难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析).docx

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1、难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)1如图，点是边上一点，连接交的延长线于点点是边上一点使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为ABCD2如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为若度，那等于 度3如图，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为4如图，直线，是直线上一点，、分别是直线上的点，是上一点，交于，是上一点使，作平分，则5如图，已知，直线分别交、于点、，平分，点为上一点，连接、，平分，若，则的度数是6如图，直线，点在直线

2、与之间，点在直线上，连结的平分线交于点，连结，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，则的度数是7探究：如图，试说明下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由解：，（已知）同理可证，应用：如图，点在、之间，与交于点，与交于点若，则的大小为度拓展：如图，直线在直线、之间，且，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连结、若，则度8综合与探究如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），别平分和，分别交射线于点，（1）求、的度数；根据下列求解过程填空解：，平分，平分，、，（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若

3、变化，请写出变化规律（3）当点运动到使时，直接写出的度数9已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；如图，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由10课上教师呈现一个问题：已知：如图1，于点，交于点，当时，求的度数甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点作分析思路：欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；由辅助线作图可知，从而由已知的度数可得的度数

4、；由，推出，由此可推出；由已知，可得，所以可得的度数；从而可求的度数（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路辅助线：分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求的度数11已知，点为射线上一点（1）如图1，若，则 ；（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，求的度数12已知，直线，点为平面上一点，连接与（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系

5、？并说明理由13如图，已知：，垂足为点，垂足为点，的延长线交于点，且，点在上，且，试说明14（1）如图，点在射线上，若，求的度数；（2）如图，把“”改为“”，点在射线上，猜想与的数量关系，并说明理由15如图1，已知，；（1）若，则；（2）请探索与之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数16已知直线，直线和直线、交于点和，点是直线上一动点（1）如图1，当点在线段上运动时，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由（2）当点在、两点的外侧运动时点与点、不重合，如图2和图，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出，之间的数量关系，不必写理由17

6、（1）如图（1），已知任意三角形，过点作，求证：；（2）如图（1），求证：三角形的三个内角（即、之和等于；（3）如图（2），求证：；（4）如图（3），交的平分线于点，求18如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，相交于，两点，点在直线上，（1）当点在，两点间运动时，问，之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点在，两点外侧运动时，试探究，之间的关系，并说明理由19已知直线，（1）如图1，点在直线上的左侧，直接写出，和之间的数量关系是 （2）如图2，点在直线的左侧，分别平分，直接写出和的数量关系是 （3）如图3，点在直线的右侧，仍平分，那么和有怎样的数量关系？请说明理由20（1）如图1，

7、则 （2）如图2，则 ，并说明理由（3）如图3，则 （4）如图4，根据以上结论，试探究 （直接写出你的结论，无需说明理由）21问题情境：（1）如图1，求度数小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，试判断、之间有何数量关系？（提示：过点作，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请你猜想、之间的数量关系22如图，是的角平分线，点在上点在的延长线上，交于点，求证：23如图1，直线交于点，交于点，点在上，点在直线左侧、且在直线和之间，连接、（1）求证：；（2）连接，若平分，求的度

8、数；（3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系为24已知、分别在的边、上，为平面内一点，、分别是、的平分线（1）如图1，若点在上，且，求证：；（2）如图2，若点在的内部，且，请猜想、之间的数量关系，并证明；（3）若点在的外部，且，请根据图3、图4分别写出、之间的数量关系（不需证明）25如图 1 ，直线与、分别交于点、，点在直线上， 过点作，垂足为点（1） 求证：；（2） 若点在线段上 （不 与、重合） ，连接，和的平分线交于点，请在图 2 中补全图形， 猜想并证明与的数量关系；（3） 若直线的位置如图 3 所示， （2） 中的结论是否成立？若成立， 请证明；若不成立

9、， 请直接写出与的数量关系 26已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点（1）若，求的度数；（2）求证：平分27完成下面的证明已知：如图，、分别是、的平分线求证：证明：， 、分别是、的平分线， 28将一副三角板中的两根直角顶点叠放在一起（如图，其中，（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，并简要说明理由29如图，已知，求证：30如图，已知，试判断与的大小关系，并说明理由31如图，已知，点在的右侧，的平分线相交于点探索与之间的等量关系，并证明你的结论32已知：如图，求证：33操作探究：如图，对折长方形纸片，使

10、与重合，得到折痕，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点落在上（设落地为，并使折痕经过点，得到折痕，连接、，请你猜想的度数是多少，并证明你的结论34长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且（1）求、的值；（2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，则在

