毕业设计（论文）混沌电路的设计与研究.doc

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1、 混沌电路的设计与研究一、绪论（一）混沌研究的背景1.混沌研究的发展过程混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。所以研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。经典的动力学理论认为：任何一个系统只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态

2、，拉普拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去将来的一切情况。这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。概率论和统计的概念引入物理学后，科学思想发生了重大变化，促使科学家从决定论的那种“经典科学缔造的神话”中走了出来。概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而有许多偶然的随机的因素，人们只从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。对此，历来有着尖锐的争论。爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。霍金则认为，概率性、统计性是世

3、界的本质，“上帝”不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道和根本看不到的地方。决定论和非决定论，动力学规律和统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。过去，人们一直认为宇宙是一个可以预测的系统。后来天文学家在研究三体问题时发现，用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的是随机的结果，这意味着：整个太阳系是不可预测的，用牛顿定理，无法推算出在某一时刻行星运动的准确位置和速度。即在确定性的系统中出现了随机现象。1927年，丹麦电气工程师Van del Pol在研究氖灯张弛振荡器的过程中，发现了一种重要的现象并将它解释为“不规则的噪

4、声”，即所谓Van del Pol噪声。二战期间，英国科学家重复了这一实验并开始提出质疑，后来的研究发现Van del Pol 观察到的不是“噪声”，而是一种混沌现象。1963年，麻省理工学院的气象学家洛伦兹（E.Lorenz）在研究大气环流模型中，对一个具有三变量的方程组进行了计算，数值模拟所得的结果出人意料，通过对所得结果的深入分析，洛伦兹发现混沌运动的两个重要特点：（1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的，而是局限在状态空间的某一几何体（混沌吸引子）上。洛伦兹之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。1927年，科学家在耗散系统中正式地引入了奇异吸引子的概念(strange attracto

5、r),随着计算机图形学的发展，生成了如上所述的洛伦兹吸引子、Henon吸引子等奇异吸引子的计算机图形。1975年，约克（J.York）李天岩(T.Y lie)提出了混沌的科学概念。70年代中期，人们不但在理论上对混沌作更深层次的研究，而且努力在实验室中找寻奇异吸引子。约克在他的著名论文“周期3意味着混沌”中指出：在任何一维系统中，只要出现周期3，则该系统也能呈现其它的周期，也能呈现完全的混沌。1976年，迈依(R.May)将混沌引入生物学，他指出：生态学中的一些简单模型，具有极其复杂的动力行为，其中包括分岔，序列和混沌。混沌理论为生物学的发展打开了一个新的窗口1978年，费根鲍姆（M.Feig

6、enbaum）通过对迈依和约克的逻辑斯蒂模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了费根鲍姆收敛常数d和标度常数a，它们是和p、e、c一样的自然界的普适性常数。但是，费根鲍姆的上述突破性进展开始并未立即被接受，其论文直到三年后才公开发表。费根鲍姆的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算。使混沌学的研究从此进入蓬勃发展的阶段。2.混沌研究的现状与发展前景作为当前科学界的前沿和热门领域，非线性科学的研究对象是所有非线性现象的共性问题，它是一门涉及自然科学和社会科学等众多领域的基础性学科，不仅具有丰富的科学价值，还蕴含着重大的哲学意义，而非线性科学领域中最主

7、要的成就之一就是混沌理论。近几年，人们不断发现新混沌系统和超混沌系统。各种混沌模型的不断推出不仅为混沌系统理论的发展提供了研究的依据，更重要的是也为混沌理论的实际应用提供了丰富的题材。目前，将分数微分算子引入到动力学系统中，对分数阶动力系统的混沌、混沌控制和同步的研究已成为热点。目前，控制与利用混沌已在生物、医学、化工、机械、海洋工程等领域取得了初步的成功。1生物医学工程生物系统是高度非线性系统，混沌控制与生物和医学的结合推动了生态学、脑科学、心脏系统和神经系统等生物医学问题研究的发展、用混沌信号刺激心律不齐的兔子的心脏，使之恢复到正常状态，这对心脏疾病的诊断和治疗提供新的方法；Schiff等

