通信原理2-预备知识课件.ppt

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1、,第二章,预备知识,第二章,预备知识,信号和系统的分类,?,确定信号的分析,?,随机信号的分析,?,高斯随机过程,?,平稳随机过程通过系统的分析,?,窄带随机过程,?,信道与噪声,?,一、信号和系统的分类,1.,信号的分类,数字信号和模拟信号,周期信号和非周期信号,确定信号和随机信号,能量信号和功率信号,?,能量信号,是一个脉冲式信号，通常只存在于有限的时间间隔,内，或者信号虽然存在于无限的时间间隔内，但能,量的主要部分是集中在有限的时间间隔内。,?,能量信号,信号在（,-T/2,，,T/2,）时间内在,1,欧姆电阻上所消耗的,能量是,T/,2,2,E,?,?,f,(,t,),d,t,?,?,

2、?,T/,2,消耗的能量是有限的。即使积分间隔是无限时，能量,信号在,1,欧姆电阻上所消耗的能量仍然是有限的,E,?,?,?,?,f,(,t,),d,t,?,?,2,?,功率信号,当时间间隔趋于无限时，其在,1,欧姆电阻上所消耗的,能量也趋于无穷大，但在,1,欧姆电阻上消耗的平均功,率则是大于零的有限值：,1,T/,2,S,?,lim,?,T,?,T,?,T/,2,f,(,t,),d,t,瓦,?,0,2,则,f(t),为功率信号。,周期信号是能量信,号还是功率信号,?,?,周期信号是功率信号,非周期信号可以是功率信号也可以是能量,信号,一、信号和系统的分类,2.,系统的分类,系统,是指包括有若

3、干元件或若干部件的设备。,假设输入信号为,x(t),，通过系统后得到的输出为,y(t),，则信号在系统中的变换和传输可表示为：,系统,输出信号,y(t),输入信号,x(t),其函数关系：,y(t)=f,x(t),?,系统的分类,线性系统和非线性系统,?,如果叠加原理适用于一个系统，则该系统就是线,性系统，否则为非线性系统。,?,若线性系统，,x,1,(t),的响应为,y,1,(t),，,x,2,(t),的响应为,y,2,(t),，则当输入为,x,1,(t),+,x,2,(t),时，系统的响应为,y,1,(t),+,y,2,(t),?,即对于线性系统，一个激励的存在并不能影响另,一个激励的响应,

4、时变系统和非时变系统,?,系统内的参数不随时间变化时，该系统称为时不,变系统（恒参系统）,?,只要系统内的一个参数随时间变化，该系统就是,时变系统（变参系统）,二、确定信号的分析,1.,周期信号的频域分析,周期信号的三角傅里叶级数表示,f,(,t,),?,?,c,n,cos,?,n,?,0,t,?,?,n,?,n,?,0,周期信号的指数傅里叶级数表示,?,f,T,(,t,),?,n,?,?,?,F,n,e,j,n,?,0,t,?,周期信号的三角傅里叶级数表示,任何一个周期为,T,（即,T=2,?,/,?,0,）的周期信号,f(t),，,若满足下列狄里赫利条件：,（,1,）在一个周期内只有有限个

5、不连续点；,（,2,）在一个周期内只有有限个极大值和极小值；,（,3,）积分,|,f,(,t,),|,d,t,存在；,t,0,t,0,?,T,?,则该周期信号可以展开为下列傅里叶级数：,?,周期信号的三角傅里叶级数表示,式中,f,(,t,),?,a,0,?,?,?,?,a,n,cos,n,?,0,t,?,b,n,sin,n,?,0,t,?,n,?,1,a,0,?,1,T,?,T/,2,?,T/,2,f,(,t,),d,t,a,n,?,2,T,?,T/,2,?,T/,2,f,(,t,),cos,n,?,0,t,d,t,b,n,?,2,T,?,T/,2,?,T/,2,f,(,t,),sin,n,?

6、,0,t,d,t,?,周期信号的三角傅里叶级数表示,由于三角函数可以展开为,令,c,n,cos(,n,?,0,t,?,?,n,),?,c,n,cos,?,n,cos,n,?,0,t,?,c,n,sin,?,n,sin,n,?,0,t,式中,c,n,cos(,n,?,0,t,?,?,n,),?,a,n,cos,n,?,0,t,?,b,n,sin,n,?,0,t,a,n,?,c,n,cos,?,n,b,n,?,?,c,n,sin,?,n,c,n,?,a,?,b,?,n,?,?,tan(,b,n,/,a,n,),?,2,n,2,n,三角傅里叶级数可以归并为：,f,(,t,),?,?,c,n,cos,

