毕业设计(论文)基于matlab的一级倒立摆控制器设计与仿真.doc
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1、摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统,它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。近年来,许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。本文研究了直线一级倒立摆的控制问题。首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状,接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了一级倒立摆的数学模型。本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器, 极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上,从而使系统满足要求的瞬态和稳态性能指标。最优控制理论主要是依据庞特里亚金的极值原理,通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。若取状态变量的二次型函数
2、的积分做为系统的性能指标,则称为线性系统二次型性能指标的最优控制。通过比较和MATLAB仿真,验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。关键词:单级倒立摆;MATLAB;控制器设计;极点配置;LQRABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effe
3、ctiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system
4、 and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller. Pole-zero con
5、figuration can configure the closed-loop system poles of multi-variable system in the desired position, by designing of the state feedback controller,so that to make the system meets the requirements of the transient and steady state performance indicators.Optimal control theory is mainly based on t
6、he Pontryagin maximum principle, by the optimization of the performance indicators to find the minimal goal of the controller.If taking the integral of the quadratic function of state variables as the system of performance indicators, called the as the linear quadratic performance index of optimal c
7、ontrol.Key words : Single stage Inverted pendulum; MATLAB; Controller design; Zero-pole; LQR 目 录摘要1ABSTRACT21 绪论11.1 控制理论的发展11.2 倒立摆系统简介及其研究意义11.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法21.4 研究目标32 直线一阶倒立摆数学模型的建立52.1 倒立摆系统的物理结构与建模52.2 系统参数设定82.3 系统能控性与能观性93 极点配置控制方案的设计103.1 极点配置理论103.2 极点配置算法113.3 极点配置控制方案的设计124 线性二次型最优
8、控制(LQR)方案的设计164.1 最优控制的起源和发展164.2 线性二次型最优控制原理164.3 最优控制矩阵的设计195 控制系统的MATLAB仿真235.1 MATLAB软件介绍235.2 极点配置控制方案的仿真245.3 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真275.4 干扰条件下控制系统的仿真285.5 S函数模拟动画设计295.7两种控制方法的比较336 总结与展望34参考文献36致谢37附录381 绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史,随着现代科学技术的发展,它的应用也越来越广泛。特别是近几十年,航天航空航海和其它工业过程等领域的研究发展,不断地向控制
9、理论提出一系列挑战性问题,对这些问题的研究和探索,有力地推动控制理论和控制方法取得长足发展,其发展通常可以分为三个阶段。第一阶段是经典控制理论阶段,上世纪50年代前后的控制理论主要是研究单输入-单输出线性定常系统的分析和设计问题,其理论基础是描述系统输入-输出关系的传递函数,基本分析方法是基于频率法、根轨迹法和相平面法等,描述系统的数学模型是微分方程或传递函数,利用增益和相角裕度的概念研究反馈系统,设计出的系统能够满足要求的性能。经典控制理论能够很好的解决单输入单输出问题,所研究的系统是线性定常系统。但对于非线性时变系统很难奏效,分析时采用的相平面法一般也不超过两个变量。第二阶段是现代控制理论
10、阶段。50年代末以来,应宇航技术发展的需要,现代控制理论应运而生。它以描述系统状态这一内部特征向量的状态方程为基础,采用状态空间法,把经典控制理论的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组,用以描述系统的动态过程,这种方法可以解决多输入多输出问题,系统既可以是线性的、定常的,也可以是非线性的、时变的。主要研究有高性能、高精度的多输入-多输出、变参数系统的分析和设计问题,最优控制、最优滤波、系统辨识和自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。它能够解决经典控制理论难以解决的一些问题。第三阶段是大系统理论和智能控制理论阶段。随着被控系统的高度复杂性、高度不确定性以及人们对控制性能要求的提高,经典和现代
11、控制理论面临空前的挑战。70年代末开始的智能控制理论和大系统理论的研究和应用,是现代控制理论在深度上和广度上的开拓。它用来解决多层次分散结构的复杂系统的分析和综合问题,因此受到各国著名学者的极大关注。目前,在专家系统、神经网络、模糊系统、遗传算法等方面己经取得了可喜的进展1。1.2 倒立摆系统简介及其研究意义倒立摆系统是一个复杂的非线性系统。小车可以在限定的轨道上自由的左右移动,小车上的倒立摆被铰链在小车的顶部,另一端可以在小车轨道所在的垂直平面上自由转动。控制目的是通过电机推动小车运动,使倒立摆平衡并保持小车不和轨道两端碰撞。在此基础上,在摆杆的另一端再铰链摆杆,可以组成二级,三级倒立摆系统
12、。在控制理论发展的过程中,某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆的典型性在于作为一个装置,成本低廉,结构简单,便于模拟和数字多种不同方式控制;作为一个被控对象,又相当复杂,是高阶次,不稳定,多变量,非线性,强耦合系统。只有采用行之有效的控制方法才能使之稳定。倒立摆系统稳定效果非常明了,可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量,控制效果一目了然。因此,倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。倒立摆主要应用在以下几个方面:(1)机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。(2)在火箭等飞行器的飞行过程中,为了保持其正确的姿态,要不断进
