现代数学概论.ppt
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1、现代数学概论,第一章 现代数学的开始(1900-1918),一、19世纪末年的世界数学二、世纪之交的法国数学领袖庞加莱三、光辉的一页希尔伯特的23个数学问题四、积分学的革命勒贝格和他的积分论五、逻辑主义、直觉主义、形式主义:数学哲学大论战六、爱因斯坦相对论和黎曼几何量子力学七、英国分析学派八、传奇的印度数学家拉马努金九、数理统计的形成十、代数、拓扑、泛函:新的数学支柱学科,第二章 格丁根学派的黄金时期(1918-1933),十一、苏联数学学派的形成十二、波兰学派的崛起十三、格丁根学派的兴衰十四、总揽全局的大家外尔十五、才冠群雄的女数学家艾米诺特十六、年轻人的事业:布尔巴基学派的成长十七、拓扑学
2、的发展,从欧洲到美国十八、代数几何:意大利学派,扎里斯基十九、远东的数学:中国和日本,第五章、1980年代以来的一些数学人物和事件(1980-2000),46、数学问题和数学猜想47、人类智慧的象征:证明费马达定理,第一章 现代数学的开始(1900-1918)一、19世纪末年的世界数学,17世纪的英国资产阶级革命,把查理一世国王送上断头台,牛顿(1642-1727)的微积分思想随即诞生在英伦三岛上。资本主义生产方式带来了18世纪法国大革命,数学的中心也移到了法国。拉格朗日(1749-1827)、拉普拉斯(1749-1827)、勒让德(1752-1833)、蒙日(1746-1818)都是一代数学
3、权威。1794年诞生的法国综合技术学校,成为19世纪初的世界数学中心。傅立叶(1768-1830)的调和分析,柯西(1789-1857)的分析学是其中的代表。他们的影响一直持续到今天。进入19世纪中叶,德国的德丁根大学崛起,数学王子高斯(1777-1855)称雄世界。只活了40岁的黎曼(1826-1866)为人类留下了无数的数学珍品。法国、德国在数学上争雄的局面贯穿了整个19世纪。清代学者有“江山代有人才出,各领风骚数百年”的诗句。在近代数学史上,领先数百年是不可能的,夺取几十年的霸主地位已经很不容易了。人们经常提到19世纪上半叶的数学思想革命。伽罗瓦(1811-1832)的群论,罗巴切夫斯基
4、(1792-1856)的非欧几何学,柯西的复变函数论,为人们打开了全新的天地。如果说在此以前的数学还或多或少依赖于物理学和工程学,那么这时的数学已经完全独立出来,数学的研究对象更加抽象化了,数学的意境充满了文化创造精神。继复数获得广泛承认之后,1853年哈密顿(1805-1865)发现四元数。“数学是人类思想的自由创造”的观念开始传播,纯粹数学和应用数学的分野逐渐显露。,另一方面,数学在认识世界的征程中不断取得伟大成就。1846年,英国的亚当斯(1819-1892)和法国的乐威耶(1811-1877)分别独立地用数学方法计算出海王星的轨道,预测了这颗行星的发现。高斯在大地测量中发展了微分几何学
5、。傅立叶分析推动了热力学以及震动理论。更重要的是英国强大的应用数学传统继续大放异彩。哈密顿的最小作用原理给力学以新的面貌,而麦克斯韦(1831-1879)于1864年发表的电磁学方程,更是人类运用数学研究自然归律的又一里程碑。进入19世纪后期,德国的国家实力陡增。在1870-1871年的普(德)法战争中,巴黎陷落,拿破仑三世被俘。在数学上,德国提出了明确的目标,要谋求世界领先地位。执行这一使命的是克莱因(1849-1925)。克莱因出身于德国中产阶级家庭,1865年进入波恩大学,受到著名学者普吕克(1801-1869)的影响,开始研究几何学。1869年来到格丁根大学工作,并周游欧洲诸国。187
6、2年,到埃尔朗根大学就任正教授,并在大学评议会上发表新近几何学研究的比较考察的演讲,用运动群下的不变量来对几何学进行分类,这就是著名的埃尔朗根纲领。这一几何学上划时代的工作,在此后的50年内一直处于几何研究的中心地位。,1886年春,克莱因就任格丁根大学教授。虽然继续从事数学研究,但更多进行行政组织、数学教育、国际交流等方面的活动。他的目标是把格丁根大学建成世界第一流的数学中心。10年之后,努力开始成功。1895年初,大数学家希尔伯特(1862-1943)来到格丁根,克莱因本人则被授予枢密顾问官职务,格丁根大学的学术地位陡然升高。1902年,闵克夫斯基(1864-1909)也来到这里,这三驾马
7、车,终于把格丁根大学建成20世纪初期的世界数学中心。其中,克莱因是当然的领袖。克莱因晚年关注应用数学和数学教育,开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革的先例,影响深远。19世纪后期,除了学术地位不断上升的格丁根大学之外,柏林大学是当然的数学中心。先是狄利克雷(1805-1859)在该校工作了27年,赢得了很高的数学声誉。1854年,他去格丁格大学接替去世的高斯。柏林大学的数学教席,则由库默尔(1810-18930)、魏尔斯特拉斯(1815-1897)和克罗内克(1823-1891)三位名家先后承担。库摩尔长期担任柏林大学的校长,以“理想数”的工作成为现代代数数论的先躯。克罗内克在代数学、
