毕业设计（论文）关于矩阵相似的若干讨论.doc

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1、关于矩阵相似的若干讨论 (陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班,陕西 汉中 723000)指导教师:摘要 本文首先归纳总结了矩阵相似的简单性质,其次讨论了矩阵相似的条件及矩阵可对角化的条件,最后讨论了矩阵相似的相关应用.关键词 矩阵;相似;特征向量;特征值1引言线性变换是线性空间到自身的特殊映射,当所考虑的线性空间是有限维时,线性变换与矩阵之间有一一对应的关系,而线性变换的矩阵是研究线性变换的重要基础.同一线性变换在不同基下的矩阵有相似关系,且矩阵相似对于线性变换的化简有着重要作用.同时,在整个代数学中,矩阵的相似占有着非常重要的地位,因此深入的掌握矩阵相似的相关内容,体会矩阵相

2、似在数学中的应用,对整个数学的学习和研究,将会产生非常重要的作用.本文是在文献1-6的基础上,归纳总结了矩阵相似的简单性质,讨论了矩阵相似的条件及矩阵可对角化的条件,最后讨论了矩阵相似的相关应用.2 预备知识定义2.11 由个数排成的行列的数表称为矩阵,简记为=.定义2.22 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的矩阵称为n级单位矩阵,记为或者在不致引起含混的时候简单写为.定义2.31 设，=,如果都成立，则称与相等，记作.定义2.41 设，= ,则矩阵=称为与的和,记为.矩阵的加法运算满足以下规律：结合律：交换律：定义2.52 设 ,那么矩阵,其中,称为与的乘积,记为.矩阵的乘法适合结合律

3、，但不适合交换律.定义2.62 矩阵称为矩阵与数的数量乘积,记为,即用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.定义2.73 设,称为的转置,记作，即.显然矩阵的转置是矩阵.定理2.13 设是数域上的矩阵,那么，即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定义2.84 设为任一阶矩阵,称中不等于零的子式的最高阶数为该矩阵的秩.零矩阵的秩为零.定义2.91 级方阵称为可逆的,如果有级方阵,使得,称为的逆矩阵.定义2.104 设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵=称为的伴随矩阵.定理2.25 设为矩阵,为可逆矩阵,为可逆矩阵,则秩（）=秩（）=秩（）定义2.115 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为

4、初等矩阵.引理2.36 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵;对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是初等矩阵.定义2.121 矩阵与称为等价的,如果可以由经过一系列初等变换得到.定理2.44 任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价,它称为矩阵的标准形,主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）.定理2.51 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积,即推论2.66 矩阵,等价的充分必要条件为存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使.推论2.71 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.3矩阵相似的概念及其性

5、质定义3.12 设是数域上维线性空间的一组基,是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出:用矩阵来表示就是（ =（其中=,矩阵称为在基下的矩阵.定理3.12 设是数域上维线性空间的一组基,在这组基下,每个线性变换按定义3.12对应一个矩阵,这个对应具有以下性质:(1)线性变换的和对应于矩阵的和;(2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;(3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;(4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理3.27 设线性变换在基，下的矩阵是,向量在基下的坐标是,则在基下的坐标可以按以下公式计算定义3.27 设,为数域上两个级矩阵,如果可以找到数域上的级可逆

6、矩阵,使得就说相似于,记作.相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面三个性质:(1)反身性:.(2)对称性:如果,那么.如果,那么有使.令，就有所以.(3)传递性:如果,那么.已知有,使,.令,就有,故.定理3.38 设线性空间中线性变换在两组基（1） （2）下的矩阵分别为和，从基（1）到（2）的过渡矩阵是,于是,即于相似.定理3.48 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定义3.39 设是数域上线性空间上的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得,那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特

7、征向量.定义3.410 设是数域上一级矩阵,是一个文字.矩阵的行列式称为的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:（1）在线性空间中取一组基，写出在这组基下的矩阵;（2）求出的特征多项式在数域中全部的根,它们也就是线性变换的全部特征值;（3）把所求的特征值逐个地代入方程组对于每一个特征值,解此方程,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标,这样,我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.定理3.54 相似的矩阵有相同的特征多项式.定理3.610 设是维线性空间的一个线性变换,的矩阵可以在某一

