地下水数值模拟-第三讲-地下水数值模拟原理及建模方法和步骤课件.ppt
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1、地下水数值模拟原理及建模方法和步骤,内容提要,绪论一、地下水流有限差分法原理二、地下水数值模型建模步骤三、建模所需要的基本资料 四、地下水系统溶质迁移有限差分法原理五、地下水系统热对流-扩散有限差分法原理,绪论地下水数值方法在水文地质学中的位置,已学课程水文地质学基础地下水动力学水文地球化学(环境水文地质学)同位素地下水溶质运移:示踪剂或污染物在含水层中的迁移机理及数学模型和求解方法地下水数值模拟,绪论地下水数值方法在水文地质学中的位置,地下水动力学主要内容连续性原理、达西定律、水均衡原理地下水流基本方程几类特殊水文地质问题数学模型及解析解地下水向沟渠河中的流动园岛模型泰斯模型有越流的不稳定井
2、流(Hantush and Jacob)无越流的潜水含水层不稳定井流(Neuman)抽水试验及反求参数数值方法可以作为地下水动力学课程内容之一、或补充、或延续,绪论数值解与解析解,地下水动力学中所得到的解是解析解解析解的特点可以利用解析解公式计算出研究区任意空间点和时间点处的水头值对实际模型的概化适用于一些特殊简单问题公式复杂,需要借助计算机求解因此,其应用受到很大限制,绪论数值解与解析解,数值方法是地下水动力学的完善和补充或延续数值解的特点:只是求出研究区某些空间点和某些时间点处的水头值适用于所有的问题具备水文地质基础和线性代数知识已有数值模拟专门软件(或自己编程)需要有高性能计算机对实际问
3、题的刻画比较精确因此,其应用非常广泛,数值方法很多,但是最简单实用的是有限差分法:,绪论数值方法,有限差分法有限单元法积分有限差分法半解析半数值法边界元法有限体积法,只讲有限差分法,一、有限差分法的基本原理,有两种方法建立差分方程方法一以地下水流基本微分方程及其定解条件为基础,在渗流区剖分基础上,用差商代替微商,将地下水流微分方程的求解转化为差分方程(代数方程)求解。适用于二维矩形网格剖分、三维长方体网格剖分。方法二在渗流区剖分的基础上,直接由达西定律和水均衡原理,建立各个均衡区的水均衡方程,从而得到差分方程。适用于矩形网格、三角形网格。,矩形网格,多边形网格,1、网格划分的基本类型,(1)先
4、划格线,格点位于网格中心,均衡网格,节点网格,(2)先规定格点位置,再垂直平分两相邻结点的连线作格线,形成的网格即为水均衡区,方法一:差商代替微商,MODFLOW网格系统,方法一:差商代替微商,导数的有限差商近似,导数的定义,当,非常小的时候,有,上式右端项即为f(x)在x0处的差商。,这样定义的差商很容易理解,但不知道用差商代替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商及其误差。,方法一:差商代替微商,(2)有限差分方程建立,已知泰勒公式,由A得:,A,B,由B 得:,称 为f(x)在x0处的一阶前向差商,为截断误差。,称 为f(x)在x0处的一阶后向差商,为截断误差。,方法一,由A-B可以
5、得:,由A+B可以得:,A,B,称 为f(x)在x0处的一阶中心差商,为截断误差。,称 为f(x)在x0处的二阶中心差商,为截断误差。,方法一,对于偏导数(偏微商),类似可以得到相应的差商:,方法一,(2)有限差分方程建立(续),一维控制方程差分格式,显式差分格式,隐式差分格式,方法一,控制方程,网格剖分nx个,二维控制方程差分格式,显式差分格式,隐式差分格式,方法一,控制方程,网格剖分nx个,达西定律:水均衡原理:对某一研究对象,流入 流出体系内质量(或水量)变化量研究对象可以是大区域的,也可以是微分单元体大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价,单位时间通过单位面积过水断面的水量与断面处
6、的水力梯度成正比。,方法二:直接由达西定律和水均衡原理建立差分方程,表示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),+,H 可取tn+1或 tn时刻的值,节点(i,j)的均衡区,Aij:节点(i,j)均衡区的面积,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例,表示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),H取tn时刻的值,有:,+,节点(i,j)均衡区,Aij:节点(i,j)均衡区的面积,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续1),则得到显式格式:,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续2),+,如果 H 取tn+1时刻
7、的值,节点(i,j)的均衡区,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续3),记:,得到隐式格式:,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续4),表示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),当网格是等距时,即,+,H 可取tn+1或 tn时刻的值,节点(i,j)的均衡区,此时,有水均衡方程:,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续5),节点(i,j)的均衡区,两边除以,得到,表示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),H 取tn+1时刻的值,得到隐式格式,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续6),表
