固体物理导论第八章ppt课件.ppt

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1、1,第八章晶体热学性质,2,8.1 晶格热容一般公式8.2爱因斯坦模型和德拜模型8.3晶格振动谱的实验测定8.4非谐效应 热膨胀8.5非谐效应 热传导,3,8.1.1 固体热容,8.1 晶格热容一般公式,根据经典理论，固体比热与温度无关。由经典论的能均分定理，电子和离子比热分别为 3/2kB 和 3kB。实验表明，在低温下，固体比热为：cV=AT+BT3。在金属量子电子气理论中，我们已证明了电子对比热的贡献与温度 T 的一次方成正比。可见，上式的第一项来自电子对固体比热的贡献。本章内容将讨论，上式的第二项，与温度 T 的三次成正比，来自晶格振动对固体比热的贡献。同样，这一结果是量子力学的讨论结

2、果。,4,8.1.2 晶体的量子化晶格振动总能量,8.1 晶格热容一般公式,由第七章讨论已知，晶格振动用声子系统表示，声子服从玻色分布。在温度 T，处于,状态的声子平均数目：,其平均能量：,系统总能量：,5,8.1.3 晶格热容,8.1 晶格热容一般公式,按热力学，晶格热容定义为：,一般晶体原胞数目 N 很大，j(q)在波矢空间准连续分布，可将对 q 的求和改写为积分如下：,6,8.1.3 晶格热容,8.1 晶格热容一般公式,上式中，gj()是声子态密度函数，,积分上限可通过 gj()定义由 N 改为无穷。,涉及具体晶体时，gj()相当复杂，与色散关系 j(q)的形式有关。,当 j(q)取连续

3、介质弹性波形式，即：j(q)=Vjq，Vj 为格波速度，,7,8.2.1 爱因斯坦模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,爱因斯坦假定，所有格波的频率相同，不依赖于波矢 q，即：,8,8.2.1 爱因斯坦模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,讨论：,结果与经典论由能均分定理得到热容结果-杜隆-珀替定律一致。因为，系统的原子数目为 PN 个，每个原子的自由度为 3，能均分定理给出，原子每个自由度的能量为 kBT，每个原子对热容的贡献为 3kB。,9,8.2.1 爱因斯坦模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,讨论：,爱因斯坦模型适合于描述格波中频率较高，频宽较窄的光学支格波。在高温下，大量高频高能光学波声子得到

4、激发，而低温下，主要是声学波声子，所以模型只在高温下与实验相符。,10,8.2.2 德拜模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,德拜假定，晶体是连续介质，格波就是弹性波。在这种假定下，晶体中只有三支格波-在支声学波。模型进一步假定，弹性波的纵波和横波的波速均为 C，具有色散关系：,此时声子态密度函数取简单形式，如前所述为：,模型还假定，弹性波有截止频率 D，即有：,11,8.2.2 德拜模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,12,8.2.2 德拜模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,13,8.2.2 德拜模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,讨论：,热容与温度的三次方成正比。与低温下的实验结果一致。,14,8.

5、2.2 德拜模型,8.2 爱因斯坦和德拜模型,讨论：,(2)与低温下实验结果一致的原因,低温下，晶体中能被激发的主要是低频率，低能量的长声学支格波。由于波长较长，晶体可近似为连续介质，格波可被视为弹性波。这正是德拜模型基本假设。,(3)德拜温度的物理意义,德拜温度是采用经典论或量子论解释晶格比热的判据。低于德拜温度，声子开始被冻结，需要用量子统计规律讨论。高于德拜温度，声子大量被激发，可用经典统计规律讨论。,15,8.3 晶格振动谱的实验测定,晶格振动谱，即：格波的色散关系(q)，或称为声子谱。,晶体与晶格振动有关的性质，都和格波色散关系(q)有关。,大部分晶格振动谱由实验测定。,粒子与晶格振

6、动的非弹性散射是实验测定格波色散关系(q)的基础。,粒子入射晶体，与晶格振动相互交换能量，使谐振子从一个激发态到另一个激发态。用声子概念来说，就是粒子与声子碰撞，相互作用，产生或消灭声子的过程。,16,令，为入射波和反射波频率，q为声子频率，k，k为入射波和反射波波矢，q为声子波矢，根据碰撞的能量和动量守恒，有,8.3 晶格振动谱的实验测定,式中“+”，“”表示声子的产生和消灭。+G，反映了同种声子的波矢可以相差一个倒格矢 G，即：,实验通过测量外来粒子散射前后的频率与波矢的改变，来确定声子的频率与波矢(q)。,17,8.3 晶格振动谱的实验测定,(1)中子散射,中子能量约 0.2-0.04

7、eV，与声子能量同数量级；中子(德布罗意)波长约 2-310-10 m，与晶格常数同数量级。适合于测定声子的，q。但是中子源反应堆复杂，难于获得。,光子在可见波段，波矢约 108 m-1，与之作用的声子波矢 q 远小于布里渊区线度(/a 1010 m-1)，均为位于布里渊区中心的长波声子。所以，光子散射只能测定长波声子谱。,(2)光子散射,(3)几个名词,布里渊散射-光与长声学波的散射喇曼散射-光与长光学波的散射斯托克斯线-消灭声子对应的谱线反斯托克斯线-产生声子对应的谱线,18,8.4.1 晶体自由能和状态方程,8.4 非谐效应 热膨胀,这里采用统计物理方法讨论晶格振动热力学函数,根据热力学