11、转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围35已知：射线（1）如图1，的角平分线交射线与点，若，求的度数（2）如图2，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，求的度数（3）如图3，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，都在射线上，试求的度数36请把下列证明过程补充完整已知：如图，三点在同一直线上，三点在同一直线上，求证：证明：（已知） （已知） （已知）即 （等量代换） 37如图所示，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由结论：（1） ；（2） ；（3）

12、；（4） 证明：（2）（4）38如图，已知直线，直线和直线、交于点和、两点分别在和上，直线上有一动点（1）如果点在、之间运动时，猜测，之间有什么关系，证明你的结论（2）若点在的延长线上运动时，之间的关系为 （3）在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，探索和的关系，并证明39已知如图，直线与交于点，与交于点，射线与射线交于点（1）若平分，平分，则 ；（2）若，则 ；（3）将（2）中的“”改为“”，其它条件不变，求的度数（用含的代数式表示）（4）若将分成两部分，平分，求的度数（用含的代数式表示）40“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图1

13、所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度假定主道路是平行的，即，且（1）填空：；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由41如图，平分，为的延长线上一点，交于点，求的度数42如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，（1）将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使

14、，如图，与相交于点，求的度数；（2）将图中的三角尺绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行；在第 秒时，直线恰好与直线垂直（直接写出结果）43我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）观察与思考：如图1，若，点在、内部，、之间的数量关系为 ，不必说明理由；（2）猜想与证明：如图2，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，利用（1）中的结论（可以直接套用）求、之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）拓展与应用：如图3，设交于点，交于点，已知，利用（2）中的结论直接写出的度数为 度，比大 度44已知：直线，点，分别是，上的点，是，之间的一

15、条折弦，且，是，之间且在折线左侧的一点，如图（1）若，则度（2）若的一边与平行，另一边与平行，请探究，2间满足的数量关系并说明理由（3）若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，2之间满足的数量关系45直线与直线相交于，点在射线上运动，点 在射线上运动（1）如图1，若，已知、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小（2）如图2，若，已知不平行，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点，点、在运动的过程中， ；、又分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小也不发生变化，其大小为： （3）如图3，若，延长至，已知、的角

16、平分线与的角平分线及其延长线相交于、，则 ；（4）如图3，若，分别是，的角平分线，在中，如果有一个角是另一个角的4倍，则的度数 46在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动小钰所在组上网查阅资料，制作了相关介绍给同学（图1、图；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理（1）图4中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）（已知），

17、（已知），（2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为 47已知，且平分，平分，请说明的理由解：（已知） 平分（已知）同理， 又 （已知） 同理， （等量代换）即 48如图，已知，射线与相交于点，且解答以下问题：（注为小于的角）（1）画，使的另一边请在如图和图中画出符合题意的图形，并求的度数（2）如果的顶点在的内部，边，另一边请在如图和图中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出与的度数后，直接写出与的关系，不必说明理由 （3）如果的顶点在的内部，边，请在如图中画出相应的图形，并使用量角器

18、分别测量出与的度数后，直接写出与的关系，不必说明理由49如图（1），四边形中，点是线段上一点，（1）说明：；（2）如图（2），当平分，说明：；如图（3）若的平分线与的延长线交于点，且，求50如图，已知射线，在上，且满足，平分（1）求的度数；（2）若向右平行移动，其它条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1如图，点是边上一点，连接交的延长线于点点是边上一点使得，作的角平分线

19、交于点，若，则的度数为ABCD【解答】解：设，则，的角平分线为，设，而，则，在中，故，而，故选：二填空题（共5小题）2如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为若度，那等于度【解答】解：如图，过作，；如图，和的平分线交点为，和的平分线交点为，；如图，和的平分线，交点为，；以此类推，当度时，等于度故答案为：3如图，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为【解答】解：如图，延长交于由题意可以假设，则有，可得：，故答案为4如图，直线，是直线上一点，、分别是直

20、线上的点，是上一点，交于，是上一点使，作平分，则【解答】解：设，平分，故答案为5如图，已知，直线分别交、于点、，平分，点为上一点，连接、，平分，若，则的度数是106【解答】解：平分，且，平分，设，则，是的外角，即，解得，故答案为：6如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连结的平分线交于点，连结，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，则的度数是【解答】解：设，则，平分，又，即，中，故答案为：三解答题（共44小题）7探究：如图，试说明下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由解：，（已知）两直线平行内错角相等同理可证，应用：如图，点在、之间，与交于点，与交于点若，则的大小为度拓

21、展：如图，直线在直线、之间，且，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连结、若，则度【解答】解：探究：，（两直线平行内错角相等）同理可证，（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换应用：由探究可知：，故答案为60拓展：如图中，当的在直线的右侧时，当点在直线的左侧时，故答案为70或2908综合与探究如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），别平分和，分别交射线于点，（1）求、的度数；根据下列求解过程填空解：，平分，平分，、，（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律（3）当点运动到使时，直

