毕业设计（论文）重积分的计算方法与技巧.doc

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1、目 录摘要I关键词IAbstractIKey words1 前言12 二重积分的概念及其计算方法12.1 二重积分的定义12.2 二重积分的性质22.2.1二重积分的线性性质22.2.2二重积分的对区域的可加性质22.2.3二重积分的不等式性质22.2.4二重积分的中值定理3 2.2.5对称区域上奇偶函数的积分性质2.3二重积分的计算方法3 2.3.1直角坐标系下的二重积分的计算 2.3.2二重积分的积分次序的正确选择 2.3.3用极坐标计算二重积分3 三重积分的概念及其计算方法43.1三重积分的定义43.2三重积分的计算方法53.2.1利用直角坐标计算三重积分53.2.2利用柱面坐标计算三重

2、积分53.2.3利用球面坐标计算三重积分64 二、三重反常积分的计算84.1 二、三重反常积分的计算85 结束语12参考文献13致谢14重积分的计算方法与技巧摘 要 重积分的计算是数学分析与高等数学中的重要内容，并且重积分的计算是一个重要的研究课题，它对于全面掌握函数知识有着重要的作用。它在解决许多实际问题的时候有着重要地位，它广泛应用于理论力学，材料力学，水力学及其他一些工程学科中。 本文从二重积分的计算问题进行研究， 包括二重积分的定义，二重积分的性质，以及二重积分的计算方法与技巧。再逐步推广到三重积分的定义、以及它的计算方法与技巧。最后简单的介绍了一些二、三重反常积分。在二、三重积分计算

3、方法方面，主要研究其在直角坐标系与极坐标系中的计算，积分次序的正确选择，以及计算方法与步骤的总结。本文旨在对二、三重积分计算问题作出系统性归纳总结。关键词二重积分；三重积分；二三重反常积分；计算方法Heavy integral calculationmethod and techniqueAbstractDouble integral calculation is the mathematical analysis and an important content in higher mathematics, and integral calculation is an important r

4、esearch topic, it is of great value in the comprehensive knowledge of function. It holds an important place in solving many practical problems, it is widely applied in theoretical mechanics, material mechanics, hydraulics and other engineering disciplines.Based on the double integral calculation pro

5、blem is studied, including the definition of double integral, the nature of the double integral, and the calculation method of double integral and skills. And then gradually spread to the definition of triple integral, and its calculation method and technique. Finally simply introduces some 2, abnor

6、mal triple integrals. In 2, triple integral calculation method, mainly studies its in rectangular coordinate system and the calculation in the polar coordinates, the integral order right choice, as well as the calculation method and steps of summary. The purpose of this paper is to make systematic s

7、umming up to second, triple integral calculation problem.Key wordsDouble integral. Triple integral. The triple improper integral; Calculation method1 前言重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的内容，是近代数学的重要基础，是高等数学最基本的内容，也是高等院校其他专业知识联系紧密的部分，他的引入为解决数学中的问题提供了新的视野。重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解决一些生活实际问题等方面的有力工具，它有相当广泛的应用范围和

8、非常重要的应用价值。数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和繁琐，而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目地。重积分涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数积分问题比较困难，所以在本文将重点介绍二、三重积分的求法。在二、三重积分方面，主要研究的二重积分的在直角坐标系下的计算、二重积分的积分次序的正确选择以及用极坐标计算二重积分等问题。由二重积分推广到三重积分，主要研究三重积分在直角坐标下的计算、三重积分在柱面坐标下的计算、三重积分在球面坐标下的计算等问题。在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有

9、帮助的。借助重积分工具去研究空间物体问题，不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平。因此，我们对重积分有比较深刻的了解，而且在遇到具体问题时要能够熟练运用。由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要作用，因此，对重积分的研究不可忽视。我们应该加大对重积分的研究深度，使之在各个领域起到更大的作用。2 二重积分的概念及其计算方法2.19 二重积分的定义定义1 设是有界闭区域上的有界函数。将闭区域任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积.在每个上任取一点，作乘积,并作和.如果当各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域D

10、上的二重积分，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和.2.24 二重积分的性质2.2.1 线性性质设为平面内有界闭区域，在内可积对常数，=2.2.2 对区域的可加性质设为平面内有界闭区域, 只有公共的边界曲线. 在内可积或在内可积=2.2.3 积分的不等式性质设为平面内有界闭区域， ,在内可积. 若特别的有 若又有,在内连续且 若,使得 其中为的面积.2.2.4 积分中值定理设为平面有界闭区域，在连续,使得 ，其中为的面积2.2.5对称区域上奇偶函数的积分性质 对不同类型的积分有不同的情形设在有界闭区域上可积.若关于轴对称（见图1），当