8、统计物理，在简谐近似下，频率为 j(q)的格波的振动自由能表为：,晶格共有相互独立的 3PN 个格波，晶格振动总自由能为：,晶体总能量=晶体结合能(U0(V)+晶格振动能,19,8.4.1 晶体自由能和状态方程,8.4 非谐效应 热膨胀,晶体的状态方程：,晶体总能量 U：,P-压强，U 中只有 U0(V)与 j(q)和晶体体积有关。,20,8.4.2 热膨胀与非谐效应,8.4 非谐效应 热膨胀,热胀系数：,21,8.4.2 热膨胀与非谐效应,8.4 非谐效应 热膨胀,根据,再根据,22,8.4.2 热膨胀与非谐效应,8.4 非谐效应 热膨胀,在简谐近似下，相邻原子间作用势能为,23,8.4.2

9、 热膨胀与非谐效应,8.4 非谐效应 热膨胀,以上讨论说明，在简谐近似下，不能解释热膨胀现象；只有考虑非谐效应，才能解释热膨胀现象。,非谐效应热膨胀的唯象解说,在简谐近似下，势能函数关于平衡位置对称 r0，温度升高，原子振动加剧，但平衡位置 r0 不变，晶体宏观体积没有增大。考虑非谐效应，势能曲线不再关于平衡位置对称，随温度升高，原子振动平衡位置(A-B)增大，原子间距统计平均值增大，宏观上表现为热膨胀。,热膨胀是晶格振动的非谐效应。,24,8.4.3 格林乃森状态方程,8.4 非谐效应 热膨胀,建立非谐振动的晶体状态方程。,格林乃森改写简谐近似晶体状态方程,如下：,且认为 是与频率无关的常数

10、-格林乃森常数,则有格林乃森状态方程：,改写使 P 与 E 有关，改写只是乘上并除以 V 和 j(q)。,晶格振动平均能量,25,8.4.3 格林乃森状态方程,8.4 非谐效应 热膨胀,第一项与晶格静态能量有关，称为冷压；第二项与晶体振动有关，称为热压。,由非谐振动的格林乃森状态方程可导出晶体热胀系数,式中 K 为体弹模量，CV为晶体热容量。,与 CV 成正比的规律，由大量实验证实，测出，K，CV，V，就可求出。实验表明，随温度变化不大，在 1-2之间。,格林乃森状态方程,26,8.5.1 热传导与非谐效应,8.5 非谐效应 热传导,系统存在温度梯度时，就有热能传输-热传导，且有热能流密度 j

11、(单位时间，通过单位面积的热量)与温度梯度T 成正比，即：,简谐近似下，晶体振动表示为一系列相互独立，无相互作用，不交换能量的谐振子系统。用声子概念来说，不同声子相互独立，不交换能量。因此，一旦声子被激发，这种声子将一直在晶体中运动传输能量.结果是，无需温度梯度，也有热流，即，导热系数 k 无穷大。,27,8.5.1 热传导与非谐效应,8.5 非谐效应 热传导,因此，解释热传导，必须考虑非谐效应。这时晶格振动可视为众多声子组成的声子气体系统，但声子间存在相互碰撞，并交换能量。声子气体系统可以应用普通气体热传导公式，晶格热导系数为：,(1)声子之间碰撞-非谐效应(2)声子与晶体中杂质、缺陷及边界

12、散射,28,8.5.2 声子与声子碰撞,8.5 非谐效应 热传导,考虑声子1，声子2 的碰撞，产生了声子3，则有：,(1)正常过程 G=0(N过程),可以发生在 q1，q2 都较小，或夹角较大情形，使 q3 仍在第一布里渊区。N过程碰撞前后，声子体系总能量，总动量不变，全部传递给第三个声子，即，热能流量大小和方向均不因碰撞改变。如果声子间碰撞都 N过程，则晶体热导率无穷大。但是，N过程对建立声子系统的热平衡态起重要作用。,kx,ky,q1,q2,q3,0,29,8.5.2 声子与声子碰撞,8.5 非谐效应 热传导,(2)倒逆过程 G 0(U过程),可以发生在 q1，q2 都较大，或夹角较小情形

13、，使 q3 在第一布里渊区之外。由于 q3=q3+G 及关于倒格矢的平移周期性，所以，(q3)和(q3)是等价的声子。由于声子准动量不守恒，q3=(q3+G)，但不等于 q3。这表明声子运动方向发生了变化。从而改变热流方向。所以，U 过程对热阻有贡献，反映了碰撞减小了声子的平均自由程。,kx,ky,q1,q2,q3,q3,G,0,30,8.5.3 杂质、边界散射,8.5 非谐效应 热传导,晶体中杂质、缺陷散射声子产生热阻，通常对热导系数 k 的影响显著。当 T 0，晶体中主要是长波声子，杂质和缺陷不再是主要的散射体，而边界散射成为主要因素。这是由于当 T 0，平均自由程 l 增大，直到与晶体线度 L 可比，l L此时，有,在低温下，有,所以，在低温下，有,31,