8、人用OGY控制方法对离体大鼠的大脑海马切片的神经元不规则放电进行控制也取得了成功，这给癫痫病的预防和治疗提供新的途径。生命系统中的混沌控制已经成为各国学者极为关注的课题，人们正积极开展对混沌控制在生物医学工程中的应用研究，尤其是将混沌系统的控制和稳定用于脑神经系统及心脏疾病的医学研究中，并取得很多新的进展。2电子或电气系统1980以来，电子学领域出现了混沌的应用研究浪潮，混沌现象在非线性电路中是普遍存在的，因此对电子或电气系统中的混沌控制是十分重要的。美国科学家Kopell等将一个三机系统变换为一个两自由度系统，用Melnikov方法研究其混沌现象；以蔡氏电路为代表的混沌电路实验取得了很多重要

9、成果。大量仿真结果已经证明混沌控制理论在电子或电气系统中的有效性。3通信系统在非线性电路系统中，由于混沌信号具有内在随机性、非周期性、类似噪声等特性，特别适用于保密通信系统，尤其是混沌同步的研究，使得以混沌理论为基础的保密通信领域得到实际应用。当秘密通信的双方具有完全相同的混沌电路时，可以实现秘密信号从发射机的编码到接收机解码的信息解密，而且将受控混沌应用于通信可以提高保密性，使用同调技术将混沌信号混合在数字信号与模拟信号中发射出去，可造成破译时的极度困难。此外，混沌同步还可用于数字信息传输、混沌调制扩频通信、参数调制多路通信、混沌掩盖保密通信等多方面。4系统故障诊断根据由时问序列构成的集合特

10、征和采样时间序列数据相比较，可以对机电系统进行故障诊断。大量实验表明，对于机电系统中较常出现的故障，只有有限的几种故障会产生混沌运动，进一步区分混沌运动中所展示的不同现象，结合其它对于轨道、波形、频谱的分析，就可以准确地诊断各种故障。5模式识别、神经网络及其它、利用混沌轨道对初始条件的敏感依赖性可构成模式识别系统，使系统可以识别具有微小差别的不同模式和图像，并可用于系统故障诊断中。利用混沌神经元构成的混沌神经网络模型在联想记忆、图像处理、智能信息管理、组合优化、信息产生、自适应学习方面具有重要的作用。混沌控制理论虽已得到广泛的发展，但很多实际系统的数学模型无法求出，需要寻求新的数学工具及分析方

11、法，将理论真正实现到广泛的工程应用。近年来，关于混沌系统的控制和研究得到蓬勃发展，但由于它仍是一个新的科学前沿，很多系统的理论和方法尚待完善和改进7。综上所述，近半个世纪以来，人们对混沌运动规律的理论和应用研究得到了飞速发展，这不仅表现在自然科学领域，在社会科学领域也取得了更广泛和更深刻的认识。尤其是近十几年来，混沌科学更是与其它学科相互渗透，无论是在数学、物理学、电子学、信息科学、生物学、生理学、心理学，还是天文学、气象学、经济学，甚至是音乐、艺术等领域，混沌理论都得到了广泛的应用，在众多学科中掀起了一股揭示混沌现象、研究混沌理论的热潮。这些学科与混沌相互促进、相互渗透，取得了一系列巨大的成

12、果，如混沌保密通信、混沌经济学、凝聚态物理学等。混沌学的创立和发展，己经演化成了一场意义深远的科学革命，正不断辐射着几乎所有门类的自然科学和社会科学。可以预言，二十一世纪将是以混沌为代表的非线性科学继续高速迅猛发展的时代。（二）研究混沌的理论意义和应用价值混沌现象存在于数学、物理、化学、生物、医学、哲学、经济学、社会学等各个学科领域中，但到2O世纪8O年代末期，人们对混沌理论的研究更多局限在数学和物理学上，发现了很多新的混沌特性，通过对各种混沌现象的研究，人们在加深对混沌性质理解的同时也认识到混沌运动对系统带来的一些危害，例如：混沌运动会使机电系统或电路产生不规则振荡，导致系统完全偏离目标；在

