极坐标复习课堂课件.ppt

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1、1,极坐标复习,2,1,、极坐标系,极坐标系，点的极坐标：,狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义,2,、极坐标和直角坐标的互化,互化的条件，互化公式；,3,、曲线的极坐标方程,曲线的极坐标方程的概念，,求曲线的极坐标方程的方法和步骤，,基本曲线的极坐标方程，,利用极坐标方程解题；,4,、极坐标系中的两点之间的距离公式；,复习要点,3,1.,平面直角坐标系下的伸缩变换,设点,P,(,x,，,y,),是平面直角坐标系中的任意一,点，在变换,_,的作用下，,点,P,(,x,，,y,),对应到点,P,(,x,，,y,),，称,为,平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,：,?,?,?,x,x,，,0,y,

2、y,，,0,4,精析考题,例,1,在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆,x,2,y,2,1,变换为椭圆,x,2,9,y,2,4,1.,5,自主解答,将变换后的椭圆的方程,x,2,9,y,2,4,1,改写为,x,2,9,y,2,4,1,，,设伸缩变换为,?,?,?,?,?,x,x,?,0,?,，,y,y,?,0,?,，,代入上式得,2,x,2,9,2,y,2,4,1,，,即,?,?,?,?,?,?,3,2,x,2,?,?,?,?,?,?,2,2,y,2,1.,与,x,2,y,2,1,比较系数，得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,1,，,?,?,?,?,?,?,2,2

3、,1,，,6,故,?,?,?,?,?,3,，,2,，,所以伸缩变换为,?,?,?,?,?,x,3,x,y,2,y,，,即先使圆,x,2,y,2,1,上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横,坐标伸长到原来的,3,倍，得到椭圆,x,2,9,y,2,1,，再将该椭圆的,点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的,2,倍，得到椭圆,x,2,9,y,2,4,1.,7,本例条件变为“求圆,x,2,y,2,1,经过伸缩变换,?,?,?,?,?,x,2,x,y,3,y,后,的图形”,解：,由,?,?,?,?,?,x,2,x,y,3,y,?,?,?,?,?,x,1,2,x,y,1,3,y,代入,x,2,y,2,1,，,得,

4、x,2,4,y,2,9,1.,经过伸缩变换,?,?,?,?,?,x,2,x,y,3,y,后圆,x,2,y,2,1,变为椭圆,x,2,4,y,2,9,1.,8,巧练模拟,(,课堂突破保分题，分分必保！,),1,设平面上的伸缩变换的坐标表达式为,?,?,?,?,?,x,1,2,x,，,y,3,y,，,求在这一,坐标变换下正弦曲线,y,sin,x,的方程,9,所以，所求极坐标方程为,y,3sin2,x,.,解：,?,?,?,?,?,x,1,2,x,，,y,3,y,，,?,?,?,?,?,x,2,x,，,y,1,3,y,.,代入,y,sin,x,得,y,3sin2,x,.,10,1,、极坐标系,极坐标

5、系：,在平面内任取一个定点,O,，叫做极点，,引一条射线,ox,，叫做极轴，再选定一个长度单位和,角度的正方向,(,通常取逆时针方向,),，这样建立的坐,标系叫做极坐标系。,?,?,O,x,),(,?,?,?,M,点的极坐标：,对于平面内任意一点,M,，用,表示,线段,OM,的长度，叫做点,M,的,极径,；用,表示从,ox,旋转到,OM,的角度，,叫做点,M,的,极角,，有序数对,M(,),就叫做点,M,的极坐标,.,11,狭义极坐标系：,极径,0,，极角,0,，,2,）,.,在狭义极坐标系中，平面上的一点,(,除极点外,),的极坐标系是唯一的,.,广义极坐标系：,极径,R,，极角,R.,在广

