毕业设计（论文）特征值与特征向量.doc

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1、 郑州工学院2003 届毕业论文 题 目 院(系)、部： 学生姓名： 指导教师： 职称 专 业： 班 级： 完成时间： 第一部分：特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数和线性代数课程中的一个重要基本概念。在不同的教材中,关于特征值与特征向量定义的描述不一定相同,但归纳起来只有两种:（一)线性空间中线性变换/的特征值与特征向量。（二)阶矩阵的特征值与特征向量。这两种定义之间的关系是一个最使人们不易理解而难以掌握的代数问题。本文试图就这个问题给出一个简单而明了的解释。一、特征值与特征向量的两种不同定义在多数高等代数教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换/的属性的,其定义如下

2、:定义1设/是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中的一数,存在一个非零向量,使得/=那么称为/的一个特征值,而称为/的属于特征值的一个特征向量。在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分,其定义如下:定义2设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量n,使得=,则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量。从表面上看,这是两种关于特征值与特征向量完全不同(其主体对象不同)的定义,但实际上,它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。二、两种定义之间的关系要了解这两种定义之间的关系,首先重要的是要弄清两种定义中主体对象线性

3、变换/与阶矩阵的关系。设是数域上的维线性空间,1,2,是的一组基,则对于上任一线性变换/,存在数域上惟一的阶方阵,使(/1,/2,/n)=(1,2,n)我们称为线性变换/在基1,2,n下的矩阵。反之,对于数域上任一阶矩阵,在中存在惟一的线性变换/,满足(/1,/2,/n)=(1,2,n)即线性变换/与阶矩阵的关系是1-1对应的。以下假设线性变换/在基1,2,n下的矩阵为,则它们的特征值与特征向量的关系如下:若是矩阵的特征值,=(1,2,n)T是矩阵关于特征值的特征向量,则也是线性变换/的特征值,=11+22+是/的属于的特征向量。反之,若是线性变换/的特征值=11+22+nn是/的属于的特征向

4、量,则是矩阵的特征值,=(1,2,)是矩阵关于特征值的特征向量。由此可知,线性变换/与其对应的阶矩阵有相同的特征值,而阶矩阵的特征向量是/的特征向量在基1,2,n下的坐标。即从理论上来讲,只要求出了定义1中的特征值与特征向量,就可知定义2中的特征值与特征向量,反之亦然。但实际上,我们总是先求的特征值与特征向量,再推出线性变换/的特征值与特征向量。三、特征值与特征向量的解法关于矩阵的特征值与特征向量的解法可以在任何一部高等代数或线性代数教材中看到。特征多项式|-|=0的根即为的全部特征值。而对于的任一特征值,方程组()=0的所有非零解即为矩阵的关于特征值的全部特征向量。根据两种定义间特征值与特征

5、向量的关系,确定一个线性变换/的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:1在线性空间中取一组基1,2,n,写出/在这组基下的矩阵;2求在数域中全部特征值,它们也就是线性变换/的全部特征值;3对于每个特征值,求出方程组(-)=0的一组基础解系,它们就是属于的个线性无关的特征向量在基1,2,n下的坐标。这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。由于同一线性变换在不同基底下的矩阵是相似的,而相似的矩阵是具有相同特征值的,所以/的特征值与基的选取无关由基变换与坐标变换公式,/的属于的特征向量也是/的一个不变量,不依赖于基的选择。这就保证了定义1中关于线性变换/的特征值与特征向量定义的精

6、确性。第二部分：矩阵的特征值与特征向量的同步求解方法一般教科书中介绍的求矩阵的特征值与特征向量的方法是:首先,求解-=0,得全部特征值i;然后,对每一个i解方程组(i-)=0,得特征向量.这里介绍一种只要对矩阵作适当的初等变换就可同步得出矩阵的特征值与特征向量的方法,实践证明,该方法简单易行,与传统的方法相比,能达成事半功倍的效果.1. 初等列变换1.1 定理1、定理21.1.1 定理1设是秩为的阶矩阵,且但与其中是秩为的列满秩矩阵,则矩阵所含的-个列向量就是齐次线性方程组=0的一个基础解系(约定T表示的转置,()表示矩阵的秩,表示阶单位矩阵)。证明对矩阵(Tn)施行一系列初等行变换相当于左乘