13、许多复杂的工业过程中，其动态特性常显示出一些不可预测的扰动，通常是将其过滤掉。随着混沌理论的逐步发展，发现这些扰动不能简单地被忽略，只能有效地加以控制，因此在实际系统中，控制混沌是不可缺少的。如何利用混沌已经成为研究的重点，人们发现控制混沌不仅可以在混沌运动有害时消除它，更重要的是可以利用混沌有益的一面为人类服务。自从近代科学诞生以来，天体运动一直被看作是确定性系统的典型。天体力学被认为是决定论科学的典范。但是，在天体力学和天文学中，几个世纪以来，人们一直在研究天体特别是太阳系的稳定性问题。拉格朗日和拉普拉斯等学者都对太阳系的稳定性作出过证明，但这些证明都是在近似条件下获得的，只能表明太阳系在

14、有限的时间范围内是稳定的，不能据此判断其运动轨道在以百万年计的宇宙时间尺度上的长期行为。统计物理和量子力学的创立，揭示了微观粒子运动的随机性，大量微观粒子的运动遵循着另一种模式。描述统计规律的概率论方法从此获得了独立的科学地位，世界又获得了另一幅随机性的科学图像。然而，混沌研究表明:一些完全确定的系统，不外加任何随机因素，初始条件也是确定的，但系统自身会内在地产生随机行为，而且，即使是非常简单的确定性系统，同样也具有内在随机性。混沌学揭示的随机性存在于确定性之中这一科学事实，最有力地说明了客观实体可以兼有确定性和随机性。混沌学的创立将在确定论和概率论这两大学科体系之间架起桥梁，它将改变人们的自

15、然观，揭示一个形态和结构崭新的物质运动世界。虽然混沌是存在于动力学系统中，其理论主要是属于物理学的，但是对混沌进行研究所用到的工具主要是数学。由于现代数学种种理论知识的积累，才使得人们有了研究混沌的基础，才令混沌理论成为了一门严密的科学。而反过来，混沌的研究也促使现代数学不断发展，对混沌理论的不断研究成为了使数学不断向前发展的动力。经过近几十年的发展，尤其是最近十几年的迅猛发展，人们逐渐改变了对混沌运动的不稳定性、不可控性以及不可靠性的陈见，开始逐步认识到混沌的重要作用，并开始研究混沌和利用混沌。20世纪90年代以来，信息技术势不可挡地进入到人们生活的各个方面，互联网不仅弥漫了科学的各个领域，

16、而且渗入到社会生活的各个环节，从自然科学到社会科学，从人们的日常生活到国家的战争方针，都与信息技术息息相关。网络中的信息被非法截取、查看、篡改和破坏，给社会稳定、经济发展造成了巨大损失。显然信息的保密越来越重要，大到国家机密，小到寻常百姓的日常生活琐事。于是，保密通信已经成为当今信息时代的热点问题之一，任何这方面的新发展及其高科技的进展都会引起各国军方和商界的密切关注。二、混沌的概述（一）混沌的定义由于混沌系统的奇异性和复杂性至今未被人们了解，因此，目前在国际上对混沌还没有给出一个统一的定义。但它是发生在确定性系统中貌似随机的不规则运动，不需附加任何随机随机因素亦可出现类似随机的行为。一个确定

17、性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌(Chaos)，又可以写作“浑沌”，是指混乱而无秩序的状态，它让人联想起传说中所展示的茫茫宇宙到处模糊不清的情景。在哲学中，混沌是指虚空，有时特指没有结构的均匀状态，而在非线性科学中则是一个物理概念，专门用来描述非线性动力学过程中所出现的杂乱无章的复杂现象，这里所体现的含义和“混沌”的本意相类似但又不完全相同，我们可将其理解为非线性动力学系统的非周期性行为，并且它的这种长期行为具有对初始条件的高度敏感依赖性。因而混沌实际上指的是一种具有确定性但又不可预测的一种运动状态，故被称为除了平衡态、周期态和准周期态以外的第

18、四种状态。近几十年来，随着非线性学术界对混沌理论研究的不断深入，如何利用和控制混沌已成为当前非线性科学领域的热门研究方向。但是由于混沌的奇特性和复杂性至今尚未被人们所彻底了解，迄今为止，学术界对“混沌”仍未能就“统一的普遍接受的一般定义”达成一致意见。但是从近年来的研究情况来看，有以下几种从不同角度出发的混沌定义，都是从各自的侧面反映了混沌系统的性质，能够较好地概括了混沌的特定动力学行为。第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。著名美国气象学家洛伦兹给它做了