11、关于为偶函数，即, ，当关于为奇函数，即 =其中 图1 图2若关于轴对称（见图2），则,当关于为偶函数，,当关于为奇函数，其中. 图3 图4若关于原点对称（见图3），则，当关于为偶函数，即 ，当关于为奇函数，即, 其中为的右半平面部分或上半平面部分.若关于直线对称（见图4），则 =若分成两部分=,分别为在的上方与下方部分 2.3 二重积分的计算方法2.3.19直角坐标系下的二重积分的计算 介绍二重积分的计算前先介绍X-型区域和Y-型区域的概念.图5和图6分别给出了这两种区域的典型图例.图5 图6X-型区域：.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于

12、两个交点.Y-型区域：.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点. 我们知道，在直角坐标系下，二重积分可写成 = 假定积分区域为如下X-型区域： 当时，按照二重积分的几何意义，上述二重积分的值等于以积分区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体（见图7）的体积.下面来计算这个曲顶柱体的体积. 图7先计算截面的面积.为此在区间上任取一点，则过该点且平行于面的平面截面顶柱体所得的截面是一个一区间为底的曲边梯形（见图7阴影部分）所以此截面的面积为 于是，曲顶柱体的体积为 = （1） 上式右端的积分称为先对后对的二次积分，习惯上，常将其中的括号省略不写，而记为

13、因此，公式（1）又写成 （2） 注：虽然在讨论中，我们假定了，这只是为几何上说明方便而引入的条件，实际上，公式（2）的成立不受此条件的限制. 类似地，如果积分区域为Y-型区域： ，则有 上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分.如果积分区域既不是X-型区域又不是Y-型区域，我们可以将它分割成若干块X-型区域或Y-型区域（见图8）然后在每块这样的区域上分别应用公式（2）或（3），再根据二重积分对积分区域的可加性，即可计算出所给二重积分图8 图9如果积分区域既是X-型区域又是Y-型区域，即积分区域既可用不等式 表示，又可用不等式 表示（见图9），则有 上式表明，这两个不同积分次序的二次积分相等，这

14、个结果使我们在具体计算一个二重积分时，可以有选择地将其化为其中一种二次积分，以使计算更为简单.例 17 计算，其中是由直线及所围成的闭区域.解法1 画出积分区域的图形（见图10），易见积分区域既是X-型的也是Y-型的.如果将积分区域视为X-型的，则积分区域的积分限为， ，所以 解法2 如果将积分区域视为Y-型的（见图11），则积分区域的积分限为，所以 =图10 图11 2.3.2 积分次序的正确选择一般说来，积分次序的确定有以下原则：1. 当两种积分次序均可计算时，应选择使积分运算更简单的积分次序. 例子1.计算二重积分，其中D是由直线所围成的平面区域. 解：积分区域如图，显然，要比易于求解，

15、因此积分次序应该选为先x后y，即 = =点评：由于难以计算，故此题若先对再对积分，需配方后用三角代换，计算将比较困难.图12 图132. 若遇到不可积的函数，即不定积分不能用有限形式表示其结果时，通常需要交换积分次序.例2设，求.解 因为，其中不能用有限的形式表示其结果，所以他不能先积分，故交换积分次序得 3. 被积函数中若含有抽象函数，则一般应交换积分次序. 例3 设函数在上连续，并设， 解 （积分区域与例1中相同）所求积分中，由于是抽象函数，故无法计算，可考虑交换积分次序，但交换积分次序后，仍无法计算，再考虑利用定积分对积分变量的无关性，将积分向已知积分转化. 因为 所以 所以 2.3.3

16、 利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量表示比较简单.这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分假定区域的边界与过极点的射线相交不多于两点，函数在上连续.我们采用以极点为中心的一族同心圆：常数，以及从极点出发的一族射线：常数，把区域划分成个小闭区域（见图14），设其中一个典型小闭区域（同时也表示该小闭区域的面积）是由半径分别为和的同心圆和极角分别为和的射线所确定，则 于是，根据微元法可得到极坐标下的面积微元 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为 ，从而得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分的转换公式为 . 同样的，极坐标中的二