7、一个可逆阵,由已知可得:T= (3)n= (4) 由(4)可知,(-)是行满秩,即其行向量i(=1,2,-)线性无关,将(4)代入(3),得 EnAT=即(-)T=(-)两边同时进行转置得T=0由此可知的行向量是方程组(1)的解,且i(=1,2,-)是线性无关的,所以即为方程组(1)的基础解系,证毕.定理2矩阵的特征矩阵()=(-)经列的初等变换可化为下三角的矩阵(),且()的主对角线上元素乘积的多项式的根恰为的所有特征值(证明咯).定理2 事实上给出了化特征矩阵为下三角阵,从而求得特征值的列初等变换的方法.1.2 求解步骤利用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值与特征向量.1.2.1设()=(

8、-),且 (1)其中()为下三角阵,则()的主对角线上元素乘积的多项式的全部根恰为的所有特征值i.1.2.2对矩阵的任一特征值i,代入(1),若(i)中非零列向量构成列满秩矩阵,那么(i)中和(i)中零向量所对应的列向量是属于特征值i的特征向量;否则,继续进行列变换使得*(i)中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么*(i)中和*(i)中零向量所对应的列向量是属于特征值的特征向量.例1:求矩阵的特征值与特征向量.解:根据定理1=由(-1)2(1-)(3+)=0得特征值1=-3,2=3=4=1(三重).当1=-3时=因(1)=(-3)的非零向量的列构成列满秩矩阵,且其最后的一个列向量是零向量,故(1)

9、=(-3)中的最后一个列向量(1,-1,-1,1)T是1=-3的线性无关的特征向量.同理2=3=4=1的特征向量是(1)中的最后三个列向量1=(0,1,0,1)T,2=(0,0,1,1),3=(1,-1,-1,-3)T.例2:求矩阵的特征值与特征向量,其中=解: = 由-1(-1)(2-1)=0得特征值1=2=1(二重),3=-1.当1=2=+1时=因(1)的非零向量的列构成非列满秩矩阵,故需继续列的初等变换=由* (1)的非零向量的列构成列满秩矩阵,且其第一、三列为零向量,故* (1)的第一、三列向量为1=2=1的全部线性无关的特征向量,即1=(1,0,2)T,2=(0,1,2)T.易知,从

10、属3=-1的线性无关的特征向量是(0,1,0)T.2. 初等行变换2.1 定理3、定理42.1.1 定理3设是秩为的阶矩阵,且其中rm是秩为的行满秩矩阵,则矩阵所含的-个行向量就是齐次线性方程组=0的一个基础解系(证明略).2.1.2 定理4对任意方阵特征矩阵()=(-T)经过行变换,可化为上三角矩阵(),且()的主对角线上元素乘积的多项式的根即为的特征值.证明-1112 1()= 21 -2221 2-,显然()=.首先考察()的第1列,若i 1(=2,3,)不全为零,任取其一,记为1()通过行变换,将()化为如下形式:;若i 1=0(=2,3,),则()本身即具有这种形式.其次,再考察()

11、的第1列,若不全为0(若全为零,则()|2| |n|,则对任意非零初始向量V(0)=V(0),且V(0)不与X1正交,按下述方法构造的向量序列V(k),V(k):V(0)=V(0)V(k)=AV(k-1)V(k)=(k=1,2,),(k)= i (k) ,i (k)是V(k)的分量.有V(k)=X1/(X1)(k) =1.(归一化的特征向量). 定理1给出了迭代的算法.计算中每迭代一次进行一次归一化.矩阵迭代法是用来求第一阶特征值与特征向量的.但是,如果初始向量选取不当,迭代收敛的结果却可能不是第一阶的.如果所选的初始向量V(0)与X1正交,将不能收敛到第一阶特征向量与特征值.但是,因为事先不