19、一个形象而夸张的比喻:一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。究其原因，是因为蝴蝶翅膀的振动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致远处空气系统的极大变化。可以看出，一个混沌系统的初始条件发生的“差之毫厘”的变化，最终会导致该系统的长期行为“谬以千里”，从而表现出混沌系统的极端不稳定性。这种极端不稳定性，是指在相空间内初始时极其靠近的两条轨道，随着时间的推移，两轨道的距离整体上看是稳定的，但系统的长时间行则为显示出杂乱无章和不可预测的特点。因

20、此，这是一种确定性系统本身所表现出的内在随机性，是该系统的固有属性。第二种混沌定义则是采用的是排除法，即通过与其他运动状态进行比较来排除的方法:除了通常已知的三种典型运动类型(平衡态、周期态及准周期态)以外的一种貌似随机的运动状态，就是混沌，它的特点是局部极其不稳定而又整体稳定。这种笼统的定义仅仅给出了混沌是自然界中一种新的运动状态，并没有给出混沌运动的具体描述，如果要确定是否是混沌运动还需要做进一步的验证。第三种定义是由哈肯提出的，他把混沌定义为:来源于确定论性方程的无规运动。其中最主要的困难就是如何恰当地给出“无规运动”的概念，因为不同周期运动的相互叠加在某种意义上也可以视为“无规运动”。

21、为了与类似于大量分子热运动的这种随机性和无序性加以区别，称我们所研究的混沌为非平衡混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态混沌。平衡态混沌与非平衡混沌的另一个差别在于：平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定；非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。只有经过长期演化，结果才是不确定的，不可预知的。在分析力学问题时，通常是在相空间内研究它的运动轨道。所谓相空间就是由所要研究的物理量本身（位移、速度、压力和温度等）作为坐标分量所构成的广义空间，最常见的相空间是由位移和速度分量构成的相空间。在每一个确

22、定时刻，所有这些物理量的取值在广义相空间内代表一个点，这些物理量随时间的演变就是在相空间内从一个给定的初始点开始的一条动力学轨道，而混沌状态就是相空间运动轨道所表现出来的无序和不规则性。混沌首先是一个确定性非线性动力系统，其基本特征是对初始条件非常敏感，假设两个完全相同的混沌系统以及其微小差别的初始条件开始，经过一段时间以后，微小差别将以指数形式扩大。但值得注意的是，“混沌”与“非线性”并非一个概念，也不是同义词，任何混沌系统必然是非线性的，而非线性并不都是混沌的。（二）混沌的基本特征通常情况下确定性动力系统有三种定常状态，即平衡态(可以看成是周期任意的周期运动)、周期态和准周期态，而混沌运动

23、则不同于以上三种运动状态，它是一种不稳定的有限定常运动，局限于在有限区域但其轨道永不重复，也可被描述为具有无穷大周期的周期运动，其独有的特征有如下几个方面:(1)内随机性在一定的条件下，如果系统的某个状态有可能出现，也可能不出现，则通常认为该系统具有随机性。一般来说当系统受到外界的干扰时才产生这种随机性，一个完全确定的系统(能用确定的微分方程表示)，在不受外界的干扰的情况下，其运动状态也应当是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统虽然能够用确定的微分方程表示，但其运动状态却具有某些“随机性”，这种“随机性”是在系统的动力学过程进行中由于内在的非线性机制作用而自发产生出来的，即产生这些“

24、随机性”的根源只能在系统本身，即混沌系统内部自发的产生这种“随机性”。混沌的内在“随机性”揭示了混沌系统局部不稳定的特点。从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程却有着本质的区别。混沌运动是由确定性的内在的非线性机制作用而引起的，是属于运动内在特性的外在表现，混沌现象这种形成的机制与外部环境因素无关，因此又称确定性混沌；而随机过程则是受到外界的干扰时产生，或者说由外部特定的噪声引起。(2)有界性混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定性的区域，我们把这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么的不稳定，它的轨迹都不会走出混沌吸引域。任何稳定的吸引子都有相应的吸引域，若以