8、数论、椭圆函数论方面成就卓著,并有非常广泛的社会和学术联系,被称为德国数学的无冕之王。不过,对后世影响更大的是魏尔斯特拉斯。,魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭,父亲叫他到波恩大学攻读法学博士学位。由于不喜欢,他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学,通过中学教师资格的考试以后,曾任中学教师达15年之久,期间他发表椭圆函数论的重要文章,被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授,次年到柏林大学任副教授,1864年升任教授。1873年出任柏林大学校长,成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉,不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者,更主要的是他的学术风格
9、。魏尔斯特拉斯是19世纪末分析严格化进程的代表人物,反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他首先给出了严密的实数理论,第一个明确使用-语言,引进有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念,特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理。这一切,对今天的数学系大学生而言,似乎是理所当然的事。-语言的精髓已经渗入现代数学的每一根血管,牵动每一根神经。追根溯源,魏尔斯特拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为:“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力,为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念,他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷
10、小等的各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难今天,分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金(1831-1916)。他以有理数的“分割”定义实数,对实数的连续性给出了严密而直观的叙述。同时,戴德金也奠定了的代数数论的系统理论。不过,戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授,在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。,魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭,父亲叫他到波恩大学攻读法学博士学位。由于不喜欢,他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学,通过中学教师资格的考试以后,曾任中学教师达15年之久
11、,期间他发表椭圆函数论的重要文章,被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授,次年到柏林大学任副教授,1864年升任教授。1873年出任柏林大学校长,成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉,不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者,更主要的是他的学术风格。魏尔斯特拉斯是19世纪末分析严格化进程的代表人物,反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他首先给出了严密的实数理论,第一个明确使用-语言,引进有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念,特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理。这一切,对今天的数学系大学生而言,似乎是理所当然的事。-语
12、言的精髓已经渗入现代数学的每一根血管,牵动每一根神经。追根溯源,魏尔斯特拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为:“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力,为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念,他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷小等的各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难今天,分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金(1831-1916)。他以有理数的“分割”定义实数,对实数的连续性给出了严密而直观的叙述。同时,戴德
