毕业设计（论文）数字图像处理与分形理论.doc

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1、 摘要分形理论是现代非线性科学中的一个重要分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。通过对分形理论的认识和相关定理的理解，做出了一些比较典型的分形图形并实现了自己想象中的一批奇特的图形。运用分形理论描述图像纹理特征，通过分析不同纹理图像及图像边缘处的分形参数，得到一种新的边缘检测分形特征，从而提出一种基于分形特征的图像边缘检测方法。在讨论边缘提取时讨论算法的简单迅速，并具有良好的抗噪性能，并且简要了分形理论边缘提取方法简述了分形理论在图像中应用原理，讨论分形编码的特点，采用分形理论的方法，进行图像边缘的检测，Matlab强大的计算机软件的介入，能够实现不同图像的仿真更好的去理解图像知识。 关

2、键词：分形 matlab分形特征 边缘提取 ABSTRACTModern fractal theory is an important branch of the nonlinear science, is a kind of important scientific research of mathematical tools and methods. Based on fractal theory knowledge and understanding of the related theorem, made some typical fractal graph and realized

3、the batch of strange oneself imagination of graphics. Using fractal theory describe image texture feature, through analyzing different texture image and image edge fractal parameters, get a new edge detection, and the fractal features is proposed based on the fractal characteristics of image edge de

4、tection methods. The introduction of the adaptive threshold, can realize the different image edge detection. The algorithm is simple rapidly, and has good robust performance, and briefly the fractal theory edge extraction method described in the image fractal theory, discuss the application principl

5、e of fractal coding, with the characteristics of fractal theory, the method of image edge detectionKeywords: fractal matlab Fractal characteristic Edge extraction摘要1ABSTRACT1前言3第一章 绪论31.1分形理论的发展31.2分形理论的图像处理技术中的应用现状与前景6第二章 数字图像处理技术72.1数字图像处理的简介72.2数字图像处理的应用8第三章分形理论在图像处理中的应用1113.1分数布朗随机场113.2边缘检测分形特征

6、的提取124 分形在图像边缘的提取思想134.1经典的边缘检测算子134.2 现代信号处理技术提取图像边缘方法18结论20致谢20参考文献20附录 源程序清单21前 言 自然界是复杂和美丽的。过去由于理论计算和实验技术的局限，科学家们无法对自然界做完美的描述；传统的科学只能把复杂的问题简化成为一个线性问题来研究。对自然界中出现的非线性现象也只能按线性理论作一定的微扰处理。而如今由于分形理论研究的逐步深入以及计算机学科的突飞猛进，使得这二者得以完美的结合，我们获得了许多过去难以想象的分形图形的模拟实现，自从Mandelbrot 提出分形的概念以来,分形学已发展成为一门横跨自然科学和社会科学各研究

7、领域的新兴学科。分形学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，即自相似性。自相似性原理的引入使分形理论成为研究和处理自然与工程中不规则图形的有力工具。广义而言，任何物体表面都可以看作是由某种纹理特征的表面构成，故任何图像都包含了若干种纹理区域的灰度表面。在这些不同纹理灰度表面之间灰度起伏变化显著，外在就表现为边缘。大多数纹理图像都可以用分形模型进行描述，而纹理特征的变化包含了图像的边缘信息。所以，我们可以运用分形理论进行边缘检测。本文在图像分形模型分数布朗随机场的基础上，通过分析图像的分形参数，提出一种新的边缘检测特征，

8、并运用自适应阈值，实现图像的边缘检测经典的、最简单的边缘提取方法是对原图像按象素的某邻域构造边缘检测算子。2O世纪8O年代某科学家提出的零交叉法提取边缘， 在实际处理过程中往往有许多问题， 如图像往往含噪声，而边缘和噪声在空间域表现为灰度有比较大的起落；在频率域则反映为同时高频分量，这就给真正边缘的提取带来困难。人们不断地寻找解决这些问题的途径。分数维图形可以模拟天际的积云、空中的闪电、地上的森林、海上的浪花、燃烧的火焰、树木的生长以及如分子、粒子的运动等物理现象。可以用分形图设计壁纸。地板革、地板砖、纺织品等日用品的图案。众所周知，迭代函数系统是构造分形图的重要方法之一，IFS为计算机模拟一