12、知道特征向量,对于任取的某个向量,无法确定它是否与X1正交,所以无法确定收敛结果是否为第一阶的特征向量与特征值.文献1认为即使V(0)与X1正交,由于舍入误差传播,仍将使结果收敛到第一阶.但是实际的计算表明:计算结果确实收敛,然而不一定收敛于第一阶.进一步,对定理1可有如下的推广,即若给定的初始向量与X1,X2,Xj均正交,而与Xj+1不正交,则定理1中构造的向量序列将收敛于第j+1阶.上述分析实际上给出了一种求高阶特征向量的方法.如果已经求得了第一阶特征向量,在给定的初始向量中除去第一阶特征向量的分量,那么迭代结果将收敛于第二阶或更高阶的特征向量.但是,如果不能确保第一部分的迭代结果是第一阶

13、特征向量,同样,根据定理1的推广,后续的迭代中也不能确保得到第二阶特征向量.3 迭代计算时的循环控制条件在实际计算中,必须有循环控制条件,以保证不会在机器上出现死循环.方法之一是控制循环次数,当迭代达到一定的次数后就退出计算,但是这一方法不能保证所要的精度.不同向量的计算精度不具有可比性.为此,在计算中采用下述的循环控制条件:设m=(k)i-(k-1)i,给定一个阀值M(0MM时,继续进行迭代,直到mM为止.依据上面定义的m可以认为是计算结果精度的一种度量.以结果收敛于第一阶的迭代过程讨论.设X1=x11,x12,x1nT,则结果的绝对误差可以定义为=x1i-(k)i.特征向量是归一化的,因此

14、也是相对误差.但是事实上,真实的特征向量是未知的,在实际上也就无法确知.比较简单的办法就是用m代替.计算中我们是用M来控制m的,并认为M是计算精度的度量.4.初始向量及阀值与计算结果的关系为了凸显问题的实质,在讨论该算法的性能时,分别用不同的矩阵、不同的初始向量、不同的阀值来分析计算所需的迭代次数、计算结果的相对误差.初始向量是选取与第一阶特征向量接近正交(二者的内积接近于0)及远离正交(二者的内积接近于1)的两种典型情况.编制TurboC+3.0语言程序计算.表1给出对角矩阵A1=diag(4,3,2,1)的一些计算结果.此矩阵精确的特征值1=4,2=3,3=2,4=1,特征向量X1=(1,

15、0,0,0)T,X2=(0,1,0,0)T,X3=(0,0,1,0)T,X4=(0,0,0,1)T.表2给出行向量分别为(5,-2,-5,-1),(1,0,-3,2),(0,2,2,-3),(0,0,1,2)的矩阵A2的一些计算结果.矩阵的精确的特征值1=4,2=1+2i,3=1-2i,4=-1,特征向量X1=T.表中计算结果的特征值有效位数取到小数点后三位.分析表1中的结果可知,对于某个特定的矩阵,循环控制条件的阀值相同时:若初始向量与X1远离正交态,迭代结果与X1接近的程度总是超过与其它阶接近的程度,特别是特征值收敛很快.此时,即使阀值不是非常的小,误差也不大.阀值小于0.1后,它们基本上

16、在同一个数量级上.若初始向量与X1接近正交,迭代结果可能与第二阶(或更高阶)的特征值和特征向量更加接近.只有当阀值非常小时才使结果接近第一阶.也就是阀值非常小时，才可以用阀值估计误差.表1矩阵A1的数值实验结果初始向量阀值M迭代次数 计特征值算 结 果特征向量的转置（取小数点后五位）误差1e-11e-21e-31e-41e-51e-61e-71e-11e-21e-31e-41e-51e-65132129374553410536169774.0004.0004.0004.0004.0004.0004.0003.0003.0004.0004.0004.0004.000(1.00000,0.2373

17、0,0.03125,0.00098)(1.00000,0.02376,0.00012,0.00000)(1.00000,0.00238,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00024,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00002,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)(0.00032,1.00000,0.19753,0.01235)(0.00178,1.00000,0.01734,0.00002)(1.00000,0.00239,0

