创造出新的理论。大约在相同的时间点上，季诺也急于这方面的思考，使得他焦头烂额后，给出了无穷小理论的悖论。安提和欧多克斯把它们进行分割成若干的部分，能够计算出地区和固体的面积和体积，这个过程穷尽了他们所熟悉的一般方法。阿基米德进一步创造了这一方法，利用启发式思考，最后得出结论是有点类似于现代的概念。（阿基米德将方形上的抛物线的研究方法应用于球体和圆柱体。）到了牛顿时代，这些方法都过时了。它不应该被认为是无穷理论的基础，这一说

16、法在此期间流传。然而，希腊数学家说恰是它的这种方法被应用于几何证明是可以被确定为一个正确的理论。11世纪积分学走上了一个新的层次，一位在埃及工作的伊拉克籍数学家是在欧洲享有盛誉的。他提出的问题推动了对四次方程求根问题的思考。在他所学的书中，有效解决了上述问题。其中，采用了一种方法很容易的确定出整数求和的问题。他在抛物面上求体积，而且能够将其进行推广，最终得到多项式的积分，并以此获得新的荣誉。他的这种方式接近于一般多项式的积分，但是还有限制因素就是四次多项式。三、现代微积分 詹姆斯格雷戈里能证明17世纪中叶微积分一个版本中第二基本定理是受限制的。牛顿和莱布尼兹判别法通常被认为是现代的发明，微积分

17、理论日渐成熟于17世纪后期。他们最重要的贡献是发展微积分基本定理。同时，大量利用莱布尼兹判别法作出一致的工作和有用的符号以及概念。牛顿是第一个在该领域组织成一个一致的主题,并提供了一些的方法，也是最重要的应用，尤其是积分学的理论的基础。巴德费,惠更斯，沃利斯以及其他许多人也作出了重要的贡献。四、应用 微积分作为工具解决了物理学和天文学的问题，这是当代科学的起源。18世纪这些应用不断增多，直到接近拉普拉斯和拉格朗日整体研究的分析领域。拉格朗日（1773年）称我们应该引入动态的潜力理论，虽然名称是“潜在功能”但科学基本的回忆录必须是绿色的（1827年，1828年印）。进入分析物理问题的其他应用程序

18、种类繁多，在这个地方是不可能的。亥姆霍兹用自己的劳动特别声明，因为他在动力、电力等理论所作出的贡献，并带来了他伟大的分析能力，并用来承担力学的基本公理，以及对于那些纯粹的数学。此外，微积分被引入到社会科学，新古典经济学。今天它成为主流经济学的有价值的工具。博耶，卡尔.数学史.纽约：约翰威利父子，1991年.威廉瑟斯顿，通告阿米尔数学SOC.1990年. Boyer, Carl. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1991. William Thurston, Notices Amir .Math .Soc. 1990M

19、athematics is like a flight of fancy, but one in which the fanciful turns out to be real and to have been present all long. Doing mathematics has the feel of fanciful invention, but it is really a process for sharpening our perception so that we discover patterns that are everywhere aroundTo share i

20、n the delight and the intellectual experience of mathematicsto fly where before we walkedthat is the goal mathematical education. History of Calculus is part of the history of mathematics focused on limits, functions, derivatives, integrals, and infinite series. The subject, known historically as in

21、finitesimal calculus, constitutes a major part of modern mathematics education. It has two major branches, differential calculus and integral calculus, which are related by the fundamental theorem of calculus. Calculus is the study of change, in the same way that geometry is the study of shape and a

22、lgebra is the study of operations and their application to solving equations. A course in calculus is a gateway to other, more advanced courses in mathematics devoted to the study of functions and limits, broadly called mathematical analysis. Calculus has widespread applications in science, economic

23、s, and engineering and can solve many problems for which algebra alone is insufficient. Differential calculus The Greek mathematician Archimedes was the first to find the tangent to a curve, other than a circle, in a method akin to differential calculus. While studying the spiral, he separated a poi

24、nts motion into two components, one radial motion component and one circular motion component, and thencontinued to add the two component motions together therebyfinding the tangent to the curve. The Indian mathematician-astronomer Aryabhata in 499 used anotion of infinitesimals and expressed an ast

25、ronomical problemin the form of a basic differential equation. Manjula, in the10th century, elaborated on this differential equation in acommentary. This equation eventually led Bh skara II in the12th century to develop the concept of a derivative representinginfinitesimal change, and he described a

26、n early form of Rollestheorem. In the 15th century, an early version of the mean value theoremwas first described by Parameshvara (13701460) from theKerala school of astronomy and mathematics in hiscommentaries on Govindasv mi and Bhaskara II. In the 17th century, European mathematicians Isaac Barro

27、w,Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis and othersdiscussed the idea of a derivative. In particular, in Methodus addisquirendam maximam et minima and in De tangentibuslinearum curvarum，Fermat developed a method fordetermining maxima, minima, and tangents to various curvesthat was equivalent t

28、o differentiation. Isaac Newton wouldlater write that his own early ideas about calculus came directlyfrom Fermats way of drawing tangents. Integral calculus Calculating volumes and areas, the basic function of integral calculus, can be traced back to the Moscow papyrus (c. 1820 BC), in which an Egy

29、ptian mathematician successfully calculated the volume of a pyramidal frustum. Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to

30、rationalize discrete cross-sections with a cones smooth prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. The next major step in integral calculus came in the 11thcentury, whe

31、n I bal-Haytham (known as Alhacen in Europe),an Iraqi mathematician working in Egypt, devised what is nowknown as Alhazens problem, which leads to an equation ofthe fourth degree, in his Book of Optics . While solving thisproblem, he was the first mathematician to derive the formulafor the sum of th