22、接写出的度数【解答】解：（1），平分，平分，、，（角平分线的定义），故答案为，角平分线的定义，（2）与之间数量关系是：不随点运动变化理由是：，（两直线平行内错角相等），平分（已知），（角平分线的定义），（等量代换），即（3）结论：理由：，当时，则有，由（1）可知，9已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；如图，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由【解答】解：（1）成立，理由如下：如图，过点作，；（2）不成立，

23、新的结论为，理由为：如图，过作，10课上教师呈现一个问题：已知：如图1，于点，交于点，当时，求的度数甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点作分析思路：欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；由辅助线作图可知，从而由已知的度数可得的度数；由，推出，由此可推出；由已知，可得，所以可得的度数；从而可求的度数（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路辅助线：过点作交于点分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求的度数【解答】解：（1）辅助线：过点作交于点分析思路：欲求的度数，由辅助线作图可知，因此，只需

24、转化为求的度数；欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数和；又已知的度数，所以只需求出的度数；由已知，可得；由，可推出；可推出，由此可推，所以可得的度数；从而可以求出的度数（2）如图，过点作 ，11已知，点为射线上一点（1）如图1，若，则70；（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且，求的度数【解答】解：（1）如图，延长交于，是的外角，故答案为：70；（2）理由：，是的外角，；（3），设，则，又，平分，即，解得，在中，12已知，直线，点为平面上一点，连接与（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求（2）如图2，点

25、在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由【解答】解：（1）如图1，过作，；（2）理由：如图2，过作，过作，同理可得，与的角平分线相交于点，；（3）理由：如图3，过作，过作，同理可得，与的角平分线相交于点，13如图，已知：，垂足为点，垂足为点，的延长线交于点，且，点在上，且，试说明【解答】证明：，（垂直定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）14

26、（1）如图，点在射线上，若，求的度数；（2）如图，把“”改为“”，点在射线上，猜想与的数量关系，并说明理由【解答】解：（1）如图，过作，则，；（2），理由：如图，过作，则，即，15如图1，已知，；（1）若，则；（2）请探索与之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数【解答】解：（1）如图1，分别过点，作，又，又，；故答案为：；（2）如图1，分别过点，作，又，又，；（3）如图2，过点作，由（2）知，设，则，平分，平分，16已知直线，直线和直线、交于点和，点是直线上一动点（1）如图1，当点在线段上运动时，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由（2）当

27、点在、两点的外侧运动时点与点、不重合，如图2和图，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出，之间的数量关系，不必写理由【解答】解：（1），如图1，过点作，；（2）不成立，如图，理由：过点作，；如图，理由：过点作，17（1）如图（1），已知任意三角形，过点作，求证：；（2）如图（1），求证：三角形的三个内角（即、之和等于；（3）如图（2），求证：；（4）如图（3），交的平分线于点，求【解答】证明：（1），；（2）如图1所示，在中，（内错角相等），即三角形的内角和为；（3），由（2）知，；（4），交的平分线于点，18如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，相交于，两点，点在直线上，（1

28、）当点在，两点间运动时，问，之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点在，两点外侧运动时，试探究，之间的关系，并说明理由【解答】证明：（1）如图1，过点作，（两直线平行，内错角相等），（已知），（平行于同一条直线的两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（等量代换）；（2）如图2，过点作交于点，；同理，如图，；19已知直线，（1）如图1，点在直线上的左侧，直接写出，和之间的数量关系是（2）如图2，点在直线的左侧，分别平分，直接写出和的数量关系是 （3）如图3，点在直线的右侧，仍平分，那么和有怎样的数量关系？请说明理由【解答】解：（1）如图1，作，直线，即（2）如图2，分别平分，由（1）

29、，可得，（3）如图3，过点作，由（1）知，又，分别平分，故答案为：、20（1）如图1，则（2）如图2，则 ，并说明理由（3）如图3，则 （4）如图4，根据以上结论，试探究 （直接写出你的结论，无需说明理由）【解答】解：（1），；（2）过点作，即；（3）如图，过、的顶点作的平行线，则；（4）如图，过、的顶点作的平行线，则故答案为：；21问题情境：（1）如图1，求度数小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，试判断、之间有何数量关系？（提示：过点作，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、三点