7、?,n,?,0,t,?,?,n,?,n,?,0,?,周期信号的指数傅里叶级数表示,任一周期为,T,（即,T=2,?,/,?,0,）的周期信号，当满,足狄里赫利条件时，则可用指数傅里叶级数表示,为,?,式中,f,(,t,),?,n,?,?,?,F,e,n,j,n,?,0,t,1,F,n,?,T,?,T,/2,?,T,/2,f,(,t,),e,?,j,n,?,0,t,d,t,1.,周期信号的频域分析,周期信号的三角傅里叶级数表示,f,(,t,),?,?,c,n,cos,?,n,?,0,t,?,?,n,?,n,?,0,?,周期信号的指数傅里叶级数表示,?,j,n,?,0,t,f,T,(,t,),?,

8、n,?,?,F,n,e,三角傅里叶级数和指数傅里叶级数不是两种不同,类型的级数，而是同一级数的两种不同的表示方,法。指数函数是傅里叶变换的基础，是频域分析,的运算工具。,二、确定信号的分析,2.,非周期信号的频域分析,一个非周期信号,f(t),可以看成一个周期信号,f,T,(t),，周,期,T,?,，即,T,lim,?,f,T,(,t,),?,f,(,t,),2.,非周期信号的频域分析,可以在整个时间内（,-,?,t,?,）用指数函数,来表示非周期信号,f(t),，即,F,(,?,),?,?,?,?,?,f,(,t,),e,?,j,?,t,d,t,d,?,-,反变换,-,正变换,1,f,(,t

9、,),?,2,?,?,?,?,?,F,(,?,),e,j,?,t,傅里叶变换有一些重要的运算特性，反映了,信号的时域特性与频域特性之间的内在联系,二、确定信号的分析,3.,信号的能量谱与功率谱,能量,：,?,信号,f(t),在,1,欧姆电阻上所消耗的能量定义为信号,的归一化能量,?,E,?,?,|,f,(,t,),|,d,t,?,?,2,只有在上式给出的积分值为有限时信号能量的概,念才有意义,二、确定信号的分析,3.,信号的能量谱与功率谱,功率,：,?,当信号能量,?,时，其平均功率存在，即,2,P,?,T,lim,1,T/,2,?,T,?,?,T/,2,f,(,t,),d,t,?,P,为平均

10、功率，简称功率。,?,T,为取时间平均的区间,3.,信号的能量谱与功率谱,帕什瓦尔定理,?,若,f(t),为能量信号，其傅里叶变换为,F(,?,),，则,?,?,?,1,2,f,(,t,)d,t,?,2,?,?,?,?,F,(,?,),d,?,2,说明时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能,量的连续和,?,若,f(t),为周期性功率信号，则有,?,1,T/,2,2,2,f,(,t,)d,t,?,?,|,F,n,|,?,T,?,T/,2,n,?,其中,T,为,f(t),的周期，,F,n,为,f(t),的傅里叶级数系数,说明周期信号的总平均功率等于各个频率分量功率的总和,3.,信号的能量谱

11、与功率谱,设能量以,E,表示，功率以,P,表示，如果在频,域内有,?,1,?,E,?,E,(,?,)d,?,?,?,E,(,f,)d,f,?,?,?,2,?,?,?,1,P,?,P,(,?,)d,?,?,P,(,f,)d,f,?,?,2,?,?,?,则称,E(,?,),为能量谱密度，单位为,J/Hz,，简,称,能量谱,；,称,P(,?,),为功率谱密度，单位为,W/Hz,，简称,功率谱,3.,信号的能量谱与功率谱,对于能量信号,f(t),，其能量谱密度,E(,?,),：,E(,?,),=|,F(,?,),|,2,是,?,的一个实偶函数,对于功率信号,对,f(t),只保留,|,t,|,?,T/2

12、,部,分，被保留的部分称,为截短函数,f,T,(t),由于,T,为有限值，所,以,f,T,(t),只具有有限的,能量,3.,信号的能量谱与功率谱,对于功率信号,f,T,(t),的能量为,?,1,?,2,2,E,T,?,?,|,f,T,(,t,),|,d,t,?,F,T,(,?,),d,?,?,?,?,2,?,f(t),的平均功率为,2,T/,2,?,F,T,(,?,),1,1,2,P,?,lim,?,f,(,t,),d,t,?,lim,d,?,?,T,?,?,T,?,T/,2,?,?,T,?,?,2,?,T,T,?,时，,|,F,T,(,?,),|,2,/T,趋于一个极限值,功率,谱密度,2,