32、e fourth powers, using a method that is readilygeneralizable for determining the general formula for the sumof any integral powers. He performed integration in order tofind the volume of a parabolic, and was able to generalize hisresult for the integrals of polynomials up to the fourth degree.He thu

33、s came close to finding a general formula for theintegrals of polynomials, but he was not concerned with anypolynomials higher than the fourth degree.Antiphon and later Emulous are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of

34、 regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes Quadrate of the Parabola, The Method, Archimedes on Spheres & Cylinder

35、s.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek mathematicians accept a proposition as true. Moder

36、n calculus James Gregory was able to prove a restricted version of the second fundamental theorem of calculus in the mid-17thcentury.Newton and Leibniz are usually credited with the invention of modern infinitesimal calculus in the late 17th century. Their most important contributions were the devel

37、opment of the fundamental theorem of calculus. Also, Leibniz did a great deal of work with developing consistent and useful notation and concepts. Newton was the first to organize the field into one consistent subject, and also provided some of the first and most important applications, especially o

38、f integral calculus. Important contributions were also made by Barrow, de Fermat, Huygens, Wallis and many others. ApplicationsThe application of the infinitesimal calculus to problems in physics and astronomy was contemporary with the origin of the science. All through the eighteenth century these

39、applications were multiplied, until at its close Laplace and Lagrange had brought the whole range of the study of forces into the realm of analysis. To Lagrange (1773) we owe the introduction of the theory of the potential into dynamics, although the name potential function and the fundamental memoi

40、r of the subject are due to Green (1827, printed in 1828).The labors of Helmholtz should be especially mentioned, since he contributed to the theories of dynamics, electricity, etc., and brought his great analytical powers to bear on the fundamental axioms of mechanics as well as on those of pure ma

41、thematics. Furthermore, infinitesimal calculus was introduced into the social sciences, starting with Neo classical economics. Today, it is a valuable tool in mainstream economics. 本科生毕业论文设计浅谈导数及其应用作者姓名：王丽娜指导教师：雷建国所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2012届数学A班二一二年五月一日目 录中文摘要、关键词11. 引言22. 导数32.1 导数的概念32.

42、1.1 导数定义32.1.2 单侧导数32.1.3 导函数32.1.4 高阶导数42.2 导数的意义42.3 可导函数的性质52.4 求导法则52.4.1 基本初等函数的求导公式52.4.2 导数的四则运算法则52.4.3 复合函数的求导法则62.4.4 反函数求导法则62.4.5 高阶导数的求导法则62.4.6 隐函数的求导63. 导数的应用83.1 导数在解决函数问题中的应用83.1.1 利用导数可以判定函数的单调性83.1.2 导数解决函数的极值与最值问题93.1.3 利用导数可以作出函数的图形113.1.4 利用导数求函数的值域123.1.5 利用导数可以求解函数的解析式133.1.6

43、 利用导数可以判定函数的凸凹性及拐点133.2 导数在几何上的应用153.3 用导数解决不等式的证明问题153.4 用导数研究方程的根的情况163.4.1 求方程的近似解的方法173.4.2 判断方程的根的个数问题183.5 用导数求解极限183.5.1 型不定式极限193.5.2 型不定式极限203.5.3 其他类型的不定式极限203.6 用导数解决数列中的问题213.6.1 数列求和213.6.2 求数列中的最大或最小项223.7 用导数解决实际问题224. 结语 24参考文献25英文摘要、关键词26浅谈导数及其应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师 雷建国作 者 王丽娜摘要：

44、 导数是微分学的一个基本的概念。导数作为一个强有力的工具，广泛应用于不同的领域。导数可以解决数学问题，表现为利用导数可以判定函数的单调性和求解函数的极值与最值问题等。导数可以解决生活问题，表现为物理学方面的运动速度问题；农业生产中的物种繁殖率问题；城市建设中的绿化面积增长率问题；以及工业生产中利润最大、用料最省、效率最高的问题。关键词： 导数 求导法则 导数应用 1. 引言微积分学的萌芽、发生、发展，经历了一个漫长的时期。在国内，数学家刘徽为九章算术作注时提出了“割圆术”使用正多边形逼近圆周。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，则与圆周合体而无所失矣”，这是极限思想比较早的应用。与此同时，在国

45、外，微积分所研究的问题被数学家及爱好者们不断的完善，并提升为理论。直到19世纪中叶,伟列亚力和李善兰两人共同翻译了巨作代微积拾级，并将微积分学理论第一次传入中国。虽然当时离微积分的创立已经将近200余年，但这一壮举标志着中国文化走向现代化，甚至是具有一定的国际意义。从前辈们的开拓和指引中，后来者们悉心分析和发展微积分的理论。法国启蒙哲学大师伏尔泰把微积分比作“精确计算和度量一个其存在性是无从想象的艺术”。由此可见，微积分的创立可被誉为“人类精神的最高胜利”。首先，它是数学史上具有标志性的转折点和分水岭，从而堪称具有里程碑的意义。这个伟大的创造将导数的相关理论以有限处理无限、以近似求得精确、以量变求得质变的思想发挥到了顶峰。其次，它开创了向近现代数学过渡的新时期，为研究变量与函数提供了重要的方法和工具，并蕴含着丰富的数学思想方法。我们在学习过程中发现微积分学具有数学形式化的美丽，推理与论证思维体操的严谨，理论与实践的应用魅力。微分学和积分学统称为微积分。微分学的主要内容有导数的概念、求导公式及导数的应用等。对于自然科学与技术科学，量之间的变化关系往往可以用可导函数来描述。微分学是用数学来表示问题的状态和过程中的理论。如描述物体加热或冷却率、化学过程的反映变化的程度、放射过程中的衰