13、行实时控制。(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时,要保持其稳定的姿态,使卫星天线一直指向地球,使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响,为了提高摄像的质量,必须能自动地保持伺服云台的稳定,消除震动。(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭),其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。倒立摆的控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途,且对于揭示定性定量转换规律和策略具有普遍意义,因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实践意义。单级倒立摆系统的控制对象是一个单输入(力)双输出
14、(角度和位移)的非最小相位系统,为了用经典控制理论解决单输入多输出系统需引入适当的反馈,使闭环系统特征方程的根都位于左半平面上。用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型,因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量,就能使系统参数保持很宽范围的稳定性。与经典控制理论相比,现代控制理论有较强的系统性,从分析到设计、综合都有比较完整的理论和方法2。1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法鉴于倒立摆的稳定控制研究的重要意义,国内外学者对此给予了广泛关注。国外在60年代就开始了对一级倒立摆系统的研究,在60年代后期,作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆
15、的概念,并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。近年来,随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视,模糊控制、神经网络、拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能控制算法应用到倒立摆动系统的控制上。Charies W.Andorson在1988年应用自学习模糊神经网络成功控制一级摆;周建波等用基于BP网络的规则控制也解决了单摆的稳定性控制问题;徐红兵等提出了基于变结构的模糊神经网络控制算法,实现了二级倒立摆系统的稳定性控制;1995年,张明廉等人应用拟人智能控制理论成功的解决了三级倒立摆这一控制界的世界性难题;2001年9月19日,北京师范大学李洪兴教授领导的复杂系统实时
16、智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了三级倒立摆实物系统控制,又于2002年8月11日在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统1。当前,倒立摆的控制方法可分为以下几类 :(1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理,获得系统在平衡点附近的线性化模型,然后再利用各种线性系统控制器设计方法,得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制、LQR控制算法是其典型代表。(2)预测控制和变结构控制方法预测控制:是一种优化控制方法,强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制:是一种非连续控制,可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系
17、统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果,但由于控制方法复杂,成本也高,不易在快速变化的系统上实时实现3。1.4 研究目标本文主要是围绕一级倒立摆系统,首先介绍了直线一阶倒立摆的物理结构,分析其受力情况,并在一定假设条件下,建立一阶级倒立摆系统的数学模型,并对其进行线性化,初步分析其运动特性。其次运用极点配置理论设计极点配置算法与控制器;运用线性二次型最优控制原理结合合适的Q,R阵求解最优控制矩阵并设计最优控制(LQR)方案。然后根据已经建立的系统数学模型,运用MATLAB的Simulink工具对极点配置控制方案和线性二次型最优控制(LQR)方案进行控制系统的仿真,
18、得出仿真结果和各个输出量的波形,同时利用编写的S函数仿真动画观察仿真结果。目的是通过设计加深对所学自动控制课程的理解,培养理论联系实际的能力,为进一步学习更高层次的控制理论奠定基础。2 直线一阶倒立摆数学模型的建立2.1 倒立摆系统的物理结构与建模2.1.1 倒立摆物理结构现代控制理论是基于状态空间法进行分析的,因此首先要建立系统的状态空间方程。本章通过对其进行受力分析,利用牛顿力学分析方法建立数学模型4,并进行必要的线性化处理和初步的系统原理分析。图2.1 直线一级倒立摆模型图2.1是倒立摆小车和摆杆受力分析图。其中F为加在小车上的力,M为小车的质量,m为摆杆质量,I为摆杆惯性,l为摆杆长度
19、,x为小车位置,为摆杆与垂直方向的夹角,b为小车摩擦力,T为采样周期,N和P为摆杆相互作用力的水平和垂直方向上的分量。 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图2.1所示,图示方向为矢量正方向。2.1.2 倒立摆受力分析分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:(式 2.1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: (式 2.2)即:(式 2.3)把这个等式代入式 2.1中,就得到系统的第一个运动方程: (式 2.4)然后对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程: (式 2.5)即(式 2.6)由此可得到力矩平衡方程如下: (式 2.7)此
20、方程中力矩的方向,由于,故等式前面有负号。合并这两个方程,利用式2.2约去P和N,可得到系统的第二个运动方程 (式 2.8)2.1.3 运动方程的线性化与微分方程模型设(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1(单位为弧度)相比很小,即时,则可以进行近似处理:,用u来代表被控对象的输入力F,线性化后可得到该系统数学模型的微分方程如下: (式 2.9)2.1.4 传递函数模型将式 2.9进行拉普拉斯变换(假设初始条件为0)得到 (式 2.10)由于需要输出为角度,化简上式消去X(s),求解上式中的第一个等式,可得 (式 2.11)将式2.11代入式2.10消去X(s)
21、可得 (式 2.12)整理后可得以u为输入量,以摆杆角度为输出量的传递函数 (式 2.13)式中。若取小车位移为输出量,可得传递函数 (式 2.14)2.1.5 状态空间数学模型由现代控制理论可知,控制系统的状态空间方程可写成如下形式:在式2.9中对、求解代数方程,得到如下解: (式2.15)整理后得到系统状态空间方程: (式2.16) (式 2.17)2.2 系统参数设定倒立摆系统实际上是一个定常系统,其系统参数是可以得到的。有些参数可以直接测得,如摆的质量、长度、摆杆的重心到转轴的距离、小车的质量等。而有些参数需要采用间接的方法得到,如摆杆的转动惯量、小车的等效摩擦系数、转轴的等效摩擦系数
22、等。假设系统内部各相关参数4为:M小车质量0.5 kgm摆杆质量0.2 kgb小车摩擦系数0.1 N/m/secl摆杆质心到转轴之间的长度0.3 mI摆杆惯量0.006 kg*m*mT采样时间0.005 s把上述参数代入式2.13、式2.14、式2.16、式2.17中,可以得到系统的实际模型 。摆杆角度和输入量u的传递函数为: (式 2.18)小车位移x和输入量u之间的传递函数为: (式 2.19)系统的状态方程: (式 2.20) (式 2.21)2.3 系统能控性与能观性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入- 输出特性,输出量即被控量,只要系统是因果系统,且是稳定的,输出量总是可以被测量
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