6、义极坐标系中，平面上的一点的极坐标,系有无数个,.,当,0,时，点,M,(,),的位置可以按以下规则确定：,作射线,OP,，使没,xOP=,，在,OP,的反向延长线上取一点,M,使,|OM|=|,|,，,M,就是极坐标,为,(,),的点。,O,M,x,|,12,2,、极坐标和直角坐标的互化,把直角坐标系的原点作为极点，,x,轴的正半,轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度,单位。,x,y,O,y,M,N,x,?,?,互化公式：,极坐标化为直角坐标,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin,cos,y,x,直角坐标化为极坐标,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,y,x,?,?,tan,2

7、,2,2,13,例,.,设点,A,（,2,，,），直线,l,为过极点且垂直,于极轴的直线，分别求点,A,关于极轴，直线,l,极点的对称点的极坐标（限定,?,0.-,?,),结论,：,(1),点（,?,，,?,）关于极轴的对称点是,（,?,，,-,?,）,.,(2),关于直线,的对称点是,（,?,，,-,?,）,.,(3),关于极点,O,的对称点是,（,?,，,+,?,）。,2,?,?,?,对称性,3,?,14,例,2,进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：,(1),y,2,4,x,；,(2),x,2,y,2,2,x,1,0,；,(3),1,2,cos,.,15,自主解答,(1),将,x,cos,

8、，,y,sin,代入,y,2,4,x,，,得,(,sin,),2,4,cos,.,化简，得,sin,2,4cos,.,(2),将,x,cos,，,y,sin,代入,y,2,x,2,2,x,1,0,，,得,(,sin,),2,(,cos,),2,2,cos,1,0,，,化简，得,2,2,cos,1,0.,16,(3),1,2,cos,，,2,cos,1.,2,x,2,y,2,x,1.,化简，得,3,x,2,4,y,2,2,x,1,0.,17,4,(2011,江苏省重点学校联考,),在极坐标系下，已知圆,O,：,cos,sin,和直线,l,：,sin(,4,),2,2,.,(1),求圆,O,和直线

9、,l,的直角坐标方程；,(2),当,(0,，,),时，求直线,l,与圆,O,公共点的一个极坐标,18,解：,(1),圆,O,：,cos,sin,，即,2,cos,sin,.,圆,O,的直角坐标方程为：,x,2,y,2,x,y,，,即,(,x,1,2,),2,(,y,1,2,),2,1,2,.,直线,l,：,sin(,4,),2,2,即,sin,cos,1,，则直线,l,的直角坐标方程为：,y,x,1,，,即,x,y,1,0.,(2),由,?,?,?,?,?,x,2,y,2,x,y,0,，,x,y,1,0,，,得,?,?,?,?,?,x,0,，,y,1,，,故直线,l,与圆,O,公共点的一个,极

10、坐标为,?,?,?,?,?,?,1,，,2,.,19,冲关锦囊,1,将点的直角坐标,(,x,，,y,),化为极坐标,(,，,),时，,运用公式,x,2,y,2,，,tan,y,x,(,x,0),即可在,0,2),范围内，由,tan,y,x,(,x,0),求,时，,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许,R,，再根据终边相同的角的意义，表示为,2,k,(,k,Z),即可,2,极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还,经常会用到同乘,(,或除以,),等技巧,.,20,一,极坐标与直角坐标的互化,(2012,河北衡水中学第三次模拟,),已知圆,O,1,和圆,O,2,的,极坐

11、标方程分别为,2,，,2,2,2,cos(,4,),2.,(1),把圆,O,1,和圆,O,2,的极坐标方程化为直角坐标方程；,(2),求经过两圆交点的直线的极坐标方程,21,解析：,(1),由,2,，得,2,4,，,所以圆,O,1,的直角坐标方程为,x,2,y,2,4.,因为,2,2,2,cos(,4,),2,，,所以,2,2,2,(cos,cos,4,sin,sin,4,),2,，,所以圆,O,2,的直角坐标方程为,x,2,y,2,2,x,2,y,2,0.,22,(2),将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直,线方程为,x,y,1,，,化为极坐标方程为,cos,sin,1,，,即,co