9、些自然现象的真实感图形提供了一个有力的工具。而IFS理论的提出为分形图像处理开拓了广阔的前景，特别是利用带有概率的IFS即IFSP算法绘制分形图，与单纯迭代法绘图相比，不仅实现的代码简单，而且降低了对计算机硬件的要求。本文应用分形的思想在图像边缘提取方面进行了初步的探讨经，并结合matlab实验更直观的观察实验结果充分理解理论的知识。第一章 绪论1.1 分形理论的发展 当今，科学技术水平不断跨越发展，人类对自己所处的神秘世界的认识 正在深化与飞跃。自然科学也经历着深刻的变革，继牛顿力学和量子力学后发展起来的非线性科学，正在改变着人们对世界的看法，形成了一种新的自然观，促进着一大批新兴学科的孕育

10、和发展，并从根本上影响着现代科学的逻辑体系。在多种概念和方法相互交叉和汇合下，作为当代新兴学术思潮中的一门非线性综合学科分形理论诞生了。它的出现就像二十世纪初的量子力学一样，为人类提供了一种对自然现象总体上全新的观念。它新颖的指导思想和独特的分析方法随即被各个学科竞相引入，以新的驱动力推动它们的发展，成为人们研究和处理自然界和人类社会中无处不在的貌似无规则形体的强有力的理论工具，从而深化了人类对大自然的认识，诱发了一些新的学科生长点。分形理论打破了各个学科间的壁垒，把思考者从相距甚远的各个学术领域吸引到一块共同的领地。它的应用几乎涉及自然科学的各个领域，甚至社会科学，前景十分诱人，引起了人们普

11、遍的关注。 在分形理论诞生前，人们分析问题的方法，要么是在宏观上的,如牛顿力学、欧氏几何学等,要么就是在微观上的，如量子力学等。分形则是指一类介于有序和无序、微观与宏观之间的中间状态，它的外表特征一般是极其破碎、无规则和复杂的，而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是指把考察对像的部分沿各个方向以相同比例放大后，其形态与整体相同或相似，而自仿射性是指把考察对像整体以不同的比例放大后，其形态与整体相同或相似。因此，分形是指组成部分以某种方式与整体相似的形，其基本观点是，处理的对像总是具有非均匀性和自相似性。分形理论使人们能够以新的观念、新的手段透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态

12、，来揭示隐藏在复杂现象背后的规律，局部和整体之间的本质联系。分形几何学是由分形理论发展而来的描述客观物体复杂性的系统理论。在现实世界中，实物可以分为两大类：一类是规则的、光滑的可以用一维点、 二维点直线段、三维的多面体来逼近形体，研究这一范畴的学科称为传统几何学，如欧氏几何、黎曼几何等；另一类则是不光滑的、不规则的，具有精细的结构或自相似性特征，不能用传统的几何语言描述的自然形态，研究这一范畴的学科称为分形几何学。人们早就熟悉从规则的实物中抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念，并用传统的几何学对它做了很好的描述。然而对于自然界和科学试验中出现的凹凸而不圆润、破碎而不连续、粗糙而不光滑的形（或无序

13、系统），传统几何学却是无能为力的。例如宇宙中星系和星团的分布、海岸线与地形地貌、河流与水系、棉絮团似的云烟和冬天里美丽的雪花、动物的花纹、植物的叶形、生长得枝枝岔岔的树木、以及地震波能量的传播、太阳黑子的爆炸；有一些是在人类日常生活中不断出现的，例如股市上天天发布的股票价格曲线、水文测量中的水位变化曲线等。这些实体没有规则、光滑图形的形式美，却有着无穷嵌套的结构和韵律美；没有规则图形的那种均匀性和对称性，但在尺度变化上表现出对称性。从多尺度下，有相同的粗糙度和破碎度。也就是说，这些形体除了本身的大小外，不存在能表示其内部构造的特征尺度。没有特征尺度，就必须考虑尺度的变化，这正是传统几何学无法克

