连续函数的算数运算课件.ppt

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1、,一、连续函数的算数运算,第十节,三、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与性质,第一章,四、闭区间上连续函数的性质,*五、一致连续性,二、反函数与复合函数的连续性,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的算术运算,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数与复合函数的

2、连续性,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.若,函数,则有,在点,处连续，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,例2,解,(P71例1),(P71例2),例3,解:,(P71例3),法一,法二,原式,说明:若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、初等函数的连续性,1.基本初等函数在定义域内连续,2.连续函数经四则运算仍连续,3.连续函数的复合

3、函数连续,一切初等函数在定义区间内连续(举例见P72),例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.幂指函数,例5,解:,(P72例5),例6,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,四、闭区间上连续函数的性质,定理5.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间,即:设,则,使,上一定有最大值和最小值.,或在闭区间内有间断,(证明略),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P73定理7),例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小

4、值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6.,由定理 5 可知有,证:设,上有界.,定理7.(零点定理),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,(P73定理8),(P73定理9),零点.,定理8.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P73定理10),例7.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在

5、一点,使,即,在区间,内至少有,小结 目录 上页 下页 返回 结束,(P74 例6),例8.,且,证明:,证:,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,使,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P74例7),设,作辅助函数,内容小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,1.初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,初等函数在定义区间内连续,2.闭区间上连续函数的性质,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4).当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,提示:,“反之”不成立.,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,2.设,一点,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业P75 1,2(3),(5),(6);3;8,(P76题9),备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,