25、吸引域内任意一点为初始值，那么就可以得到几乎完全相同的吸引子，这正是它的稳定性的体现，所以从整体上说混沌系统是稳定的。(3)初始条件极度敏感性经典牛顿力学的观点认为，确定性系统可以根据力学规律列出确定性的方程，并且在任何情况下其解都是确定的，也就意味着周期解(或准周期解)对初始值的扰动是不太敏感的，因而很小的初始值扰动不会使周期解的结果偏离原来的解很多，换句话说，周期解(准周期解)的重现性较好，具有可预测性；混沌系统的解则不然，它对初始值的扰动非常的敏感，很小的初始值扰动就会使解的结果偏离原来的解很多，也就是说，混沌解的重现性很差，不具有长期可预测性。混沌理论认为动力学系统对初始条件具有极高的

26、敏感性，如果初始值产生了极其微小的变化，那么系统在短时间内的运行情况还可以预测(确定性的产生机理使然)，但是这一极其微小的变化在通过了长时间的运行后，就无法确定系统的状态了，这就是所谓的“差之毫厘，谬以千里”。(4)遍历性如果系统为混沌的或呈现混沌状态，则吸引子轨迹不会停留在混沌吸引域中的某一个点，而是在有限时间内经过吸引区域的每一个状态点，从而充满整个混沌吸引域。也就是说混沌系统在其混沌吸引域内是各态历经的，但同时又不会自我重复和自我交叉，我们称混沌系统的这种特性为遍历性。(5)统计特性混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数，而一般的吸引子不会出现正的李雅普诺夫指数，这一区别显然和第三点中所表述的

27、初始条件极端敏感性有密切的关系。而具有多个正的李雅普诺夫指数的吸引子称为超混沌吸引子。对混沌系统而言，正的李雅普诺夫指数表明轨道在每个局部都不太稳定，相邻的轨道将按指数分离。但是同时又由于吸引子的有界性，轨道不可能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限的区域内反复的折叠，但又永远互不相交，形成了混沌吸引子的特殊结构。同时，理论计算表明，正的李雅普诺夫指数也表示相邻轨道信息量的丢失，其值越大，意味着信息量丢失越严重，混沌程度也就越高。(6)分维性混沌系统在相空间中的运动轨道，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般的确定性运动，因而不能用一般的几何术语来表示，它所形成的特殊的曲线的维数不是

28、整数而是分数，故称为分维。因此，混沌系统的分维表明混沌运动具有无限层次的自相似结构，而这也是混沌运动与随机运动的重要区别之一。(7)普适性所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时表现出来一些共同特征，这些共同特征不依具体的混沌方程或参数而变，具体体现为几个混沌的普适常数，如著名的费根鲍姆常数等。普适性也是混沌内在规律性的一种体现。(8)标度性所谓标度性是指混沌运动是无序中的有序。其有序可以理解为:只要数值或实验设备精度足够高，总可以在很小尺度的混沌区域内看到其中有序的运动图样。（三）混沌的相关概念(1)混沌运动确定性系统中的局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时

29、间的推进会发生指数的分离。正是由于这种不稳定性，系统的长期时间行为会显示出来某种杂乱无章的特性。(2)相空间在连续动力学系统中，通常用一组微分方程描述运动，以状态变量(状态向量)为坐标的空间就构成了该系统的相空间，它显然是一个理想化的模型，其维数与确定该动力系统状态所需的变量的数目相同。系统的一个状态对应相空间中的一个点，其坐标是这些状态变量在某一瞬时所取的一组数值，通过该点有唯一的一条积分曲线。(3)分形和分维由著名的出身于美国工BM公司的数学家曼德尔布罗特提出的分形几何，它突破了欧氏几何的规则图形，而是采用递归、迭代等算法形成了自然形态图形。分形是n维空间的点集的一种几何性质，该点集具有无

30、限精细的结构，在任何尺度下都保持自相似性质，它具有小于所在空间维数n的非整数维数。分维就是用非整数维，即分数维来定量地描述分形地基本性质。自然界中更多的是一些极不规则、不光滑的体形，诸如海岸线等，描述它们的坐标位置需要把物体和几何图形的维数扩展至分数维。(4)吸引子和奇异吸引子吸引子是指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后所有轨迹线都趋向与它。奇异吸引子指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子既不是不动点，又不是极限环(系统过程中系统演化趋向的状态轨道)，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子。(5)奇异特性混沌吸引子在有限的空间内，具有无穷嵌套的自