14、服的固有难题。从另一个角度出发，在不同尺度下表现出相同的粗糙度和破碎度意味着标度变换下的不变性。这种不变性就是无标度性。在无标度性下，这些不规则、破碎、粗糙的实体意味着是规则的。分形几何没有特征尺度（无标度性），它含有一切尺度的要素，在每一尺度上都有丰富的细节。所谓事物的复杂性也就在于此。分形几何正是基于无标度性或相似性的，弥补了传统几何学的不足，给出了自然界中复杂几何形态的一种定量描述。1.2分形理论在图像处理技术中的应用现状与前景分形几何弥补了欧氏几何等传统几何学的不足，它描述了自然界物体的自相似性，这种自相似性可以是确定的，也可以是统计意义上的。由于分形集可以用简单的迭代方法生成复杂的自

15、然景物、用分形参数有效度量物体的复杂性，因此分形与图像之间存在着一种自然联系，而正是这种联系，奠定了分形理论用于图像处理的基础，开辟了图像应用的新领域。分形图像处理技术是分形理论与图像处理技术结合的产物。目前在图像处理领域中，分形理论在模拟自然景物生成、图像分割、纹理特征提取、纹理分类、图像编码压缩和模式识别上得到了很好的运用。严格地讲，自然界没有真正的分形(分形概念仅是一种数学抽象)，理想的分形、分形维数与尺度无关，即在任何尺度下都保持常数。自然界中的分形往往具有一个最小标度和最大标度，在无标度区间内，才存在满足自相似性。自然图像也不完全满足分形模型，但绝大多数图像在一定尺度上是具有自相似性

16、的，而且越接近理想分形，无标度区间就越大。我们可以通过在无标度区间用线性回归法估计出分形参数值。如何能找到最大满足分形模型的无标度区间，使计算所得的分形参数更精确，是目前分形领域研究的一个热点。基于分形理论在图像处理的技术主要集中在两方面，即迭代函数系统和分数维（后面皆称为分形维），前者主要用于图像压缩编码和图像生成，后者几乎涵盖了分形图像处理的其它方法。分形维数打破了传统几何学只在整数维，如一维、二维、三维空间讨论几何形体，用非整数维描述不规则形体，揭示其内在的特征。本文不仅对最重要的分形参数分形维的概念，提取分形维的方法、分形维在图像处理中的具体应用作详尽的论述,提出几种切实可行的，准确的

17、、快速的，易于操作的图像分形维计算方法，而且还对其它的分形参数，如随机场参数、分形维常数在图像处理中的应用作有意义的探讨。本文关注的是分形理论在图像边缘检测与图像分割上的应用及分形理论算法的仿真。1.2.1 边缘检测经典的边缘检测算子，如Roberts 算子、Sobel 算子、Kirsch 算子，Prewitt 算子、Canny 算子、Log 算子等，这些方法多是以待处理像素为中心构造邻域来作为灰度分析的基础，在一定的适用范围内取得了较好的效果。但是，这些算法存在着一个自身无法克服的缺陷，它们对噪声信号非常敏感，若要保留和增强图边缘就难免增强了图像的噪声，提取的轮廓线上存在着大量的数据冗余，甚

18、至产生假边缘，若去除图像随机噪声又会引起图像边缘的模糊。理想的边缘检测算子的要求对一个特定的检测算子来说，常常相互矛盾，不易兼顾，这往往要根据具体情况进行权衡。分形参数是用来描述图像在多尺度下的相似性的，噪声对其的干扰很小特别适合揭露复杂图像的内部特征，是非常有效的描述图像局部性质的特征。灰度图像的边缘点处灰度变化比较剧烈，即灰度图像比较粗糙；灰度图像的非边缘点处灰度变化比较缓慢，即灰度图像比较光滑。即分形维数的较大值对应于灰度图像的边缘点；分形维数的较小值对应于灰度图像的非边缘点。因此可以利用单一分形维数对灰度图像进行边缘检测。通过性能分析，基于分形维数的边缘提取方法，较之经典的基于梯度运算