18、.00000,0.00000)(1.00000,0.00024,0.l00000,0.00000)(1.00000,0.00002,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)0.237300.023760.002380.000240.00002-1.000001.000000.002390.000240.00002-说明:栏初始向量为(1,1,1,1)T,栏初始向量为(1e-4,1,1,1)T.表2矩阵A2的数值实验结果初始向量阀值M迭代次数 计特征值算 结 果特征向量的转置（取小数点后五位）误差1e-11e-21e-31e-41e-51

19、e-61e-731117263441494.4353.9663.9944.0004.0004.0004.000(1.00000,0.24510,0.08824,0.01961)(1.00000,0.18838,0.11806,0.05626)(1.00000,0.19337,0.11222,0.05576)(1.00000,0.19452,0.11104,0.05553)(1.00000,0.19444,0.11112,0.05555)(1.00000,0.19444,0.11111,0.05556)(1.00000,0.19444,0.11111,0.05556)0.050660.00706

20、0.001110.000080.00001-说明:本表中初始向量为(1,-0.5,0.2,0.1)T.图1 =f(M)之关系的典型曲线由表1和表2中的结果还可以看出:误差与阀值M的关系=f(M)虽然是单调增加的,但是这个函数对M的敏感性与初始向量有关.二者之间的关系曲线大致如图1.若初始向量与X1接近正交,则M0要取得较小,才能使对M比较敏感.计算中显然希望M0较大,可使计算次数较少.而MM1后,误差的减小与M基本上是同量级的,这在上面已经提到过了.图2 迭代次数与阀值的关系通过对于大量的算例的计算表明,对于实对角矩阵、实三角矩阵以及特征值均为实数的一般矩阵,对于给定的初始向量,当阀值足够小以

21、后,阀值每减小一个量级,迭代的次数增加相同的次数,如图2(初始向量为栏初始向量).对于含有复特征值的矩阵,此结论不严格成立.如表2示.若以N表示迭代次数,则当M足够小后,有N与-logM成线性关系,即dNd(-logM),有趣的是当M足够小,其线性比例系数与初始向量无关,只与矩阵本身有关.但是这个关系要在M小到怎样的程度才成立,却与初始向量有关.初始向量与X1越接近正交,要求M越小.但是与矩阵的解析关系究竟为何;对于一个给定的矩阵,M小到怎样的程度才成立与初始向量的定量化关系,有待于进一步研究.但是,当矩阵是实对角矩阵或实三角矩阵时,其特征值即为其对角元素.设特征值按绝对值大小排序分别为1,2

22、,n,那么=.可见,当1时, 非常大,这说明此时迭代收敛很慢.对表1中给定的矩阵有=-8.003923,表1中为-8.这个结论尚无严格证明.计算还表明,当采用如下的循环控制条件:设m=,给定一个阀值M(0MM时,继续进行迭代,直到m3)都化作的次数小于等于3的多项式,从而简化k的计算。例6设3阶方阵的特征值为1=1,2=0,3=1;对应的特征向量依次为1=(1,2,2),2=(2,-2,1),3=(-2,-1,2)。求k(为大于1的整数)。解：因1,2,3线性无关,记=(123),由性质6有-1=所以=-1,k=(-1)k=-1-1-1=k-1故k=于是当为偶数时,k=;为奇数时,k=注:此法

23、当可以对角化时才可使用。例7 设3阶实对称阵的特征值为6,3,3。与特征值6对应的特征向量为1=(1,1,1),求。解 设对应于3的特征向量为=(1,2,3),因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有1=0,即的分量满足1+2+3=0。又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然1+2+3=0的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量。由1+2+3=0得它的一个基础解系为1=(-1,1,0),2=(-1,0,1)。令=(123)=,由性质6有-1=。故=-1=。(4) 求方阵的多项式()。例8 设=,计算()=28-35+4+2-4。解 ()=|-|=3-2+1

24、,而28-35+4+2-4=()()+(242-37+10),显然28-35+4+2-4=()()+(242-37+10)。由性质5可知()=0,所以()=242-37+10=。(5)判断实对称阵的正定性。例9设阶实对称阵正定,则存在矩阵,使2=,且也是正定矩阵。证明因为实对称阵,故存在正交矩阵,使-1=1=,其中i(=1,2,)为的个特征值。因正定,故有i0(=1,2,)。于是=1-1=-1=-1=-1-1令=-1,则有=2,又因-1= =2,即与对角阵2相似,相似矩阵的特征值相同,故,为的个特征值,因0(=1),由性质7知正定。第四部分：运用理论：秦皇岛市旅游景区优先开发决策支持系统及应用