13、金也奠定了的代数数论的系统理论。不过,戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授,在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。,1926年,希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵,人类理智活动最精美的成果”。苏联的柯尔莫哥洛夫(1903-1987)则说:“康托尔的不朽功绩,在他敢于向无穷大冒险挺进,他对似是而非的论点、流行的成见、哲学的教条等作了长期的不懈的斗争。因此,他成为一门学科的创造者,而这门学科已成为整个数学的基础。”在德国学派影响之下,挪威数学家索福斯李(1842-1899)创立了李群和李代数理论。20世纪,几乎所有的数学学科都和李群发生联系。李曾在莱比锡大学任教授,对欧洲各国的数
14、学产生了很大的影响。自牛顿以来,英国数学一向偏重应用,19世纪仍然保持这一传统。但在19世纪的下半叶,纯粹数学出现了两颗明珠:西尔维斯特(1814-1897)和凯莱(1821-1895)。他们两人都是攻读数学出身,于19世纪50年代进入法学界,担任过多年的律师,并因志趣相投成为终身好友。此后又双双回到数学研究,共同发展代数不变量理论,特别是线性代数中的行列式和矩阵理论,这些工作在20世纪变得十分重要而普及。包括哈密顿在内的四元素工作在内,他们在代数上的贡献,形成了英国纯粹数学的一次高潮。值得一提的是西尔维斯特是美国纯粹数学的奠基人之一,他在美国约翰霍普金斯大学任教授多年,创办了美国第一份数学杂
15、志:美国数学杂志。凯莱也曾到该校讲学。19世纪的俄国,开始有了自己的数学研究。罗巴切夫斯基的工作自然引起国际瞩目,切比雪夫(1821-1894)在概率论上的研究也别开生面,但在整体实力上无法和西欧各国相比。至于东方的印度、日本和中国,数学水平落后于西方大约200年,现代数学研究则是20世纪的事了。19世纪下半叶,能和德国数学抗衡的只有以庞加莱为代表的法国数学。,二、世纪之交的法国数学领袖庞加莱,19世纪前期的法国,柯西是无可争辩的数学领袖。1857年柯西去世后,世界数学中心渐渐向德国转移。数学天平逐渐向德国倾斜是和19世纪末的德国社会经济发展相关的。然而,在世纪之交,世界数学界仍然是法德争雄的
16、格局。法国数学仍然有许多骄人的成绩,埃尔米特(1822-1901)、若二档(1838-1922)以及达布(1842-1917)等是主要的代表人物。待到庞加莱(1854-1912)出现在法国数坛,就很快成为世界性的领袖人物。巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校仍然是世界数学家的摇篮。埃尔米特毕业于巴黎综合工科学校,1862年进入该校任讲师,1867年升任教授。他的早年工作涉及椭圆弧数论,以后的著名工作是一证明了e的超越性,这使他享有分析学家的声誉,但就他对后世的影响而言,还是关于复二次型的工作最为重要。在物理学、几何学、算子理论中,埃尔米特成为复共轭、复对称的代名词。若尔当也是巴黎综合工科学校的学
17、生,一直以工程师的身份做数学研究,同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教。1881年成为法兰西科学院院士。他作为代数学家,首先关注伽罗瓦的群伦,成为第一个在伽罗瓦基础上做系统研究的数学家,也是使伽罗瓦理论通俗化的先驱。他在群和群表示理论上的开创性工作,是日后代数发展的起点。1870年,克莱因和索福斯李一起来到巴黎,和若尔当一起研究三位空间中所有运动群的确定,显然这是连续群研究的先声。今天,若尔当的名字更多地和分析学中的若尔当曲线、矩阵轮中的若尔当标准型、积分论中的若尔当容量联系在一起。,达布则是在巴黎综合工科学校完成学业,并在该校任教的数学家。他的主要工作领域是微分几何。他详细研究曲面理论、曲
18、线坐标、曲线和曲面的变形等基本问题。他所著的曲面通论教程是一部研究力学、变分法、偏微分方程、极值原理等学科的工具书,他对这些学科之间的内部联系有着非常深入而透彻的理解,成为一时的经典。同样,达布的影响不限于几何。他在积分理论中研究黎曼可积的充要条件,给出的现在称为上和、下和、上积分、下积分、达布和等概念,已经成为一种经典的理论。综合以上介绍,我们可以感觉到19世纪末期法国数学的气息:更着重于经典问题的深入刻画,注意几何、分析上的严密化,解决一些悬而未决的问题。相对于德国学派的工作,如克莱因的埃尔朗根纲领、康托尔的集合论、索福斯李的连续群论、库墨尔的代数数论等新方向、新思想的开拓,法国数学的发展
