AHP层次分析法解析.doc

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1、第一单元 层次分析法AHP简介(The Analgtic Hierarachy Process-AHP)前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年代初由Saaty的学生介绍到我国。层次分析AHP的特点：1. 输入信息主

2、要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。AHP的主要不足在于：1. AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。规划论采用较严格的数学计算，把

3、人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。AHP从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。1 AHP预备知识（一）1. 特征根与特征向量设为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量，使得 (1)则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量是矩阵A关于特征根的特征向量。1.1 特征根的求法由（1）得，这是一个n元一次线性齐次

4、方程组，按题意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 （2）称（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有n个根。2. 重量模型设为n个物体，重量分别是。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：设准则C为重量，问题是：已知，在准则C下对元素排序，也就是按其重量大小排序已知。显然满足（1）（2）：（1） （2） （3）但是，（3）式通常不被满足，满足（1）、（2）的A为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，是，是重量的精

5、确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性矩阵。令则显见n是方阵A的特征根，g是A的与对应的特征向量；事实上此时不难验证：n是方阵A=(aij)的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g是A的与最大特征根n对应的特征向量。（证明见附录）g的n个分量是物体的相对重量，因此，可按此对排序。如果对矩阵A有一个小的扰动，即不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根不再是n；因扰动很小，自然离n不远，这时对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动不大，则离n就不远，此时对应的特征向量与差不多，如果不改变g的各分量的大小次序，则同样给出n

6、个物体按重量大小的真实排序。 这样，对不满足一致性的正互反矩阵，我们求其最大特征根，再求与对应的特征向量g，则可按g对n个物体按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑点：当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；既使A有最大特征根，那么，这个最大特征根对应的特征向量的全部分量能否还是正数？因为，该特征向量的各个分量对应的是n个物体的相对重量（特征向量乘一个非零常数仍是特征向量）。因为矩阵代数中PerroFrobineus理论明确地回答了这个问题。 Perro-Frobineus定理：1. 正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正

7、分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是帷一的。（证明略）Perron定理明白地告诉我们，对正的互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是帷一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是帷一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根=n对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵的一致性满意程度进行检验：我们说过，由于对A不大的扰动，最大特征根离n不应太远，所以

8、一致性检验自然与n有关。我们可以证明：只要A的一致性不被满足，那么A的最大特征根一定比n大，即n0。（证明略）令 显然，我们希望尽量小；但是，小到什么程度，才能使与n对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。为此，Saaty给出了平均一致性检验值。我们重复1000次，对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：阶数123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59 令 当

9、时，认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。亦即当时，就是说，当给定的判断矩阵的一致性指标C.I.不超过平均随机一致性指标R.I.的0.1倍时，认为判断矩阵的一致性是可以被接受的。言外之意：此时的A的对应的特征向量“归一化”后，能给出n个物体按重量大小的真实排序。明显看出这个回答不是正面的，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是AHP理论上不够严谨的问题。不过，从应用角度讲，当C.R.0.1时，AHP不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值。 由此得层次分析法AHP的步骤如下。 结论： 1. 给了A后求及相应特征向量； 2. 将特征向量“规一”

10、后，即得排序向量； 3. 排序向量是否可信，须进行一致性检验，若检验难过则可信；否则重新检验A。2 AHP的基本步骤用AHP解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施。AHP决策方法应用实例例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：修天桥或修高架桥；：修地道；：商场搬迁。选择方案的准则有5个：通车能力；：方便市民；：改造费用；：安全性；：市容美观。试用AHP方法决策决策步骤：一、建立递阶层

11、次结构：2. 准则层3. 方案层1. 目标层：通车能力：方便市民：改造费用：安全性：市容美观方案方案方案最高层：目标层G：改变交通环境 递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。二、构造两两比较判断矩阵 在单准则下分别构造，即在G下对，构造A；分别在下对构造A在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵呢？即如何具体确定比值呢？在AHP中采用19比例标度法。2.1 关于19比例标度n个元素，两两比较其重要性共要比较次。第i个元素与第j个元素重要性之比为。问题是如何得出的值。AHP采用19比例标度来确定；这是AHP的特点，也是优点。本来，n个元素比较n1次，即可确定顺序，为什么

12、要比较次呢？这是由事物的复杂性和决策人的局限性决定的，事实证明，n个元素按重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较n1次是决然不行的，因为只比较n1次，其中若有一次失误，则排序就将遭到破坏。而两两比较可减少失误。 19 比例标度表1 表示与重量相同，或重要性相同；3 表示比稍重；5 表示比明显重；7 表示比强烈重；9 表示比极端重；数2、4、6、8则为上述判断的中值。 两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。至于为什么取19比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异