31、相似结构。在状态空间(相空间)表现为奇异吸引子。(6)分叉和分叉点分叉是指在某个参数或者某组参数发生某些特定变化时，系统的行为会发生特定的变化。而这个参数值(或这组参数值)称为分叉点，在分叉点处参数的极端微小变化也会产生不同性质的动力学特性，故系统在分叉点处是极端不稳定的。(7)倍周期倍周期是指一系列的周期运动。当系统的某一个参数变化时会出现周期加倍(频率减半)的现象。这种现象在控制参数的越来越小的区间内出现，越过一个临界值就出现混沌现象。(8)混沌电路所谓混沌电路，是指由一个确定性运动方程所描述的确定性的电路，它通常由直流或确定性非线性输入信号所激励，其响应信号(输出波形)中包含一段或多段的

32、连续频谱。混沌电路中一定要含有非线性元件，其状态演变规律可以用非线性微分方程或非线性差分方程来描述；此外还要有适当的参数调节才能使非线性电路具有混沌行为。三、混沌电路的设计与实现（一）混沌电路的设计原理理想的运放工作在线性区时，分析依据有两条：(1)由于输入电阻无穷大，故两个输入端的输入电流为零，简称“虚断”特性。(2)由于开环电压放大倍数无穷大，故两个输入端电位相等，简称“虚短”特性。一个非线性电路是由若干基本模块电路组成的，这些基本模块电路多数是线性基本模块电路，而非线性基本模块电路很少，一般是一个或两个。线性基本模块电路有的仅是一个单一线性电路元件，如电阻、电容、电感等；有的是一个线性模

33、块电路，如工作在线性放大区的反向比例运算放大器、反向加法器、减法器、同向放大器、反向积分器等，下面将介绍实现混沌电路时常用到的基本模块。1.基本单元电路（1）反相比例运算电路图3.1 反相比例运算电路其中电阻R引入反相输入信号，电阻引入深度负反馈，使运放工作于线性区，根据运放特性可以求得： (3.1)由上式可知为反相比例运算电路。若=R，则为反相器。（2）反相求和运算电路图3.2 反相求和运算电路在反相输入端增加若干输入电路，则构成反相求和运算电路。由上图可以看出： (3.2) (3.3) (3.4) (3.5)可以看出该电路为反相求和电路。（3）积分运算电路图3.3 积分运算电路与反相比例运

34、算电路相比，用电容代替作为负反馈元件，就成为积分运算电路。由图可以看出： (3.6) (3.7)其中为积分时间常数。2.电路的状态变量分析法对于一个电路系统的分析，其实质就是建立描述这一系统特性的数学模型并求出其解。在建立数学模型方面常使用的方法主要有两种：第一种是输入输出法，俗称端口法，第二种就本节介绍的状态变量分析法。对于端口法，它只关心系统的输入和输出之间的关系，主要是研究系统激励与响应之间的直接关系，并不涉及系统的内部变量的情况。这种方法一般用在单输入、单输出系统中。但是随着系统复杂化，输入与输出有时是多个的，有时还要了解系统内部的情况 ，这时候状态变量分析法就比较适用。状态变量分析法

35、采用两组方程来描述系统：(1)状态方程，它描述系统内部状态变量与激励之间的关系；(2)输出方程，它描述系统的响应与状态变量和激励的关系。与端口法比较，状态变量分析法主要有以下两个方面的优点：第一，从应用范围上看状态变量分析法不仅可以应用于线性时不变系统，还可以经过推广应用于线性时变系统和非线性系统，第二，它除了能解出系统的响应外，还提供了系统内部的情况，使我们能同时观测并处理几个状态变量，以满足一定的设计要求。系统的状态实质上是指系统的储能状态，对于不具备储能元件的系统，也就无状态可言。一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量。只要知道t=时这组变量和t时系统的激励，那么就可以确定系统在任何