13、F,T,(,?,),P,?,?,?,?,lim,T,?,?,T,3.,信号的能量谱与功率谱,对于功率信号,则平均功率,P,可以表示为,1,T/,2,2,P,?,f,(,t,),?,lim,?,f,(,t,)d,t,T,?,T,?,T/,2,?,1,?,?,P(,?,)d,?,?,?,P,(,f,)d,f,?,?,2,?,?,2,由于,P(,?,)=P(-,?,),，所以功率谱密度是,?,的,偶函数,P,?,?,P,(,f,)d,f,?,2,?,P,(,f,)d,f,?,0,?,?,二、确定信号的分析,4.,波形的自相关与互相关,相关是在时域中描述信号特征的一种重要,方法,通常用相关函数衡量波形

14、之间的关联或相,似程度,二、确定信号的分析,4.,波形的自相关与互相关,设,f,1,(t),和,f,2,(t),为两个能量信号，其互相关函数,?,R,12,(,t,),?,?,f,1,(,?,),f,2,(,t,?,?,),d,?,?,?,式中,t,表示时移，,?,为虚设变量,若,f,1,(t),和,f,2,(t),为两个功率信号，其互相关函数,1,T,/,2,R,12,(,t,),?,lim,?,f,1,(,?,),f,2,(,t,?,?,),d,?,T,?,?,T,?,T,/,2,式中,T,为时间平均的区间,4.,波形的自相关与互相关,若,f,1,(t),和,f,2,(t),是周期为,T,

15、的周期信号，其互相,关函数,T,/,2,1,R,12,(,t,),?,?,f,1,(,?,),f,2,(,t,?,?,),d,?,?,T,/,2,T,若两个信号的形式完全相同，其自相关函,数,R(t),?,?,?,对于能量信号,对于功率信号,对于周期信号,R,(,t,),?,?,?,?,?,f,(,?,),f,(,t,?,?,),d,?,1,R,(,t,),?,lim,T,?,?,T,?,T,/,2,?,T,/,2,f,(,?,),f,(,t,?,?,),d,?,1,R,(,t,),?,T,?,T,/,2,?,T,/,2,f,(,?,),f,(,t,?,?,)d,?,?,互相关函数的重要特性,

16、若对所有,t,，,R,12,(t)=0,，则两个信号互不相关,当,t,?,0,时，,互相关函数表达式中,f,1,(t),与,f,2,(t),的前后次序不同，结果不同,R,12,（,t,）,R,21,(,t,),R,12,（,t,）,=,R,21,(-,t,),当,t=0,时，,R,12,(0),表示,f,1,(t),、,f,2,(t),在无时差时,的相关性,?,对于能量信号,R,12,(0),?,R,21,(0),?,?,?,?,f,1,(,?,),f,2,(,?,)d,?,1,T,/,2,f,1,(,?,),f,2,(,?,)d,?,?,对于功率信号,R,12,(0),?,lim,?,T,?

17、,T,?,T,/,2,二、确定信号的分析,4.,波形的自相关与互相关,实际使用时，常用归一化相关函数,?,12,来衡量,两个函数相似的程度,|,?,12,|,?,1,若,?,12,=0,，表明,f,1,(t),与,f,2,(t),完全不相似,若,?,12,=1,，表明,f,1,(t),与,f,2,(t),完全相似,若,?,12,=-1,，表明,f,1,(t),与,f,2,(t),完全相反的相似,?,自相关函数的重要特性,自相关函数是一个偶函数，即,R(t)=R(-t),自相关函数在原点的数值,R(0),为最大，即,R(0),?,|R(t)|,R(0),表示能量信号的能量,R,(0),?,?,|

18、,f,(,?,),|,d,?,?,E,?,?,2,或功率信号的功率,1,T,/,2,2,R,(0),?,lim,?,|,f,(,?,),|,d,?,?,P,T,?,T,?,T,/,2,?,相关函数与谱密度的关系,能量信号,f,1,(t),、,f,2,(t),，且有,f,1,(t),F,1,(,?,),，,f,2,(t)F,2,(,?,),，则有,R,12,(t)F,2,(,?,)F,1,(-,?,),R(t)E(,?,),对,功率信号,有,互能量谱密度,R(t)P(,?,),5.,卷积,卷积定义,f,1,(,t,),?,f,2,(,t,),?,?,?,?,?,f,1,(,?,),f,2,(,t