13、，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。从理论上讲，用115比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。对n个物体，两两比较其重要性得判断矩阵，显然满足：， 共计个判断，所以A是正的互反矩阵，且对角线上元素为1，这样的n阶矩阵可表示为上三角或下三角矩阵。但A的元素通常不具有传递性，即 这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。 如果 成立，则称A是一致性矩阵。从判断矩阵A出发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排序，矩阵A的一致性起着至关重要的作用。 按着19比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：G通车方便费用安全市容通

14、车 13535方便 1/31313费用 1/51/311/33安全 1/31313市容 1/51/31/31/31通车能力方便天桥 115天桥 135地道 115地道 1/312搬迁 1/51/51搬迁 1/51/21费用安全天桥 147天桥 11/21/3地道 1/414地道 211搬迁 1/71/41搬迁 311市容天桥 11/21/3地道 211搬迁 311三、计算单一准则下各元素的相对权重 对给出的共6个正互反矩阵，分别求 (1) (2)与对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量。 (3)每个矩阵求后，都要进行一致性检验。例如： 1. 以作准则的判断矩阵为： 因阶数低，可直接求出最大特

15、征根。由于A是一致的，知=3，其它的特征根均为0。下面来验证这一点： 2考虑：准则下的A，显然A不满足一致性，如。 由于A出现一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有=3，而是3，这是，通常用迭代算法求解出再进行一致性检验。 3.1 补充：求最大特征根的迭代算法 步骤1：对，设初值向量为： 步骤2：计算 迭代过程中，每一个均是“归一化”了的。 步骤3：对预先设定的阀值，计算使 时，则停止，否则继续。其中，是向量的第i个分量。 步骤4：计算 由此求出最大特征根，以备作一致性检验用。在此，归一化后的便是排序向量。 关于用迭代法求的思路 1. 由 设是“归一化”了的，由Perron定理知与对应的特征

16、向量归一化后是帷一的，所以，令 每迭代一次得，将归一化后作为下一次迭代初值，直到 为止，则就是帷一的归一化后的特征向量。 由 故 结合上述具体例子，进行AHP的第四步 四、计算各层元素的组合权重 1. 设第一层元素相对于总目标的排序权重向量为： （本例中m=5） 第2层在第一层j元素准则下的排序向量为： （本例中n=3） 令 (m=5) 则第2层n(n=3)个元素相对于总目标的组合权重向量为： 在本例中为： 最后得到的就是方案A、B、C在总目标G下的排序向量。 2. 对于递阶层次组合判断的一致性检验 我们要逐层计算，若得到第一层的计算结果为：， 则第二层的相应指标为： 本例中m=5，则 上面和

17、分别是第一层第i个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。 当时 认为递阶层次在2层水平上整个判断有满意的一致性。 请按本文给的例题，补齐AHP的四个求解步骤。最后求出方案A、B、C在总目标G下的权重排序，以此作为本单元的考核。3 层次分析模型AHM与无结构决策的层次分析法AHP相近的一种层次分析模型是AHM（Analytic Hierarachincal Model）层次分析法AHP是一个重量模型元素为n个物体，其重量不知，只知其两两比较的比值， 由比例标度测度矩阵A求导出标度，则w给出物体按重量大小的排序，从，由特征根法求取，并进行一致性检验，一致性检验是特征根法要求的。下面给出一

18、种球赛模型：球塞模型：元素为n个球队，每两队进行一场比赛，共赛场，每场比赛为1分，和比赛得分分别为和。准则c为得分，在准则c下对元素按得分多少排序。与满足： （表明一个队无法与自己比赛）在实际问题中，可取到0,1上的一切实数。称作和的相对测度为两两比赛判断矩阵。如果，则称比强，记为，含意是两者比赛完后得分比得分多，即胜了；若判断矩阵（）满足：当时，有, 则称判断矩阵具有一致性。注意：，而在此并不罕见，即甲胜乙、乙胜丙，而丙胜甲的连环套是常有的。一致性矩阵的含意是：全部比赛未出现“连环套”的情况，允许甲大胜乙，乙大胜丙，而甲仅仅小胜丙的情况出现。此时重量模型的一致性不被满足，但是球赛的一致性却可

19、以被满足，故球赛型比重量模型的两两比较判断矩阵的一致性要求要低很多。的总得分，显然 总共比赛场，共得分。令 （在得分准则下）称为相对权向量，以上讨论可由下表给出：准则c从逐行检验就可知是否具有一致性。由于两两比较测度判断矩阵的一致性是；两两比较比例标度判断矩阵的一致性要求，显然在AHP的判断矩阵的一致性要求高，通常的判断矩阵的一致性不被满足；而AHM的判断矩阵的一致性要求很低，只要甲比乙强、乙比丙强，则甲比丙强，至于强多少没有具体要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被满足时，对应到AHM时一致性却经常可以被满足，并且一致性可从自身中观察检验，通常有下述定理：定理（一致性判定定理）若则比较