19、的边缘检测算法，表现出了良好的抗噪能力。分形用于图像的边缘检测的依据是图像统计的自相似性，是通过对图像局部范围的统计特性参数来获得边缘，因此，能有效地克服梯度运算固有的局限性。1.2.2 图像分割图像分割有两个重要的方面：特征提取和特征划分。特征的提取是要找到能有效描述图像的性质的特征。特征划分可以看作是模式识别问题，选择已知的特征向量尽可能好的进行图像分割。传统方法总是根据图像中目标区域和背景区域的灰度或平均灰度的差别，直接利用图像的灰度信息作为依据进行图像分割，但是，在目标与背景的对比度较小的情况下，就会出现丢失目标或背景误判为目标的情况。阈值分割法对图像进行分割时简单、快速。但在对复杂而

20、噪声大的自然景物图像，如自然场景、SAR 图像进行分割时就很难满足人们的需要。自适应阈值虽然有一定的抗噪能力，但其是基于灰度一次特征的，方法上的改进不能解决特征选取上的缺陷。分形参数，无论是随机场参数H、分形维，或是分形常数都与图像表面粗糙度、纹理特征有关，并且在对SAR 图像进行图像分割时有很好的抗噪性。随机场参数H 是最早被运用在图像上的分形特性，Mandelbrot 将分形布朗模型（FBM）引入纹理分析中，用Hurst 来表示纹理的粗糙度，并取得了一定的成功，表现出其在描述图像粗糙度上的特有能力。由分形理论知，同一分形物质的不同区域一般具有相同的分形维数，当我们在同一图像的不同区域求得分

21、形维值后，就可以基于此进行图像的分割与分类。此外，一般人造物体不满足分形的自相似性，当它位于满足分形性质的自然背景中时，就很容易把它检测出来。分形常数表现了图像灰度的变化快慢，这正好反映了图像的纹理变化，而纹理描述在区域描述中是很有效的。第二章数字图像处理技术2.1 数字图像处理简介数字图像处理又称为计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。 数字图像处理与模拟图像处理的根本不同在于，它不会因图像的存储、传输或复制等一系列变换操作而导致图像质量的退化。只要图像在数字化时准确地表现了原稿，则数字图像处理过程始终能保持图像的再现。 按目前的技术，几乎可将一幅模拟

22、图像数字化为任意大小的二维数组，这主要取决于图像数字化设备的能力。现代扫描仪可以把每个像素的灰度等级量化为16 位甚至更高，这意味着图像的数字化精度可以满足很高应用需求。对计算机而言，不论数组大小，也不论每个像素的位数多少，其处理程序几乎是一样的。换言之，从原理上讲不论图像的精度有多高，处理总是能实现的，只要在处理时改变程序中的数组参数就可以了。回想一下图像的模拟处理，为了要把处理精度提高一个数量级，就要大幅度地改进处理装置，这在经济上是极不合算的。 图像可以来自多种信息源，它们可以是可见光图像，也可以是不可见光的波谱图像（例如X 射线图像、 射线图像、超声波图像或红外图像等）。从图像反映的客

23、观实体尺度看，可以小到电子显微镜图像，大到航空照片、遥感图像甚至天文望远镜图像。这些来自不同信息源的图像只要被变换为数字编码形式后，均是用二维数组表示的灰度图像（彩色图像也是由灰度图像组合成的，例如RGB 图由红、绿、蓝三个灰度图像组合而成）组合而成，因而均可用计算机来处理。即只要针对不同的图像信息源，采取相应的图像信息采集措施，图像的数字处理方法适用于任何一种图像。 图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分，每一部分均包含丰富的内容。由于图像的光学处理从原理上讲只能进行线性运算，这极大地限制了光学图像处理能实现的目标。而数字图像处理不仅能完成线性运算，而且能实现非线性处