17、重积分也可以化为二次积分来计算的.TU 图14 图15例1 计算，其中是由所确定的圆域.解 积分区域如图15所示，它在极坐标下积分限为，所以 3、三重积分的概念及其计算方法3.1三重积分的定义 定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然的推广到三重积分.定义 设是空间有限闭区域上的有界函数.将任意分成个小闭区域 其中表示第个小闭区域，也表示它的体积.在每个上任取一点，作乘积并作和.如果当各小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分.记作，即 其中叫做体积元素.在直角坐标系中，如果用平行于坐标平面的平面来划分，那么除了包含的边界点的一些不规则小闭区域

18、外，得到的小闭区域的边长为，则.因此，在直角坐标系中有时，也把体积元素记作，而把三重积分记作 其中叫做直角坐标系中的体积元素.注： 三重积分的性质与二重积分的性质类似，故，不再重复.3.2 三重积分的计算方法三重积分的计算核心是将其转化为累次积分, 这对初学者来说, 一般都感到困难较大, 困难的原因主要表现在不会确定累次积分的上下限(即对积分区域不能准确的认识)为了方便, 用 表示平面区域, 用表示空间区域, 并将空间区域主要分以下两大类:(1)型,型, 型所谓是型区域, 就是能表示为集合,其中是在 平面上的投影区域,分别是的下边界曲面和上边界曲面方程.型区域的几何特征是:特征1 在平面上的投

19、影区域为有界闭区域;特征2 过上任意点做平行于轴的直线与的边界曲面的交点不多于两个, 沿着轴的方向,先交的点所在的曲面就是下边界曲面, 后交的点所在的曲面就是上边界曲面;特征3 上、下边界曲面是连续曲面.型,型区域读者可以类似地认识.(2)型,型, 型以型区域为例解释之, 即能表示为集合,其中 是在轴上的投影区间,是过上任意点且平行于 坐标面的平面与区域相交的平面区域(也称截面)注任意空间区域必是上述两类区域之一或能分割成上述两类区域块的并集, 根据三重积分的区域可加性, 只要能计算在上述两类区域上的积分即可.所以下面仅就上述两类区域讨论三重积分的计算.3.2.1利用直角坐标计算三重积分计算三

20、重积分的基本方法是将三重积分转化为累次积分进行计算，一般教材都讲到首先化为“先一后二”累次积分，再将二重积分化为累次积分，从而完成计算.那么我们自然会想到能否首先化为“先二后一”的累次积分再计算，结果是肯定的.现在问题的关键是面对一个三重积分如何选择使用恰当的累次积分顺序，一般来说，需要根据积分区域的类型和被积分函数的特点综合考虑，并正确确定出积分上下限.1、“先一后二”法一般地，若积分区域属于（1）类区域，则采用“先一后二”法.比如是型区域，采用先对积分后对求二重积分的积分顺序，即 例1 计算三重积分其中积分区域是由曲面 及平面 所围成的区域分析 按照（1）类区域的特征知是型区域.将投影到面

21、上，得投影区域，下边界是 上边界曲面是 于是解 由公式（1）得2 “先二后一”法一般地，若积分区域属于（2）类区域，且被积分函数形式如“”、“”、“”等，则采用“先二后一”法.比如是型区域，被积函数 .宜采用先对 求二重积分后对求积分的顺序.即 （2）注 此种方法在一些特殊情形下显得非常简便.比如是型区域，被积函数例2 计算三重积分其中积分区域为球面 所围. 分析此区域既是(1)类区域, 也是(2)类区域.按公式(1)计算比较繁琐.注意到被积函数是一元函数, 更适合按公式(2)计算. 解首先将区域按型表示: .于是由公式(2)得 .2 柱面坐标系下三重积分计算法 在柱面坐标系下计算三重积分实质

22、就是采用“先一后二”的累次积分顺序且“后二” 的二重积分在极坐标系下计算, 所以一般地, 若积分区域属于(1)类区域, 且投影区域是圆域、圆环域或其部分, 则我们采用在柱面坐标系下计算三重积分.区域的表示只要将投影区域在极坐标系下表示(通常表示成 型区域, 即先后的累次积分顺序)即可.例如 是型区域，并且此时积分区域表示为则有 （3）例3 计算三重积分其中积分区域是由圆锥面和平面 围成. 分析容易判断此积分区域既是型区域, 也是型区域.下面就分别按这两种认识解, 解法1(先二后一法)将看作型区域, ， .“先二” 积分是对积分, 而被积函数含有“”,故此二重积分适宜用极坐标, 所以将表示成 ，