30、不重合），请你猜想、之间的数量关系【解答】解：（1）过作，；（2），理由如下：如图3，过作交于，；（3）当在延长线时，；理由：如图4，过作交于，；当在之间时，理由：如图5，过作交于，22如图，是的角平分线，点在上点在的延长线上，交于点，求证：【解答】证明：是的平分线，23如图1，直线交于点，交于点，点在上，点在直线左侧、且在直线和之间，连接、（1）求证：；（2）连接，若平分，求的度数；（3）如图2，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系为【解答】解：（1）如图1，延长交于，是的外角，；（2）如图1，连接，平分，设，则，即，是的外角，解得，；（3）如图2，平分，可设，四边形中，

31、是的外角，又平分，即，整理可得，故答案为：24已知、分别在的边、上，为平面内一点，、分别是、的平分线（1）如图1，若点在上，且，求证：；（2）如图2，若点在的内部，且，请猜想、之间的数量关系，并证明；（3）若点在的外部，且，请根据图3、图4分别写出、之间的数量关系（不需证明）【解答】解：（1）如图1，、分别是、的平分线，又，；（2）如图2，连接，是的外角，是的外角，；（3）图3中，；图4中，理由：如图3，是的外角，是的外角，；如图4，是的外角，是的外角，25如图 1 ，直线与、分别交于点、，点在直线上， 过点作，垂足为点（1） 求证：；（2） 若点在线段上 （不 与、重合） ，连接，和的平分线

32、交于点，请在图 2 中补全图形， 猜想并证明与的数量关系；（3） 若直线的位置如图 3 所示， （2） 中的结论是否成立？若成立， 请证明；若不成立， 请直接写出与的数量关系 【解答】解： （1） 如图 1 ，是的外角，；（2）或，证明：如图， 当点在上时，是的外角，平分，平分，同理可得，又是的外角，即；如图， 当点在上时，同理可得，又中，即；（3） （2） 中的结论不成立 存在：；如图， 当点在上时， 由，可得：，又是的外角，即；如图， 当在上时，同理可得，又中，26已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点（1）若，求的度数；（2）求证：平分【解答】解：（1）直线，平分，；（2）证明

33、：平分，平分27完成下面的证明已知：如图，、分别是、的平分线求证：证明：，两直线平行，同位角相等、分别是、的平分线， 【解答】证明：， 两直线平行，同位角相等）、分别是、的平分线，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），故答案是：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等28将一副三角板中的两根直角顶点叠放在一起（如图，其中，（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，并简要说明理由【解答】解：（1），；（2），理由如下：，；（3）当或时，如图，根据同旁内角互补，两直线平行，

34、当时，此时；如图，根据内错角相等，两直线平行，当时，29如图，已知，求证：【解答】证明：，30如图，已知，试判断与的大小关系，并说明理由【解答】解：理由：（平角定义），（已知）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）（已知），（等量代换）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同位角相等）31如图，已知，点在的右侧，的平分线相交于点探索与之间的等量关系，并证明你的结论【解答】解：理由：如图，分别过，作，则，同理可得，的平分线相交于点，32已知：如图，求证：【解答】证明：，33操作探究：如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点落在上（设落地为，并使折

35、痕经过点，得到折痕，连接、，请你猜想的度数是多少，并证明你的结论【解答】解：猜想理由：如图，连接，直线是的垂直平分线，由折叠可知，是等边三角形，34长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且（1）求、的值；（2）若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点

36、，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围【解答】解：（1）、满足，且，；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，当时，解得；当时，解得；当时，解得，（不合题意）综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯转动时间为秒，又，而，即35已知：射线（1）如图1，的角平分线交射线与点，若，求的度数（2）如图2，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，求的度数（3）如图3，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，都在射线上，试求的度数【解答】解：（1）如图1，是的角平分线，；（2）如图2，平分，平分，；（3）如图3

37、，由（1）可知，则36请把下列证明过程补充完整已知：如图，三点在同一直线上，三点在同一直线上，求证：证明：（已知） （已知） （已知）即 （等量代换） 【解答】证明：（已知） 内错角相等，两直线平行） 两直线平行，内错角相等）（已知） 等量关系）（已知）即（等量代换） 同位角相等，两直线平行）故答案为：，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量关系；，；，同位角相等，两直线平行37如图所示，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由结论：（1）；（2） ；（3） ；（4） 证明：（2）（4）【解答】解：（1）理由：过点作，（2）理由：过点作，（3）理由：，；（4）理由：，故答案为：；38如图，已知直线，直线和直线、交于点和、两点分别在和上，直线上有一动点（1）如果点在、之间运动时，猜测，之间有什么关系，证明你的结论（2）若点在的延长线上运动时，之间的关系为（3）在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，探索和的关系，并证明【解答】解：（1）结论：如图，当点在、之间运动时，理由如下：过点作，；（2）结论：如图，当点在、两点的外侧运动，且在上方时，理由如下：，故答案为（3）结论：