19、,?,?,),d,?,卷积定理,?,时域卷积定理,f,2,(,t,),?,F,2,(,?,),则有,f,1,(,t,),?,F,1,(,?,),，,令,f,1,(,t,),?,f,2,(,t,),?,F,1,(,?,),F,2,(,?,),?,频域卷积定理,f,1,(,t,),?,F,令,1,(,?,),，,f,2,(,t,),?,F,2,(,?,),则有,1,f,1,(,t,),f,2,(,t,),?,F,1,(,?,),?,F,2,(,?,),2,6.,希尔伯特变换,希尔伯特变换定义,f,(,?,),d,?,?,希尔伯特变换,?,?,t,?,?,?,?,f,1,(,?,),?,1,?,f,

20、(,t,),?,H,f,(,t,),?,?,d,?,?,希尔伯特反变换,?,?,t,?,?,?,(,t,),为希尔伯特变换对。,f,(,t,),和,f,称,1,?,f,(,t,),?,H,f,(,t,),?,?,?,?,希尔伯特变换性质,?,1,?,?,H,f,(,t,),?,f,(,t,),?,?,?,?,?,?,(,t,),?,?,f,(,t,),H,f,(,t,),?,f,?,?,?,?,f,(,t,),d,t,?,2,?,?,?,?,?,2,(,t,),d,t,f,?,?,?,?,?,(,t,),d,t,?,0,f,(,t,),f,7.,解析信号,解析信号定义,f,(,t,),，则称复

21、信号,z,(,t,),?,f,(,t,),?,j,f,?,(,t,),令有实信号,f,(,t,),的解析信号。,为,解析信号的性质,?,f,(,t,),?,Re,z,(,t,),1,*,?,f,(,t,),?,z,(,t,),?,z,(,t,),2,?,令,f,(,t,),?,F,(,?,),z,(,t,),?,Z,(,?,),，有,?,2,F,(,?,),?,?,0,Z,(,?,),?,?,?,?,0,?,0,1,?,1,?,j,?,t,j,?,t,z,(,t,),?,2,F,(,?,),e,d,?,?,F,(,?,),e,d,?,2,0,0,?,?,?,解析信号的能量等于实信号能量的两倍,

22、2,?,?,?,(,t,),f,(,t,),?,j,f,?,(,t,),d,t,E,Z,?,z,(,t,),d,t,?,f,(,t,),?,j,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,?,f,(,t,),?,f,(,t,),d,t,?,2,2,?,?,?,?,f,(,t,),d,t,?,2,E,f,2,三、随机信号的分析,随机信号,：信号参数具有随机性的信号。,随机噪声,：凡是不能预测的噪声统称,，简,称噪声。,随机信号和噪声都不能表示成一个确定的时,间函数，须用统计学中随机过程理论来描述。,随机过程：,是无穷多个随机函数的总体，其,中每一个随机函数叫做随机过程的一次实现,或样本函

23、数。,三、随机信号的分析,1.,概率及随机变量,概率：,从统计的角度预测事件发生的可能性。,?,n,A,?,P,A,?,lim,?,?,n,?,?,n,?,一个事件的概率是小于或等于,1,的非负数；,对于必然事件，,P,A,=1,；不可能事件，,P,A,=0,。,若实验有多个结果发生，且它们互相排斥，则有,?,P,(,A,),?,1,k,k,?,1,N,?,概率,联合概率,：事件,A,和事件,B,同时发生的概率，,记为,P(A,B),。,条件概率,：在事件,A,已发生的条件下，事件,B,发生的概率，记为,P(B|A),。,P,(,A,B,),P,(,B,|,A,),?,P,(,A,),或,P,

24、(,A,B,),?,P,(,B,|,A,),P,(,A,),P,(,A,B,),?,P,(,A,|,B,),P,(,B,),也可以表示为,?,概率,贝叶斯公式,：当,P(A|B),、,P(A),和,P(B),给定，,且,P(A),?,0,时,P,(,B,|,A,),?,P,(,A,|,B,),P,(,B,),P,(,A,),若事件,A,和事件,B,相互独立，有,P(A,B)=P(A),P(B),P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),?,随机变量,随机变量,：变量的取值是随机的。,概率分布函数,F,X,(x),：是,X,的取值小于或,等于,x,的概率，即,F,X,(x)=P(X,?,x

25、),(2-69),?,概率分布函数特性：,（,1,）,0,?,F,X,(x),?,1,（,2,）,F,X,(-,?,)=0,，,F,X,(,?,)=1,（,3,）,F,X,(x),是非降函数，即当,x,2,x,1,时，,恒有,F,X,(x,2,),?,F,X,(x,1,),?,?,随机变量,概率密度函数,P,X,(x),：是概率分布函数的导,数，即,d,F,x,(,x,),(2-70),p,x,(,x,),?,d,x,概率密度函数,P,X,(x),用曲线的形式表示，称,为概率密度曲线。,x,2,P,(,x,1,?,X,?,x,2,),?,?,p,X,(,x,),d,x,x,1,?,随机变量,概