8、示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),两边除以,+,H 可取tn+1时刻的值,得到隐式格式,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续7),表示:当水头下降一个单位时,从单位底面积饱水空隙介质中释放的水量(体积),如果(i,j)是左边界节点,有,+,H 可取tn+1或 tn时刻的值,节点(i,j)的均衡区,qij:节点(i,j)处的边界单宽流量。,不等距矩形网格有限差分法:以二维承压水流为例(续8),三维有限差分格式(显示),三维有限差分格式(隐式),首先将渗流区划分成若干个辅助小三角形(图36中虚线所示)。划分时应注意:三角形的任一内角不得大于90,三
9、条边的长度尽可能接近;三角形的顶点不能落在另外某个三角形的边上;相邻三角形变化不太大;应考虑水文地质条件,尽量使抽水井、观测孔(特别是用于拟合的观测孔)位于三角形的顶点处,河流、断层等位于三角形边上。,1渗流区的剖分,任意多边形网格系统,三角形的顶点称为格点,分为内格点和边界格点(包括第一类边界格点和第二类边界格点)。,2、任意多边形网格有限差分法,一、有限差分法的基本原理,2多边形均衡区网格的形成方法是:对某个格点i,分别作出格点i与其相邻格点的连线的垂直平分线,这些平分线所围成的多边形区域即为格点 i 的多边形均衡网格子区,对每个格点都这样做,则形成多边形均衡网格系统(图36中实线所示),
10、典型多边形子区,2、任意多边形网格有限差分法,典型多边形子区,i=1,2,N,隐式格式,水均衡方程为:,2、任意多边形网格有限差分法,典型多边形子区,i=1,2,N,显式格式,2、任意多边形网格有限差分法,(1)区域剖分 首先,在平面上将研究区剖分成若干个辅助小三角形,然后以这些三角形为底面,将区域剖分成一些垂直的柱形体,再根据地层岩性及构造特征,用一些平面将柱形体剖分成若干短柱体(图3.1)。关于平面三角形的剖分依据下述原则:1)三角形的任一内角不得大于90,三条边的长度尽可能接近;2)三角形的顶点不能落在某个三角形的边上;3)相邻三角形变化不太大。,3、多棱柱体三维流有限差分法,(2)均衡
11、区网格的形成 三角形的顶点称为格点,分为内格点和边界格点(包括第一类边界格点和第二类边界格点)。各结点的均衡区形成方法是:平面上,以格点为中心,与之相连的边的垂直平分线段组成一个多边形;垂向上,以该层与上下两层的两个中间层的平面分别为上下底面,这样得到一个以平面上为多边形的立体柱体,就是水均衡子区。,3、多棱柱体三维流有限差分法,考虑以节点(i,m)为中心的多面柱体均衡子区,下面根据达西定律和水均衡原理建立其差分方程。如图所示,单位时间内通过单元中两断面pb、bq 断面流入到均衡区的水量为:,(i,m),3、多棱柱体三维流有限差分法,式中:,所对应的柱面流入均衡区内的水量;,为第m层流段ij和
12、ik单元的导水系数,定义为,从第e号三角形通过两线段,流段的长度。,类似对格点 i 周围所有三角形作上述计算,并求和得到从侧面流入到均衡区内的总水量,为,另外,容易求得通过均衡区顶底面流入到均衡区内的水量为,式中:,第i个均衡区的平面投影区域面积;,第i个平面格点对应第m层和m-1层之间z方向的平均渗透系数;,第i个平面格点对应第m层和m-1层之间z方向的平均渗透系数;,第i个平面格点对应第 m 层和 m-1层之间z方向的平均渗透系数;,若记 为第i个平面格点对应第m层的均衡子区的源汇项,则由水均衡原理可获得三维地下水差分方程:,式中:,N研究区平面网格结点总数,,Mi第i个平面结点对应的垂向
13、分层数。,比储水系数,对于非稳定流动问题,由初始时刻的水头分布开始,利用上时段的水头值递推计算以后各个时段的水头值,因此公式中为已知,为待求水头,将方程整理得:,-,4、潜水(无压)水流有限差分法,潜水含水层平面二维流,潜水含水层剖面二维流,对于剖面二维流,完全可以作为三维流的一种特例处理,因此这里只讨论平面二维流情形。,4.1显-隐式法,潜水含水层与承压含水层不同,随着潜水面的升降,会引起导水系数的变化,所以潜水含水层的导水系数是时间的函数。所谓凝固系数法就是将某时段的潜水含水层的导水系数利用该时段初的水头值计算,即令,从而,潜水流方程可写成,4、潜水(无压)水流有限差分法,3.7.2 全隐
14、式法,潜水含水层与承压含水层不同,随着潜水面的升降,会引起导水系数的变化,所以潜水含水层的导水系数是时间的函数。所谓双重迭代法就是利用迭代法求解非线性潜水流微分方程。在第m迭代步,潜水含水层的导水系数利用该迭代步的水头值计算,即令,求解方程,得到H(m),直到收敛为止。,4、潜水(无压)水流有限差分法,3-8-1 越流、入渗和抽水井等问题的处理如果考虑垂直渗流项(即源汇项),则二维承压流动微分方程可写成建立差分方程时,在结点处应加上这一项,它可具体表示为式中:为垂向渗流强度(包括越流、入渗或蒸发、井流等);为相邻弱透水层垂向渗透系数;为相邻弱透水层厚度;为相邻含水层水头;为主含水层水头;为入渗
15、强度或蒸发强度;为抽水或注水流量。,5、特殊问题的处理:井孔水头校正,井水位校正对比图,图3-5(a)大步长网格 图3-5(b)加密网格,有限差分法计算井水位的校正,Q0 为注水;Q0 为抽水,5、特殊问题的处理:不规则边界问题,当研究区的几何形状属于简单形式(如矩形渗流区)时,差分网格的划分往往将结点设在边界上。然而,对于实际问题来说,边界通常不是那么规则,边界的某些部分,甚至大部分不能与结点重合,我们称这种边界是不规则的。关于不规则边界问题,直接取最靠近边界的曲折格线为近似边界,越流、入渗和抽水井等问题的处理如果考虑垂直渗流项(即源汇项),则二维承压流动微分方程可写成建立差分方程时,在结点
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