36、t时刻的全部工作情况。该组变量的每一个分量称为状态变量。系统的状态可用一组状态矢量来描述，状态矢量可以表示成矩阵形式，如下所示：用状态变量分析法来分析电路时，一般分两步进行：第一步选定状态变量，并列出用状态变量描述系统的状态方程，它建立了状态变量和激励之间的关系，与此同时还要建立响应和激励关系的输出方程；第二步是用系统的初始状态及激励求取状态方程及输出方程的解。对于较简单的电路系统，可以采用直观法列写状态方程，基本步骤总结如下：(1)选择状态变量。一般要注意选择的状态变量之间一定要相互独立。(2)列写基本方程。此步骤较为简单，一般根据Kirchhoff电压电流定理，有几个状态变量写几个基本方程

37、。(3)消去非状态变量。在基本方程中会出现一些变量，他们既不是状态变量也不是已知量，所以要找出它们和状态变量之间的关系，用状态变量将他们消去。这也是所有步骤中最难的一步。(4)整理方程。 对于非线形电路状态方程的建立与以上步骤类似，只是对电路中的非线性元件要进行特性分析，例如非线性电阻的实现方法，若这个电阻是分段连续变化的，也就是在任何时候都不发生跳变，就可以把这个非线性电阻看成分段的线性电阻，对其特性方程进行分段描述。（二）蔡氏电路的研究1.蔡氏电路的提出Lorenz系统和Chua系统是研究混沌研究领域中具有里程碑意义的两个著名系统。早在20世纪60年代初期，Lorenz发现了第一个混沌吸引

38、子，成为了后人研究混沌理论的出发点和基石。1983年，L.O.Chua提出了著名的Chua电路，首次将混沌与电路这两个不同的领域联系起来，成为了研究混沌电路的一个范例。蔡氏电路一直是在非线性电路中产生复杂动力学行为最为有效而简单的混沌。1983年，在日本蔡少棠目睹了在基于洛伦兹方程的模拟电路中产生混沌现象的实验，于是他也试图提出一个能够产生混沌的电子电路。他意识到在分阶段性电路中，如果能够提供至少两个不稳定的平衡点（一个提供伸长，另一个折叠轨迹），就可以产生混沌。怀着这种想法，他系统地证明了那些含有简单的由电压控制非线性电阻的三阶分段性电路能够产生混沌现象。证明了电压控制非线性电阻R的驱动点特

39、征应符合至少两个不平衡点的要求，于是，他发现了蔡氏电路。2.蔡氏电路简介蔡氏电路是美国贝克莱（Berkeley）大学的蔡少棠教授（Leon.O.Chua）设计的能产生混沌行为的最简单的一种自治电路。该电路并不唯一。蔡氏电路在非线性系统及混沌研究中，占有极为重要的地位。最初发现的蔡氏电路实际上是同性质的某一组电路中的一个,这类电路被命名为“蔡氏振荡器”,从而将这一普适性电路与最初定义的“蔡氏电路”加以区别。蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。其电路图和伏安特性曲线如下图3.4所示：图3.4 蔡氏电路及其伏安特性曲线图由图3.4可推出电路的状态方程为： (3.8) (3.9

40、) (3.10)其中流经电感的电流，、分别为、两端的电压，、分别为两电阻的电阻值。为非线性电阻的电导，它是一个三段线性的分段线性函数： (3.11)也可以写成： (3.12)蔡氏电路是由电阻电容和电感及蔡氏二极管组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象：(a)非线性元件不少于1个；(b)线性有效电阻不少于1个；(c)储能元件不少于3个。符合以上标准的最简单电路，典型蔡氏混沌电路。蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。当R为线性电阻时，g为常数，电路为一般振荡电路，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的

41、x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R为非线性负电阻时，其伏安特性，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，调节g的值就会观察到不同的混沌现象。而接下来要做的就是通过各个非线性元件来实现此非线性负电阻，不断地改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。（3）蔡氏电路的模型蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的混沌现象能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号。自治动力系统产生混沌现象需要以下条件：

42、系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节。蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图3.5所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括：电路R、电感L（含内阻r）和两个电容和；非线性部分只有一个分段线性电阻，其伏安特性如图3.6所示，非线性电阻采用如图3.7所示的电路进行线性化处理。图3.5 蔡氏电路图图3.6 非线性电阻等效电路3.7 非线性电阻伏安特性电路图中选用的具体参数为：，运放采用，二极管采用IN4148，为了调节混沌现象出现的条件，R采用可变电阻，调节范围为0到3k。下面分析图3.7中非线性电阻的伏安特性：二极管和都截止时，A和B点的电压为： （3.