24、理，即凡是可以用数学公式或逻辑关系来表达的一切运算均可用数字图像处理实现。目前图像处理的应用领域非常广泛，其中包括通讯技术，宇宙探索、遥感技术、生物医学、工业生产、气象预报、计算机科学、军事技术、侦察破案、考古等领域。2.2数字图像处理应用同模拟图像处理相比，数字图像处理有很多优点。主要表现在：1. 精度高 不管是对4bit还是8bit和其他比特图像的处理，对计算机程序来说几乎是一样的。即使处理图像变大，只需改变数组的参数，而处理方法不变。所以从原理上不管处理多高精度的图像都是可能的。而在模拟图像处理中，要想使精度提高一个数量级，就必须对处理装置进行大幅度改进。2. 再现性好 不管是什么图像，

25、它们均用数组或集合表示。将它们输入到计算机内，用计算机容易处理的方式表示。在传送和复制图像时，只在计算机内部进行处理，这样数据就不会丢失或遭破坏，保持了完好的再现性。而在模拟图像处理中，就会因为各种干扰及设备故障而无法保持图像的再现性。3. 通用性、灵活性高 不管是可视图像还是X线照片、红外线热成像、超声波图像等不可见光成像，尽管这些图像成像体系中的设备规模和精度各不相同，但当把图像信号直接进行A/D变换，或记录成照片再数字化，对于计算机来说都能用二维数组表示，不管什么样的图像都可以用同样的方法进行处理，这就是计算机处理的通用性。另外，对处理程序自由加以改变，可进行各种各样的处理。如上下滚动、

26、漫游、拼图、合成、变换、放大、缩小和各种逻辑运算等，所以灵活性很高。人们用各种技术方式和手段对图像进行加工以获取重要信息。图像技术从广义上来讲可以看作是各种图像加工技术的总称，它包括利用计算机和其它电子设备进行和完成的一系列工作，例如图像采集、获取、编码、存储和传输，图像的合成和产生，图像的显示、绘制和输出,图像的变换、增强、恢复和重建，特征的提取和测量，目标的检测、表达和描述，序列图像的校正，图像数据库的建立、索引、查询和抽取，图像的分类、表示和识别，3D景物的重建复原，图像模型的建立，图像知识的利用和匹配，图像和场景的解释和理解，以及他们的推理、判断、决策和行为规划，等等。目前数字图像处理

27、技术的应用已经渗透到工业、医疗保健、航空航天、军事等领域，在国民经济中发挥越来越大的作用。如图1所示。学科应用物理、化学结晶分析、谱分析生物、医学细胞分析、染色体分类、X 射线成像、CT 等环境保护水质及大气污染调查等地质资源勘测、地图绘制、GIS 等农业、林业农业物估产、植被分布调查渔业鱼群分布调查等气象卫星云图分析通信传真、电视、多媒体通信工业工业探伤、机器人、产品检测军事导弹导航、军事侦察法律指纹识别图1 图像处理应用的领域第三章分形理论在图像处理中的应用3.1分形的概念分形(fractal)这个名词是Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先引入自然科学领域的

28、，它的原意是不规则的，支离破碎的物体。分形可以分为规则分形和不规则分形。在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor集,Koch曲线,Sierpinski垫片，地毯和海绵等。这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不便区域，自相似性不复存在。这类曲线为不规则分形。迄今为止，分形还没有一个严格的定义。1982年Mandelbrot将分形定义为Hausdorff维数大于拓扑

29、维数的集合。1986年，Mandelbrot给出了一个更广泛，更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形，该定义强调图形中的局部和整体之间的自相似性。一般认为分形是一个具有以下性质的集合F1） F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。2） F是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。3） F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。4） F是某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数。5） F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。3.1.1分数布朗随机场 Mandelbrot 首先提出用分数布朗运动描述具有统计自相似性的一类随机过程现象，将分数布朗运动用于描述