8、组基下为对角矩阵的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.定理3.71 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论3.87 如果在维线性空间中,线性变换的特征多项式在数域中有个不同的根,即有个不同的特征值,那么在某组基下的矩阵是对角形的.推论3.95 在复数域上的线性空间中,如果线性变换的特征多项式没有重根,那么在某组基下的矩阵是对角形的.定理3.1010 如果是线性变化的不同的特征值,而是属于特征值的线性无关的特征向量,那么向量组,也线性无关.4矩阵相似的条件引理4.111 如果有阶矩阵使,则与相似.证明 因它又与相等,进行比较后应有.由此,而.故与相似.引理4.212 对于任何不为零的数字矩

9、阵和-矩阵,一定存在矩阵以及数字矩阵和使 证明 把改写成这里都是数字矩阵,而且如,则令及,它们显然满足引理4.212要求.设,令这里都是待定的数字矩阵.于是要想使成立,只需取就行了,用完全相同的方法可以求得和.定理4.312 设是数域上两个矩阵,与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵与等价.证明 与等价就是存在可逆的矩阵和，使 先证必要性:设与相似,即存在可逆矩阵,使,于是,从而与等价. 再证充分性:设与等价,即存在可逆的矩阵,使成立.由引理4.212存在矩阵以及数字矩阵使成立.把改写成式中的用代入,再移项,得右端次数等于1或,因此 是一个数字矩阵,记作，即 现在来证明是可逆的.由的第一式有等式

10、右端的第二项必须为零,否则它的次数至少是1,由于和都是数字矩阵,等式不可能成立.因此,这就是说,是可逆的.由的第二式得再由引理4.111,与相似.矩阵的特征矩阵的不变因子以后就简称为的不变因子，因为两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理4.31即得.推论4.412矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.接下来我们给出矩阵与对角矩阵相似的条件.首先讨论矩阵可对角化的充分必要条件.定理4.51n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.证明 先证必要性:若，则存在阶可逆矩阵，使得.设,显然,且线性无关.于是即,即再证充分性: 设有个线性无关的特征向量：他们

11、所对应的特征值依次为：则有 令，由于线性无关,故可逆.于是即,所以相似于对角矩阵.推论4.61若有个线性无关的特征向量,则与对角矩阵相似,且其中,是的个特征值,是的属于的特征向量.若阶矩阵有个互不相同的特征值,则一定相似于一个对角矩阵.最后,我们将给出一些利用相似矩阵解决问题是例子.例1 已知，求.解 ,因为与相似,有特征值-1,所以.例2 设矩阵，求.解 由于矩阵相似,所以特征值相同, 由于的特征值是2，.再由，得出.参考文献1 王萼芳,石生明.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社. 1978. 339-341.2 易伟明,王平平,杨淑玲.线性代数M.北京:科学出版社. 2007.15

12、5-185.3 张慎语,周厚隆.线性代数M.北京:高等教育出版社. 2002. 91-1084 史荣昌,魏丰.矩阵分析（第二版）M.北京:北京理工大学出版社. 2005. 93-95.5 郭聿琦,岑嘉评,徐贵桐.线性代数导引M.北京:科学出版社. 2001. 252-255.6 魏增涛等.矩阵理论与方法M.北京:电子工业出版社. 2006. 46-49.7 戴华.矩阵论M.北京:科学出版社. 2001. 106-104.8 龙幼娟,李茂生.线性代数M.北京:北京邮电大学出版社. 2000. 149-152.9 廉庆荣等.线性代数与解析几何M.北京:高等教育出版社. 2000.160-163.1

13、0 Johnson HR,An inequality for matrices whose symmetric part is positiveJ. Linear Alg Appl,1973, 6(8):13-15.11 刘建平等.线性代数精析与精炼M.上海:华东理工大学出版社. 2004. 178-179.12 卢树铭,郭敏学.矩阵理论及其应用M.沈阳:辽宁科学技术出版社. 1989. 15-20.Some Discussions OnMattixSimilarityYao Liang(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Specia

14、lity, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi) Tutor:Hongmei ZhengAbstract:The properties of matrix similarity are discussed in this paper.Also the necessary and sufficient andition of making marix diagonalizable are studied.Finaly,the condition of matrix similarity and its application are discussed.Key words: Matrixs; Similarity; Eigenvectors; Eigenvalue