43、13） （3.14）当时，其中为二极管导通电压，为电容两端的电压。截止，导通： （3.15）当时，截止： （3.16）当时，导通，截止： （3.17）这样就可以得到如图3.7所示的非线性电阻伏安特性。可以通过调节电阻R的阻值来改变的大小，非线性电阻中的运放LM741工作在线性放大区域中，由它及其相连的电阻组成线性负阻，运放本身并没有产生非线性。蔡氏电路（图35）的电路模型为： （3.18）其中为电容两端的电压，为通过电感L的电流。4.蔡氏电路的设计通过使用Multisim10.0仿真工具搭建一个典型的蔡氏电路，并用工具中自带的示波器对其进行测量，并期望达到理论的效果。混沌系统所依据的非线性方程

44、有很多，从当今电子电路的现状和发展来看，可以提供给我们的电路设计手段也有很多。利用模拟电子电路来设计非线性动力系统是相对容易的，运用一些简单常见的基本电路单元就可以设计出很多灵活多样的非线性混沌电路系统。一般来说，人们从模拟电路中运用电路理论提取电路状态方程，然后把电路状态方程进行处理得到一般的数学模型，再以数学模型为基础运用一些易于实现的电子电路来设计相应的混沌电路，所以在设计的过程中我们离不开非线性单元电路，通过这些基本的非线性单元电路，我们能够实现混沌电路。按照器件特性形状和特点，可以把器件分成时不变线性器件、时变线性器件、时不变非线性器件和时变非线性器件。广义的说，器件的非线性是绝对的

45、，而其线性是相对的，非线性器件种类很多，归纳起来，可分为非线性电阻、非线性电容和非线性电感三类。从目前的研究来看，人们主要通过时间延迟，扰动输入，复杂系统等方法产生混沌信号，每一种方法都有自己的优点和不足之处，实际上常常因为系统复杂(比如神经网络)难以操作、电路本身的缺陷、非线性器件太多精确度难以把握、稳定性不高同步难度大、频带范围小、制作成本高等原因所以大部分混沌系统设计成混沌信号产生器是不现实的。随着电子技术的发展，从电路的设计这个角度来考虑，应该在混沌理论分析的基础上，将状态方程中的各种理论参数数值通过某种对应关系的变换。这种用理论指导电路设计的方法，是最终解决用电路实验证实产生混沌吸引

46、子具有可行性的关键技术所在。利用这种方法获得的电路参数具有较高的准确性，可进一步用于指导硬件电路的设计与实验。这些电路参数设计值的准确性很高，当电路设计完成后，很多电路实验都只需对某些元件的参数值稍微作一点调试的情况下，便可获取所需的硬件实验结果。对于一个己知的混沌系统，要想实现相应的混沌电路，可以用运算放大器组成的运算电路来描述系统的状态方程。本文引用了一个典型的蔡氏电路,并对其进行研究。图3.8 蔡氏二极管图3.9 蔡氏二极管的伏安特性它相当于两个非线性和电阻的并联。图3.10给出和电路及其伏安特性。 (a)电路 (b)电路(c)伏安特性 (d)伏安特性图3.10 两个非线性电阻及其伏安特性由于两电阻是并联，故电压是相等的。和分别是流入、的电流。适当选取电阻参数值，使远大于，也远大于蔡氏电路工作时的变化范围，则在电路的工作范围内，是一个线性负电阻，和并联后可实现图3-10中非线性电阻的伏安特性。 （3.19） (3.20)是运放得输出饱和电压，它与运放的工作电源有关。适当选取电阻参数值，使远大于，也远大于蔡氏电路工作时的变化范围，则在电路的工作范围内，是一个线性负电阻，和并联后可实现图3.9中非线性电阻的伏安特性，其中 （3.21）电路的混沌特性是由其元件参数值确定的，只有元件的参数值在可能的范围内系统才有可能出现混沌现象，但只是给出了蔡氏混沌电