30、空间分布的随机场，得到分数布朗随机场（FBRF）。有关概念简述如下：定义一：设H 满足0H1，b0 为任意实数，若随机函数满足则称BH(s,)为分数布朗运动（FBM），其中 H 为Hurst 指数，b0 为初始值，为样本空间，H=1/2 时为通常的布朗运动。定义二：设BH(t)为一高斯随机场，对于0H1，若对任意t 和t，满足Pr(B (t t) B (t) t y) F( y) HH H + D - D = （2）则称BH(t)为各向同性的FBRF，其中F(y)为零均值高斯随机变量的分布函数，Pr()为概率测度，|表示范数。分数布朗随机场BH(t)具有如下性质：由以上性质可知，FBRF 增量

31、的一、二阶绝对矩是各向同性的。Pentland2证明了大多数自然景物表面所映射成的灰度图像在一定尺度范围内满足各向同性的FBRF，并将FBRF 作为自然景物图像的描述模型。从（2）和（3）式可以看出，Hurst 指数决定了一个分数布朗运动，由Hurst 指数可得图像表面的分形维数 D=Dt+1- H (4) 式中 DT 为图像表面的拓扑维数。维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在分形学里维数可以为分数，通过分形维数我们可以描述和测量分形的特性。在实际中，常用Richardson 定律来估计分形维数 式中 =1,2,3 为尺度因子，A()是尺度下的度量特

32、征值，D 是分形维数，d 是拓扑维数，K 为分形系数。对于理想的均匀的二维灰度图像，A()为图像表面积测度，拓扑维数为2，则有 对于分形维数，人们倾注了许多注意力，并指出分形维数是图像表面不规则程度的一种度量，它反映了图像灰度曲面的粗糙程度。3.2 边缘检测分形特征的提取本文将分析另一个分形参数，得到一种新的边缘提取特征。考虑（6）式中的系数K。对于一个理想的平坦的分形曲面，其分形维数D 为2，此时系数K 为灰度曲面的表面积。给定一个理想分形曲面，K 为一常数，若图像是由不同的纹理曲面组成，或是分形曲面中嵌入了非分形对象，例如自然场景中存在人造目标，K 将不再是一个常数，而是尺度的函数，它反映

33、了尺度变化的情况下曲面面积的变化，取不同的尺度，由（6）式可得 式中 1,2 为不同尺度，可见K 值反映了图像表面积随尺度变化的空间变化率。对式两端取对数，有 log A(e ) = (2 - D) log e + log K （8）式（8）表示在logA()log坐标系下的一条直线，logK 恰为该直线在纵坐标轴logA()上的截距，K的大小相当于该尺度下的灰度曲面面积。由此可以看出，系数K 实际上是一个类似于面积的分形参数，称之为面积度量。对于光滑的曲面，面积度量较小，起伏的曲面面积度量较大。所以，面积度量同分形维数一样反映了图像表面的粗糙程度，即图像灰度曲面的“起伏程度”。实验表明，面积

34、度量在许多方面往往能更好地体现不同曲面的特性。对二维数字图像而言，分形维数2D0,若能找到一个IFS使，则：公式3其中：是IFS不动点，亦即吸引子。该理论说明，对于L，如能找到一个IFS，使L恰为IFS的吸引子，则L完全由IFS确定。根据不动点是复制它本身的变换构造出来的，因此，对L进行压缩变换，然后把它们粘贴到一起，用“拼贴”近似表示L。4.2 主要提取方法（1）已有的提取IFS码的方法对于规则的图形如我们熟知的Sierpinski垫片，因为我们已经知道压缩仿射变换中的六个参数所起的作用，再根据图形本身的几何关系，其IFS码可以比较容易的得出。对于不规则但具有分形特性的图形提取IFS码的方法

