浅谈分块矩阵的应用毕业论文.doc
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1、设计(论文)题目: 浅谈分块矩阵的应用 系部:信息与计算科学系 专 业:数学与应用数学 目 录第一部分 毕业论文一、毕业论文第二部分 外文资料翻译一、外文资料原文二、外文资料翻译第三部分 过程管理资料一、 毕业设计(论文)课题任务书二、 本科毕业设计(论文)开题报告三、 本科毕业设计(论文)中期报告四、 毕业设计(论文)指导教师评阅表五、 毕业设计(论文)评阅教师评阅表六、 毕业设计(论文)答辩评审第一部分 毕业论文浅谈分块矩阵的应用系 部:信息与计算科学系 专 业:数学与应用数学 浅谈分块矩阵的应用系 (部):信息与计算科学系 专 业:数学与应用数学 摘 要分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵
2、级数,使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化,而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题,以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析,通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解,所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念,我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块,从而研究它的性质及应用是非常必要的。关键词:分块矩阵,矩阵分块,计算,证明ABSTRACTTheory about block matrix could be used to decline hi
3、gh-order matrix and make its structure clearer to simplify some calculation related to matrix, it also could be used to prove some problems about matrix.In this paper,it focuses on analysing block matrix which could be applied to prove problems about the inverse of matrix and get the rank of matrix
4、and calculate the squarematrix matrix .By quoting a number of examples , we could get that its convenient to solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Obviously,block matrix is a very important concept in high algebra, So, it is necessary to research and comprehend
5、 the block matrixs property and application for us,Keywords: partitioned matrix,block matrix,caculate,prove目 录摘 要ABSTRACT第1章 绪 论1第2章 分块矩阵及其性质32.1分块矩阵32.1.1 分块矩阵的定义32.1.2 运算规则32.2分块矩阵的性质及其推论3第3章 分块矩阵在证明方面的应用93.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用93.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用93.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用103.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应
6、用123.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性123.2.2矩阵的分解13第4章 分块矩阵在计算方面的应用154.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用154.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用184.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算184.2.2矩阵时行列式|H|的计算21结 论23参考文献24致 谢25第1章 绪 论在数学名词中,矩阵(英文名Matrix)是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上,矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便,又直观.例如对于方程组 我们可以构成一个矩阵: 因
7、为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来. 数学上,一个m*n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成.矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等1.矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多学科中,如:线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等1,在实际生活中,很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算,如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握,对于矩阵的运算和应用,则有很多的问题值得我们去研究,其中当矩阵的行数和列数都相当大时,
8、矩阵的计算和证明中会是一很烦琐的过程,因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具,来使这些问题得到更好的解决,矩阵分块的思想由此产生,对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分,分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用,以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文献中,分块矩阵的一些应用如下:(1)从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 . (2)分块矩阵在线性代数中是一个基本工具, 研究许多问题都要用到它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计
9、算行列式、 求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.如:设是一个四分块阶矩阵,其中分别是 阶矩阵 ,若可逆,可证,另若可逆, 则可证得-(3)通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵问题 ,用分块矩阵求矩阵的行列式问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理:已知秩秩,且秩秩,可证得秩min秩 ,秩.(4)利用分块矩阵求高阶行列式.如设 都是 阶矩阵, 其中, 并且,则可求得.(5)给出利用分块矩阵计算行列式的方法,可分几方面讨论,当矩阵或可逆时;当矩阵,时;当与或者与可交
10、换时;当矩阵被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算.(6)分块矩阵有非常广泛的应用,特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁,而且方法也比较统一,有其独特的优越性. 本文将通过对分块矩阵性质的研究,比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用,从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.第2章 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵2.1.1 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵: 其中每个小矩阵 叫做的一个子块;分成子块的矩阵叫做分快矩阵2.2.1.2 运算规则 , (k是数量) 在用规则1)时,与的分块方法须完全相同;用性质3)时,的列的分法与的行的分法须相同.2
11、.2分块矩阵的性质及其推论 在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质3: 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面; 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号; 利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广. 性质 设方阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,都是矩阵 ,又是任一级方阵 .对于矩阵 则证明 设为级单位矩阵 ,则 于是性质 设矩阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,都是矩阵 ,又是任一阶方阵 .对于矩阵 则 证明 由 其中 是级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得 性质 设方阵和写成如下形式 ,其中 ,都
12、是 s t 矩阵,则|证明 可由中的,与,相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当为偶数时 | 当为奇时|- 可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立. 下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 推论 设,都是阶方阵,则有 证明 作2n 阶行列式 由拉普拉斯展开定理得又由性质并应用于列的情况,有 推论 设都是阶方阵,则有 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有 例1 计算阶行列式 解 令则 =推论 设, 都是阶方阵 ,其中0,并且 ,则有 证明 根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵 的第一行后加到第二行中
13、去得从而 = 例2 计算行列式= 解 设其中, ,由计算知且所以53把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后,我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设, 都是级方阵则有 结论告诉我们,两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论则说明,当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵,时(即),那么我们可以转换为求,这样我们就把求级的行列式转换成了求级的行列式.结论同样也说明那个当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵,时(即),我们可以转换为求,同样将一个级的行列式转换成了级的行列式.这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例1和例2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样,因此我们在解行
14、列式计算题时应首先观察其特点,一但发现有以上行列式的特点,即可用之.第3章 分块矩阵在证明方面的应用 3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理 1 秩秩,且秩秩,则秩min秩,秩4证明 令=,,则()可由线性表示秩秩,即秩秩秩令,所以即可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 即秩 定理 2 设、都是级矩阵,若则秩秩5.证明 对分块如下:由于即即说明的各列都是的解.从而秩基础解系秩即秩秩 3.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 设、都是阶矩阵,求证:秩秩+秩6证明因为所以=因为,都可逆所以秩=秩而秩秩秩=秩+秩所以秩秩+秩例2 设为矩阵,是从
15、中取行得到的矩阵,则7证明 不妨设是的前行,而后行构成的的矩阵为,则又显然有于是证毕.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题,一般采用两种方法,一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明,如例1;另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明,如例2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的,很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的有着广泛的应用,欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象,解题方法技巧性强,稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵,我们大家往往容易忽视它重要的一点
16、-矩阵分块的作用.本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用. 3.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性命题18 矩阵的列线性无关的充分必要条件是只有零解. 证明 令,其中是的列向量,且即也即若线性无关,则有=,只有零解,反之亦成立. 例3 矩阵列线性无关,求证:列线性无关的充要条件是列线性无关.证明 充分性.要使,即,记,则, 列无关,须,即,又列无关,须,从而列无关.必要性.要使,两边左乘,则,即,列无关,从而列无关. 推论 设, (1)的列线性相关(即)的充要条件是存在,使; (2)的行线性相关(即)的充要条件是存在,使. 证明 (1)设有,(),为的列向量,=,且,使=,即(),
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