26、率密度函数,P,X,(x),的,性质,：,1.,p,x,(,x,),?,0,对,x,的一切值而言,?,2.,?,p,x,(,x,)d,x,=1,?,3.,P,(,x,1,),?,?,p,x,(,x,)d,x,?,F,x,(,x,1,),?,x,1,4.,P,(,x,1,?,X,?,x,2,),?,P,(,X,?,x,2,),?,P,(,X,?,x,1,),?,F,x,(,x,2,),?,F,x,(,x,1,),?,?,p,x,(,x,)d,x,x,1,x,2,?,随机变量,联合概率分布函数,F,X,Y,(x,y),：,设二维随机变量,(X,Y),的,F,X,Y,(x,y),是,X,?,x,和,

27、Y,?,y,的,联合概率，即,F,X,Y,(,x,y,),?,P,(,X,?,x,Y,?,y,),联合概率密度函数,P,X,Y,(x,y),：,假设联合分布函数,F,X,Y,(x,y),是处处连续的，则其偏,导存在且处处连续，有,p,X,Y,(,x,y,),?,?,F,X,Y,(,x,y,),?,x,?,y,2,?,随机变量,联合概率密度函数,P,X,Y,(x,y),：,若,P,X,Y,(x,y),已知，可导出其中任何一个一维,随机变量的概率密度函数：,?,p,X,(,x,),?,?,p,X,Y,(,x,y,)d,y,?,?,p,Y,(,y,),?,?,p,X,Y,(,x,y,)d,x,?,?

28、,随机变量,联合概率密度函数,P,X,Y,(x,y),：,一般情况下,，,P,X,Y,(x,y),可以表示为,P,X,Y,(x,y)=P,X,(x)P,Y,(y|x)=P,Y,(y)P,X,(x|y),其中，,P,X,(x|y),和,P,Y,(y|x),是条件概率密度,若,X,Y,相互独立,，则,P,Y,(y|x)=P,Y,(y),P,X,(x|y)=P,X,(x),联合概率密度函数,P,X,Y,(x,y),：,P,X,Y,(x,y)=P,X,(x),P,Y,(y),边缘概率密度,?,随机变量的数字特征,数学期望,定义,：是随机变量,X,的统计平均值，记作,a,X,物理意义,：反映了,X,取值

29、的集中位置,a,X,?,E,X,?,?,xp,x,(,x,)d,x,?,若,g(x),是随机变量,X,的函数，则,g(x),的数学期,望是,?,?,E,g,(,x,),?,?,g,(,x,),p,x,(,x,)d,x,?,例题和习题,?,测量某随机电压，测得为,3V,的概率为,2/5,，,为,3.2V,的概率为,2/5,，为,3.1V,的概率为,1/5,，,求该随机电压的数学期望。,解：对于离散型随机变量,a,X,=,x,i,P,i,=3*2/5+3.2*2/5+3.1*1/5=3.1V,?,随机变量的数字特征,方差,定义,：是随机变量,X,与它的数学期望,a,X,之差,的平方的数学期望，记作

30、,DX,物理意义,：表示随机变量取值偏离中心值的,程度。,D,X,?,E,(,X,?,a,X,),?,?,2,?,?,?,?,?,(,X,?,a,X,),2,p,X,(,x,),d,x,?,随机变量的数字特征,协方差,是用来描述二维随机变量,X,和,Y,之间相关性,强弱的数字特征。,C,XY,?,E,?,(,X,?,E,X,)(,Y,?,E,Y,),?,设,EX=a,X,，,EY=a,Y,，,则有,C,XY,?,E,?,(,XY,),?,a,X,a,Y,?,2.,随机过程及其统计特性,?,随机过程的概念,在时间上不断出现的随机变量集合或,随机的时间函数叫做,。,?,?,?,随机过程兼有随机变量

31、和时间函数的特点,随机变量的样本空间是一个实数集合,随机过程的样本空间是一个时间函数集合,?,随机过程的统计特性,数学期望,设一随机过程,X(t),，在某指定时刻,t,1,上为,X(t,1,),是一个随机变量。,X(t,1,),的数学期望为,?,E,?,X,(,t,1,),?,?,?,x,1,p,1,(,x,1,;,t,1,)d,x,1,?,随机过程,X(t),的数学期望,a(t),为,?,a,(,t,),?,E,?,X,(,t,),?,?,?,xp,1,(,x,;,t,),d,x,?,?,a(t),反映了随机过程瞬时值的数学期望随时间而变,化的规律，是随机过程各个样本的统计平均函数。,?,随