35、主要有以下几种：（2）最初的方法对那些经典的已知的某景物的IFS参数，改变它的某些参数值或加入随机因素来得到此景物新的IFS参数，然而对那些无已知参数的景物就无能为力了。（3）三点法我们知道，一般具有分形特征的自然景物图形，它必然存在一些有特征性的点。由于整体和局部的相似性， 整体存在一些有特征性的点， 局部也必然相应地存在一些有特征性的点。由于局部是由整体仿射变换而来，则局部上的一些有特征性的点必然也是由整体上的一些有特征性的点经过同样的仿射函数变换而来。同时我们还知道， 通过三对点(整体上的三个点和局部上对应的三个点)， 我们就可求出一个仿射变换。基于这个道理， 我们只要在整体轮廓上选取三

36、个有特征性的点，然后再在各个局部轮廓上按相同的顺序选取对应的三个有特征性的点。这样根据这些点，就可以获得整体到各个局部的仿射变换。具体步骤如下:1.在原图上取三点：，然后在每一个拼贴子图上相应的取三点: 。选取点时注意：选取的三点最好不使之形成钝角三角形,并尽量能体现图形的整体信息,如选最上、最左、最右或最下的三点小拷贝上点的位置要尽量与整体上点的位置相对应,即小拷贝上取的三点尽量为整体上的三点在压缩映射作用下在小拷贝上的象。2.将这六个点分别代入公式公式4其中，为原图坐标，为拼贴子图坐标。3.采用三点对应解线性方程组的方法来求取仿射变换系数。4.各个仿射变换的概率可以通过计算得到，最后应对概

37、率集归一化，使其和。至此可得到所求的IFS码。4.3具有严格自相似性分形图形的算法我们选择具有代表性的分形树为例，我们观察到二维分形树的树干和树枝具有良好的自相似性，即图形局部放大后可以与整体等同。构造一个递归函数，给出两个象素点的位置便可将两点连线画出，递归出口为线段长度的一个限值，可以根据需要和硬件条件设定，具体思路如下：n 首先，我们向函数传递的是树根或树枝末端点坐标以及线段长度、与横坐标所夹角度，通过函数调用得到的是树顶或树枝顶端点坐标：假定A(x1,y1)为枝末节点，B(x2,y2)为枝顶节点,AB与主枝所夹角度为，亦即相对角度，l为树枝长度，则进而我们得出,利用这一方程组，我们就可

38、以根据A点坐标、线段长度、所夹角度将B点坐标求出，两点连线AB即为所求如下图是matlab仿真得到（具体程序见附录）。图2 分形树4.4 利用IFS码/IFSP码模拟图形的算法迭代函数系统IFS的理论和方法是分形自然景观模拟的理论基础。迭代函数系统采用确定性与随机性相结合的方法生成植物秆茎或叶片。“确定性”指用以迭代的规则是确定性的，它们由一组仿射变换构成；“随机性”指迭代过程是不确定的，每一次迭代用哪一个规则，不是预先定好的，而是随机的。设最终要生成的图形为M，它要满足下述几何方程：公式5上式含义是，随机地从中挑选一个迭代规则迭代一次，然后在随机地在中选一个规则迭代下一次，不断重复此过程，最

39、后生成地极限图形M就是欲求地形态。具体的提取IFS码，可以参照上一章，这里我们再简单的描述一下。IFS的压缩映射的参数设计由分形图的相似结构，每个压缩映射是由平移、旋转和比例3种变换以及它们的复合变换构成的仿射变换，二维形式为：公式6其中参数由旋转、比例变换所决定的实数；由平移变换所决定的实数。IFS吸引子自然景观的模拟总是在一个矩形区域内进行，取度量空间，由于。因此，参数的取值范围在；的取值影响植物x方向的偏离程度，一般取值为正。在平面欧氏空间R2中，仿射变换有下面两种形式：1公式7公式8其中称为转角，r是相似比。相似变换可以分解成以下四种基本的相似变换：1(1) 旋转变换：公式9它是绕坐标原点逆时针旋转角度的变换