19、似乎过分拘谨了。但是庞加莱的出现,使法国数学出现了新的转机。庞加莱诞生于法国的南锡(这是法国科学精英的荟萃之地),家族显赫。父亲是一位生理学家,叔父是国家官员。堂弟雷蒙庞加莱曾出任总理兼外交部长,1913-1920年间,是法兰西第三共和国的第九任总统。庞加莱15岁进入巴黎综合工科学校,打算做一名工程师,但有空就研究数学。1878年,他向法兰西科学院提交微分方程一般解的理论,次年即获得科学博士学位。1880年,庞加莱成为巴黎大学教授,讲解力学和实验物理课程。此后的几十年,他一直在巴黎度过。庞加莱一身写了约500篇论文和30部著作,这还不包括他所写的畅销科普作品和哲学名著。由于他的杰出成就,庞加莱
20、几乎赢得了法国政府所能给予科学家的一切荣誉。33岁那年,他成为法兰西科学院院士,1906年任法兰西科学院院长,1908年,当选为法兰西语文学院院士。由于他的通俗文章的文笔非常优美,甚至获得了法国作家中的最高荣誉法国文学会会员。,数学史家评论说,庞加莱是一位科学的征服者,而不是殖民者。确实,他从不在自己开拓的领域内长期停留,而是继续大踏步前进,去征服更新的科学领域。以下是一张由庞加莱开创的新领域的清单:1、自守函数论。自守函数是通常三角函数、椭圆函数的推广。它的引入,使得微分方程、代数几何、代数数论找到了新的立足点。2、整函数的“亏数”理论。他第一个研究整函数的“亏数”和函数值增长的关系,为以后
21、的整函数和亚函数理论打开了道路。3、有理数域上的代数几何学。1901年的一篇论文开创了代数方程有理数解的研究,成为代数数论的一项原发性工作。4、微分方程的定性理论。这门崭新学科研究微分方程解在奇点附近的性态,根据极限环的情况可以判断解的稳定性。5、动力系统理论。开创动力系统理论研究,完成了现在称为“庞加莱回归定理”的工作。6、三体问题。在三体中两个物体的质量比另一个小得多的情况下,得到三体问题的周期解。引进渐进展开的方法,得出严格的天体力学计算方法。7、组合拓扑学,即“位置分析”。庞加莱引入流形的三角剖分,单纯形、复合形、关联系数矩阵等一系列新工具,以及贝蒂数、挠系数、同调群等一系列新概念,证
22、明了流形的同调对偶定理。这是同调论的开端。此外,又定义流形的同伦群、现称为庞加莱群。在20世纪获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞加莱的思想发展的。8、对狭义相对论的发展有独到见解。,除了这些开拓新领域的工作外,庞加莱还有许多原创性的成果,如对复变函数论、李群、李代数、狄利克雷问题、拉普拉斯算子特征值问题等的研究都有关键性的推进。庞加莱的远见是令人钦佩的。他能够理解索福斯李的工作,并投入很高的研究热情。1899年用新的方法证明了索福斯李的第三基本定理,引入李代数的包络代数概念。此外庞加莱也是最先认识埃里嘉当(1869-1951)工作重要性的人。在世纪之交时,拓扑学、李群、李代数以及嘉当的几何工
23、作还是冷门,少人问津,更为大多数以研究函数论等传统分析为主的法国数学家所轻视。但是,进入20世纪之后,这些学科都大放异彩,成为数学发展的核心部分。庞加莱还有一批重要的哲学著作,如科学与假设(1902)、科学的价值(1905)、科学与方法(1909)。他是约定主义的代表人物,认为科学公理是为了人们的表述方便而共同约定的。约定可以选择,但要有实验事实为依据你,避免出现矛盾。在数学基础上持直觉主义观点,反对罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义,不承认实无限,只认可潜无限。庞加莱主要是一个数学家,但或许在物理学和哲学上的工作更为一般人所知。关于他的哲学思想,曾说他是“一位伟大的物理学家,渺小的哲学家”。
24、尽管庞加莱获得了最高的学术荣誉,也受到科学界的高度赞扬,但是一些传统的数学家并不完全支持他。分形几何的创始人芒德布罗在1994年的一篇文章中引用别人的信件评价庞加莱不修饰证明和不发表严格的证明。作为直觉主义者的庞加莱,在发布论著时也许没有达到当时某些数学家所要求的严密性,但是,历史证明庞加莱是对的。如果为了追求不十分必要的严密性,而把重要的拓扑思想丢弃,那对数学的进展将是多大的损失!,三、光辉的一页希尔伯特的23个数学问题,巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。1900年,人们都把眼光放在未来:无产阶级正在组织沸腾的革命,科学家憧憬着惊人的突破,艺术家在追逐时代的潮流。这一年的8月6日,国际数学家代
25、表大会在巴黎召开。年方38岁的德国数学家大卫希尔伯特(1862-1943)走上讲台,向到会者,也向国际数学家大会提出23个数学问题,这就是著名的希尔伯特演说。这一演说,成为数学史上重要的里程碑,为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。科学发展的每一个时代都有自己的问题。希尔伯特站在当时数学发展的最前沿,高瞻远瞩地用23个数学问题,预示20世纪数学发展的进程。现在,时光已经过去了一百年,着23个问题约有一半已获得解决。百年来,人们把解决希尔伯特问题,哪怕是其中一部分,都看成是至高无上的荣誉。据统计,从1936年到1974年,被誉为数学诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖人中,至少有12人的工作于
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