32、机过程的统计特性,数学期望,a(t),反映了随机过程瞬时值的数学期望随时间而变,化的规律，是随机过程各个样本的统计平均函数。,?,随机过程的统计特性,方差,?,(,t,),?,D,?,X,(,t,),?,?,E,?,X,(,t,),?,E,(,X,(,t,),?,2,?,2,?,2,?,E,?,X,(,t,),?,a,(,t,),?,?,2,?,?,?,?,?,x,?,a,(,t,),?,p,1,(,x,;,t,),d,x,方差是时间,t,的函数，描述随机过程,X(t),在任意瞬,间,t,偏离其数学期望的程度,?,随机过程的统计特性,?,随机过程的统计特性,自协方差函数,C,X,(,t,1,t

33、,2,),?,E,?,?,X,(,t,),?,a,(,t,),?,X,(,t,),?,a,(,t,),?,?,1,1,2,2,?,?,?,?,?,?,?,x,?,1,?,a,(,t,1,),?,x,2,?,a,(,t,2,),?,p,2,(,x,1,x,2,;,t,1,t,2,)d,x,1,d,x,2,其中，,t,1,t,2,任取的两个瞬间,X(t,1,),，,X(t,2,),随机过程,X(t),在两个瞬间的取值,a(t,1,),，,a(t,2,),分别为,X(t,1,),、,X(t,2,),的数学期望,P,2,(x,1,x,2,;t,1,t,2,),随机过程的二维概率密度函数,自协方差函数反

34、映了,X(t),在两个瞬间取值的相关程度,?,随机过程的统计特性,自相关函数,自相关函数也用来反映了,X(t),在两个瞬间取值的相,关程度,R,X,(,t,1,t,2,),?,E,?,X,(,t,1,),X,(,t,2,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,1,x,2,p,2,(,x,1,x,2,;,t,1,t,2,),d,x,1,d,x,2,当数学期望,a(t)=0,时，,R,X,(t,1,t,2,)=C,X,(t,1,t,2,),3.,平稳随机过程,?,平稳随机过程概念,设,X(t,1,),X(t,2,),X(t,n,),是随机过程,X(t),的随机变量，它们是在,t,1,t,2

35、,t,n,时刻所选取的样本，样本的取值分别用,x,1,x,2,x,n,表示，,其概率密度函数为,P,n,(x,1,x,2,x,n,;t,1,t,2,t,n,),。若对,X(t),在,(t,i,+,?,),时刻取样，得到一组新的随机变量,X(t,1,+,?,),X(t,2,+,?,),X(t,n,+,?,),，,其概率密度函数记作,P,n,(x,1,x,2,x,n,;t,1,+,?,t,2,+,?,t,n,+,?,),。无论,n,和,?,取何值，都有,P,n,(x,1,x,2,x,n,;t,1,t,2,t,n,)=P,n,(x,1,x,2,x,n,;t,1,+,?,t,2,+,?,t,n,+,?

36、,),则称,X(t),为,平稳随机过程（狭义平稳）。,可见，,平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变,?,平稳随机过程,概率密度函数,?,一维概率密度函数与时间无关,P,1,(x;t,)=P,1,(x),?,二维概率密度函数值和时间间隔,?,=t,2,-t,1,有关,P,2,(x,1,x,2,;t,1,t,2,)=P,2,(x,1,x,2,;,?,),数学期望和方差,是与时间,t,无关的常数,a,(,t,),?,E,X,(,t,),?,?,xp,1,(,x,)d,x,?,a,?,?,?,(,t,),?,D,X,(,t,),?,E,?,X,(,t,),?,E,(,X,(,t,),2,2,?,2

37、,?,?,(,x,?,a,),p,1,(,x,)d,x,?,?,?,?,2,?,平稳随机过程,自相关函数,是时间间隔,?,的函数，与所选择的时间起点无关,R,(,t,1,t,2,),?,E,X,(,t,1,),X,(,t,2,),?,?,?,?,?,x,1,x,2,p,2,(,x,1,x,2,;,?,)d,x,1,d,x,2,?,R,(,?,),?,?,R,(,?,),?,E,?,X,(,t,),X,(,t,?,?,),?,有,描述了平稳随机过程在相距为,?,的两个瞬间的相关程度。,平稳随机过程的自相关函数性质,:,（,1,）,R(,?,)=R(-,?,),（,2,）,R(0)=EX,2,(t