20、判断矩阵具有一致性的必要充分条件是：对任何i，为非空时 (1)符号解释：非空是指对给定的i，至少有一个j使，即i比j强，所以，非空是指i不是最小者。证明：必要性，若一致性成立，即，则成立。因此知，所以（1）成立。充分性：若非空是，试证当是，有。证：因为非空，知，又因为知非空，且，知，所以，证毕。应用中不必用此定理，对（uij）进行逐行检验即可验证。注：比赛模型有两类：一类如田径、游泳、跳水、体操运动员的成绩可以单独测量出来；另一类如击剑、拳击、球赛，只有通过两队比赛才能定出来。重量模型、球赛模型反映了这两类不同的比赛。模型不同，处理方法不同：AHP用特征根法，AHM则不用。用特征根法则要求判断

21、矩阵的一致性被允许条件下，由比较测度矩阵A转化换后求出导出测度w，才是重要性排序权向量。AHM中的比较判断矩阵通常是难以求出的，但可由AHP中的比较判断矩阵中导出：转模公式为：或 当时，相当于两队比赛，一队胜得1分，另一队败得0分，当取定，如如上右式。k=9，这相当于全胜，极端强；k=2，微强；k=3，0.857，稍强；k=5，0.909，明显强；k=6，0.923，特别强；通常情况下比较合适。有了上述定理（或从中直接）检验一致性，就可以应用AHM。实际上当一致性成立，就可用来按分量大小对ui排序；综合得分率最高者认为名次在前。事实上，当判断矩阵不满足一致性时，仍然可以计算各队的得分率，并按得

22、分率对各队排序也是可以的，故一致性检验是非本质的。 AHM层次决策例仍用“AHP”的例子，某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：为改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：修天桥或修高架桥；：修地道；：商场搬迁。选择方案的准则有5个：通车能力；：方便市民；：改造费用；：安全性；：市容美观。两两比较的比例标度判断矩阵如前。问题：选择哪种方案？：通车能力：方便市民：改造费用：安全性：市容美观天桥地道搬迁最高层：目标层G：改变交通环境解：1、建立递阶层次结构： 2、单一准则下的相对权向量 转换公式：G通车方便费用安全市容通车 00.8570.9090.8570.9090.3530方便 0.14300.8

23、570.50.8570.2360费用 0.0910.14300.1430.8570.1230安全 0.1430.50.85700.8570.2360市容 0.0910.1430.1430.14300.0520通车能力方便 天桥 00.50.9090.47天桥 00.8570.9090.589地道 0.500.9090.47地道 0.14300.80.314搬迁 0.0910.09100.06搬迁 0.0910.200.097费用 安全 天桥 00.8890.9330.067天桥 00.20.1430.114地道 0.11100.8890.333地道 0.800.50.433搬迁 0.0670.

24、11100.060搬迁 0.8570.500.453市容 天桥 00.20.1430.114地道 0.800.50.433搬迁 0.8570.500.453比如计算准则（方便市民）按下面方法准则c得00.8570.9091.7660.58870.14300.80.9430.31430.0910.200.2910.0970同理得准则G，下排序权重，上述比较矩阵显然满足一致性条件。3、计算各方案对目标的合成权重即：由此知，方案的权重最大，故决策，此结论与文献1中用AHP所得结论相同。结论：层次分析AHP，与层次分析模型AHM是两种不同模型，AHP基于重量模型，AHM基于球赛模型，本质区别在于，而，

25、是正整数或其倒数，而可在0,1上取连续数，但是应用上，两两比较确定较困难，而用19比例标度确定直观且易操作，故两两比较测度常从两两比较标度中转换得来。二者最本质判别是：AHP用特征根法求导出排序向量，而特征根法要求必须对作一致性检验：严格满足一致性条件，几乎是不可能的，所以，只是近似满足，认为当C.R.0.1时，一致性是可以被接受的。这是一种难令人满意的间接检验，使之理论上存有不足。而转化成AHM后，因AHM不是用最大特征权法排序，条件要求放宽很多，一致性条件只要时，就有即可。从本质上讲，不进行一致性检验，由得分率仍然给出在准则C下的一种排序。且运算简单，仅用加乘，故是一种简单的决策方法。关于一致性检验：1. AHP中，一致性检验；2. AHM，本质上没有一致性检验的条件限制。附录：关于特征方程的补充设两两比较相对重量的精确测度为：则特征方程，有一重实根及n1重0根。证明： 故为一重特征根，为n1重特征根。证毕！