23、于是由(2)式得 . 解法2(柱面坐标法)将看作型区域, 即采用“先一后二” 的顺序, 由于后二的积分变元是, 而被积函数“ ” ，故此二重积分适宜用极坐标, 此即通常教材上所说的按柱面坐标系来计算. 在 面上的投影区域 ，下边界曲面是圆锥面 ，即 ，上边界曲面是平面 ，在柱面坐标系下表示为 ，于是由(3)式得 3.2.3利用球面坐标计算三重积分设、分别为直角坐标系和球面坐标系上点的坐标，点的直角坐标与球面坐标的关系为 （4）为了把三重积分中的积分变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面常数，常数，常数把积分区域分成许多小闭区域.考虑各取得微小增量所成的六面体的体积（见图16）.不计高阶无穷

24、小，可把这六个面体看作长方体，其经线方向的长为纬线方向的宽为，向径方向的高为，于是得图16 ，这就是球面坐标体系中的体积元素，再注意到关系式（4），就有 （5）其中（5）式就是把三重积分的变量从直角坐标转变为球面坐标的公式.例4 求，其中为由与所围区域.解 作球坐标变换 于是.在上述广义球坐标变换下，的原象为 .由公式（5），有 .4 二、三重反常积分的计算4.1 二、三重反常积分的计算 粗略的说，二重，三重反常积分，与（一重）反常积分类似，被定义为“部分积分”的极限.部分积分是区域割去“反常部分”后在剩下部分上的积分.对无界区域上二、三重反常积分就是分别用曲线、曲面割取（可求积的）有限区域，

25、计算其上的积分，然后令切口至原点的最短距离，取极限；对无界函数的反常积分，就是割去奇点，奇线（三重积分还可有奇面）的邻近部分，计算积分，然后令切口奇点集的最大距离，取极限.例1 计算反常积分 ，其中（见图17）解 被积函数非负，不妨用平行于轴直线切取 .注意：，及 知 图17 图18例2 平面上按面密度（为常数）分布着质量.在（0，0，1）处有单位质点.求平面对此单位质点的引力.（见图18）解 平面上任意一点处，作面积元素，对应的质量为 它对单位质点的引力的大小为 该引力在轴上的投影为 故 因为被积函数为正，可用中心在原点的圆周割取，积分（化为极坐标），取极限 由对称性，.负号表示作用力垂直向

26、下.5 结束语重积分是一个有关函数性质的重要的研究课题，它在数学领域中占据着非常重要的地位，不容忽视.不论是在高等数学中还是初等数学中，它都有着很重大的意义，灵活巧妙地运用重积分的计算方法，能更加方便快捷地帮我们解决数学问题.重积分的求法种类还有很多，而且随着数学的发展，可能会更加丰富，更加有趣，因本人能力有限，二、三重积分只例举出了几种方法.因此重积分的计算方法与技巧的研究具有重大的现实意义.通过上述对重积分的计算方法与技巧的研究，旨在能为今后的学习和实际工作带来一定的方便.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001.2裴礼文.数学分析中的典型

27、问题与方法(第二版)M.北京:高等教育出版社,2006.3李成章,黄玉民.数学分析(下册) M. 北京:科学出版社,2004.4林源渠.高等数学题型精讲M.北京:机械工业出版社,2002.5贾建文. 三重积分的计算方法 J.高等数学研究,2010,13(2): 45-47.6邹中柱，魏耿平.数学分析概要与题选M.上海交通大学出版社,2014.7同济大学应用数学系.高等数学(下册)M.北京:高等教育出版社,2002:101-120.8辛春元.二重积分的计算方法J现代商贸工业,2010,8(15):376-377.9吴赣昌.微积分(经管类下册) M.中国人民大学出版社,2009.10温田丁.考研数学中的二重积分的计算技巧J高等数学研究,2008.11(2):63-65. 致 谢本次论文是在宁效奇老师的精心指导下完成的，在论文的构思和写作过程中，首先要感谢宁老师对我的细心指导. 从宁老师的身上，我学到了治学的严谨态度和一些做人的道理，让我受益匪浅. 在此，我要向宁老师表示衷心的感谢和崇高的敬意. 我也要向游淑军老师、龚运勤老师以及大学期间的所有任课老师表示感谢，谢谢他们四年来在各个方面对我的指导和帮助. 同时，我要感谢我的父母，谢谢他们对我的养育之恩，给我营造了一个充满爱和温暖的家，给我关心和支持，让我顺利完成学业. 最后，向所有关心和帮助过我的老师和同学表示由衷的感谢！