25、秦皇岛市的旅游资源较为丰富，发展旅游业潜力很大，目前已开辟如第一关、老龙头、南戴河、燕塞湖等景区。随着对外开放、对内搞活政策的贯彻，旅游人数逐年增加，这就面临着需要适当地开辟新的旅游区。但由于交通、经费等方面的限制不可能同时开发多景区，必须制定适当的政策，结合实际情况，有条件、有次序的逐个开发，以使经费的使用、人才的培养及宾馆的建设达到满意的状态。为此，我们提出并设计了旅游景区优先开发决策支持系统。为决策者分析提供参考。 .决策支持系统的结构设计旅游景区优先开发决策支持系统（ 简称：）是一个较方便的人机交互系统，其结构用如图 。图 旅游景区优先开发决策支持系统结构图这一模型符合多目标决策要求，

26、我们现在分析的模型为旅游区开发价值层次分析模型。所使用的方法有：和积法、迭代法、方根法。的工作流程如图。图 工作流程图2层次分析法社会领域里的决策问题常常含有大量重要的因素无法定量表示，采用层次分析法建立的模型包含并计量有关的全部有形与无形、定量与定性的重要因素，可以更客观地反映复杂社会事物决策中众多影响因素的作用。一个递阶层次就是一个特殊形式的系统，它基于如下假设：该系统中经确定的所有元素可以划分为彼此不相关若干组。其中任何一组中的元素只对另外一个特定组中的元素发生影响，同时也只受到另外一组中的元素影响。递阶层次结构中的每一组内的元素都是彼此独立的。在实际工作中并没有一种把若干目标、准则及活

27、动结合在一个递阶层次内，甚至是一个普通层次内的既定程序，因为这取决于我们为分解系统的复杂性所选择的目标。为用于计划和处理冲突而构造的递阶层次一般形式是这样的：最终的目标确定为最高层，在它的下面是各子目标，然后依次是约束活动的影响因素层、活动层、活动的目标层、策略层，最后是由各种可能结果构成的最低层。对物质系统构造递阶层次时，上述策略层即由设计方法所取代，下面同样有若干中间层，直到最终的选择方案层。用判断矩阵求多指标的权值及排序在决策分析过程中，常须在专家评估的基础上求多个指标对于某个目标影响的权值，并在此基础上求出各指标对该目标影响的排序。虽然各指标对目标的影响是客观的，但要求专家同时评估多个

28、目标对目标的影响程度是非常困难的。因此，可通过专家分析每两个指标对目标的影响的比值，得到判断矩阵，再计算矩阵的标准化特征向量，求得和指标对目标影响的权值，再由权值大小确定指标对该目标的影响的排序。任意两个指标对目标的比值的确定指标集中的每个指标对目标具有不同的作用，即各指标在对目标的影响有不同的比重，这个比重我们称之为优先权重值，确定权重值的方法可用相对重要程度相关等级表来计算。该表大致有五个等级，即相同、微弱差异、明显差异、强烈差异、极端差异。如果需要较高的精确程度，则可在不同的等级间使用中间值，这样就有个值点，见表表 权重相对重要程度相关等级排序方法的直观描述设1，2，3，n为所考察问题的指标，目标为。令Cij = i,j=1,2, ,n亦即i j代表指标i与j比较其相对重要性判断的重要程度值。从而得到判断矩阵（i j）显然i i（，），于是得矩阵。其中，若与确定了某个比值后，则与即为其倒数。解矩阵的特征方程c E= 0求特征值i。记为，再计算出的标准化特向量。其中i（，）为指标i对 的影响权值。根据i（，）的大小顺序可确定i对目标的影响的排序。 的层次模型及优先开发次序一个旅游区是否需要开发，主要取决于它的开发价值。为了研究秦皇岛市各旅游区的优先开发顺序，建立了如下的层次分析模型。分四个层次，依次为目标层D准则层B指