38、)=S,（,3,）,R(0),?,|R(,?,)|,?,各态历经性与时间平均值,获得随机过程的数字特征,在任取的某固定瞬间对随机过程的所有样,本取统计平均值；例,a(t),?,(t),R(t,t+,?,),?,对随机过程的一个样本函数取对应的时间,平均值,?,?,各态历经性与时间平均值,设,x(t),是随机过程的一个样本，其时间平均值,1,a,?,a,?,x,(,t,),?,lim,T,?,?,T,1,?,?,?,?,lim,T,?,?,T,2,2,?,T,/,2,?,T,/,2,x,(,t,),d,t,时间平均的方差,?,T,/,2,?,T,/,2,?,x,(,t,),?,a,?,2,d,t

39、,时间平均的自相关函数,1,T,/,2,R,(,?,),?,R,(,?,),?,lim,?,x,(,t,),x,(,t,?,?,),d,t,T,?,?,T,?,T,/,2,?,各态历经性与时间平均值,上式中，若,X(t),是信号电压（或电流），则,a,表示信,号的样本,x(t),的直流分量，,?,2,表示,x(t),消耗在,1,欧姆电,阻上的交流平均功率,具有以下性质的平稳随机过程称为具有各态历经性的,随机过程,?,a=a,?,?,2=,?,2,?,R(,?,)=R(,?,),即平稳随机过程的各个统计平均值等于它的任何,一个样本的相应时间平均值,?,各态历经性与时间平均值,“各态历经”的含义,

40、该随机过程的任意样本函数都经历了随机过程,可能有的状态，因此，对它的任何一个样本函,数取时间平均值就相当于同时对所有的样本函,数取统计平均。,通信系统中所遇到的信号和噪声都是各态历经,的平稳随机过程,?,平稳随机过程的功率谱密度,随机过程,X(t),的功率谱密度为,?,X,T,(,?,),P,X,(,?,),?,E,?,P,x,(,?,),?,?,E,?,lim,T,?,?,T,?,?,2,2,?,E,X,T,(,?,),?,?,lim,T,?,?,T,?,?,?,?,随机过程,X(t),的平均功率为,1,P,?,2,?,?,?,?,?,P,X,(,?,),d,?,平稳随机过程的自相关函数和功

41、率谱密度也服从维纳,-,辛钦关系，即它们互为傅里叶变换对。,R(,?,),P,X,(,?,),P,X,(,?,),?,1,R,(,?,),?,2,?,?,?,?,?,?,?,?,R,(,?,),e,?,j,?,?,j,?,?,d,?,?,F,?,R,(,?,),?,d,?,?,F,?,1,?,P,X,(,?,),e,?,P,X,(,?,),?,例题和习题,?,求乘积,z(t)=x(t)y(t),的自相关函数，已知,x(t),与,y(t),是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关,函数分别为,R,X,(,?,),和,R,Y,(,?,),。,解：由于,x(t),与,y(t),统计独立，有,R,Z,

42、(t,t+,?,),=E,z(t)z(t+,?,),=E,x(t)y(t)x(t+,?,)y(t+,?,),=E,x(t)x(t+,?,),?,E,y(t)y(t+,?,),=,R,X,(,?,)R,Y,(,?,),四、高斯随机过程,?,?,高斯过程又称为正态随机过程,是指,n,维分布都服从高斯分布的随机过程。,高斯过程具有以下性质：,广义平稳和狭义平稳等价,高斯过程在不同瞬间的值，互不相关和相互,独立等价,一高斯过程通过线性系统，其输出也是一个,高斯过程,四、高斯随机过程,?,若随机变量,X(t),的概率密度函数表示为：,则称,X(t),为服从正态分布的随机变量，式中,a,和,?,为,2,?

43、,1,(,x,?,a,),?,p,(,x,),?,exp,?,?,?,2,2,?,?,2,?,?,?,常数，,a,为均值，,?,2,为方差。,?,p(x),具有以下性质：,p(x),对称于直线,x=a,p(x),在,（,-,?,a,）,内单调上升，,f,(,x,),在,(a,?,),内单调下降，且在,点,a,处达到极值。,当,x,?,时,，,p(x)0,o,x,a,?,p,(,x,)d,x,?,1,?,?,正态分布的概率密度函数,a,?,1,且,?,?,p,(,x,)d,x,?,?,a,p,(,x,)d,x,?,2,?,不变时，对于不同的,a,，表现为,p(x),图形的左右平移；,当,a,不变

44、时，对于不同的,?,，,表现为,p(x),图形随,?,的减小,而变高和变窄,1,2,?,?,四、高斯随机过程,?,当,a=0,?,=1,时，称为标准化的正态分布，有,2,?,1,x,?,p,(,x,),?,exp,?,?,?,2,?,?,2,?,?,计算高斯随机变量,X,大于某常数,C,的概率,P,(,X,?,C,),?,?,?,C,2,?,(,x,?,a,),?,1,exp,?,?,d,x,2,?,2,?,2,?,?,?,?,?,引入,Q,函数,Q,(,?,),?,?,?,?,1,?,y,2,/,2,e,d,y,2,?,Q(,?,),是标准高斯概率密度函数曲线在区间（,?,?,）,所围的面积

45、。,Q(,?,),是,?,的单调减函数，它的值随,?,的增大而减小，,且有以下结论,?,?,?,?,Q(-,?,)=1,Q(0)=1/2,Q(,?,)=0,Q(-,?,)=1-Q(,?,),?,0,四、高斯随机过程,?,利用,Q(,?,),函数表，可以方便的求得高斯随机变量大于,某个常数或位于某区间的概率,C,?,a,?,?,P,(,X,?,C,),?,Q,?,?,?,?,?,1,1,Q,2,?,?,erf,c,(,?,),?,?,1,-,erf,(,?,),?,2,2,2,?,?,y,2,其中：,erf,为误差函数,erf,(,?,),?,e,d,y,0,?,?,?,?,erfc,为互补误差

46、函数,erf,c(,?,),?,1,?,erf,(,?,),?,2,?,?,?,?,e,?,y,2,d,y,?,高斯白噪声,定义,1,e,?,(,x,?,a,),/,2,?,?,一维概率密度函数为，,p,(,x,),?,2,?,?,且其功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即,n,0,(,?,?,f,?,?,),P,n,(,f,),?,2,白噪声的功率谱密度及其自相关函数如下图：,2,2,?,特点说明,由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷,大，所以，真正“白”的噪声是不存在的，,它只是构造的一种理想化的噪声形式。,实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率,范围远远大于通信系统的工作频带，我们就

47、,可以把它视为白噪声。,如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，,则称之为高斯白噪声。,高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变,量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计,独立的。,五、平稳随机过程通过线性系统,假定输入,X(t),是一个广义平稳随机过程，通过线性系统，,输出将是随机过程,Y(t),，有,X(t),线性系统,?,Y(t),Y,(,t,),?,X,(,t,)*,h,(,t,),?,?,h,(,?,),X,(,t,?,?,)d,?,?,即输出随机过程等于输入随机过程与系统单位冲激响应的卷积,五、平稳随机过程通过线性系统,?,输出随机过程的,数学期望,?,?,E,?,Y,(,t,),?,?

48、,?,h,(,?,),E,?,X,(,t,),?,d,?,?,E,?,X,(,t,),?,?,h,(,?,)d,?,?,?,?,E,?,X,(,t,),?,?,H,(0),?,a,X,?,H,(0),其中，,a,X,是,X(t),的数学期望，,H(0),是线性系统在,?,=0,时的传输特性，即直流增,益,五、平稳随机过程通过线性系统,?,输出随机过程的,自相关函数,R,Y,(,t,1,t,2,),?,E,?,Y,(,t,1,),Y,(,t,2,),?,?,?,其中,?,=t,2,-t,1,R,Y,(,?,),是时间间隔,?,的函数，与时间的起点无关,?,?,?,?,?,h,(,u,),h,(,

49、v,),R,X,(,?,?,u,?,v,)d,u,d,v,?,R,Y,(,?,),五、平稳随机过程通过线性系统,?,输出随机过程的,功率谱密度,P,R,Y,(,?,),=,Y,(,?,),?,f,可推导得,?,?,?,?,R,Y,(,?,),e,?,j,?,d,?,P,Y,(,?,),?,H,(,?,),H,(,?,),P,X,(,?,),?,H,(,?,),P,X,(,?,),2,其中，,H*(,?,),-,系统传递函数,H(,?,),的复共轭,P,X,(,?,),-,输入随机过程,X(t),的,功率谱密度,五、平稳随机过程通过线性系统,E,Y(t),=,a,X,?,H,(0),R,Y,(,

50、t,1,t,2,)=,R,Y,(,?,),?,=,t,2,-t,1,P,Y,(,?,)=|,H,(,?,)|,2,P,X,(,?,),?,显然，若线性的系统,H,(,?,),和输入随机过程的数,字特征、功率谱密度给定，利用这些关系就可,以确定输出随机过程的数字特征和功率谱密度。,?,平稳随机过程通过乘法器,乘法器的输出,X,(,t,),，另一个输,?,设某乘法器的一个输入为随机过程,Y,(,t,),?,AX,(,t,),cos,?,c,t,，,入为载波,A,cos,?,c,t,，乘法器的输出,其自相关函数为：,R,Y,(,t,t,?,?,),?,R,Y,(,?,),?,E,Y,(,t,),Y,