12、s(,4,),2,2,.,23,5,(2011,广东深圳,),在极坐标系中，设,P,是直线,l,：,(cos,sin,),4,上任一点，,Q,是圆,C,：,2,4,cos,3,上任一点，则,|,PQ,|,的最小值是,_,24,解析：,直线,l,：,(cos,sin,),4,，即,x,y,4,0,；,圆,C,：,2,4,cos,3,，即,x,2,y,2,4,x,3,0,，,(,x,2),2,y,2,1.,因此,|,PQ,|,的最小值等于圆心,(2,0),到直线,l,：,x,y,4,0,的距,离减去圆半径，即等于,|2,0,4|,2,1,2,1.,答案：,2,1,25,小结,1,：,处理极坐标系中

13、的直线与圆的问题大致有两,（,1,）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；,（,2,）根据,、,的几何意义进行旋转或伸缩,变换,.,26,3.,求直线的极坐标方程步骤,:,1,、根据题意画出草图；,2,、设点,是直线上任意一点；,(,),M,?,?,3,、连接,MO,；,4,、根据几何条件建立关于,的方,程，并化简；,?,?,5,、检验并确认所得的方程即为所求。,27,?,=,?,0,(,?,0),?,=,?,0,(,?,R),o x,o x,?,0,?,0,基本曲线的极坐标方程,直线的的极坐标方程,正弦定理,o x,?,M(,),M(,),M(,),a,=,?,sin(,?,-,?,),a,si

14、n(,?,-,?,),sin(,?,-,?,),?,=,asin,?,28,?,?,?,?,?,x,x,x,x,?,?,?,?,P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),o,o,o,o,a,a,a,a,?,cos,?,=a,?,sin,?,=a,?,sin,?,=-a,?,cos,?,=-a,直线的极坐标方程,29,?,o x,r,o,x,P(r,，,?,?,?,=r,圆的极坐标方程,r,2,=,?,2,+,?,0,2,-,2,?,?,0,cos(,?,-,?,0,),余弦定理,c(,?,0,，,?,0,),P(,?,，,?,),30,?,o,o,

15、o,o,x,x,x,x,c(a,，,0),c(a,，,?,/2),?,?,?,?,c(a,，,?,),c(a,，,-,?,/2),?,?,?,?,P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),?,=2acos,?,?,=2acos(,?,-,?,)=-2acos,?,?,=2acos(,?,-3,?,/2)=-2asin,?,?,=2asin,?,?,?,?,?,31,?,?,?,?,?,?,?,c(,?,0,，,?,0,),r,a,P(,?,，,?,),P(,?,，,?,),余弦定理,r,2,=,?,2,+,?,0,2,-,2,?,?,0,cos(,

16、?,-,?,0,),正弦定理,=,?,sin(,?,-,?,),a,sin(,?,-,?,),?,=,asin,?,sin(,?,-,?,),o,o,x,x,32,12,设过原点,O,的直线与圆,C,：,(,x,1),2,y,2,1,的,一个交点为,P,，点,M,为线段,OP,的中点,(1),求圆,C,的极坐标方程；,(2),求点,M,轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲,线,33,解析：,(1),圆,(,x,1),2,y,2,1,的极坐标方程为,2cos,.,(2),设点,P,的极坐标为,(,1,，,1,),，点,M,的极坐标为,(,，,),点,M,为线段,OP,的中点，,1,2,，,1,.,

17、将,1,2,，,1,代入圆的极坐标方程，得,cos,.,点,M,轨迹的极坐标方程为,cos,，它表示圆心在,点,，半径为,的圆,?,?,?,?,?,?,1,2,，,0,1,2,34,练,.,已知,OAB,是等腰直角三角形（,OAB,为逆,时针顺序,),，,OAB=90,0,，点,B,在曲线,sin=5,求,A,点的,轨迹的极坐标方程。,分析：,用代入法，设,A(,),B(,),找,出这两个极端坐标的关系，再代到,B,点所在的,曲线极坐标方程，即得,A,点轨迹极坐标方程,O x,A,(,),B,(,),sin=5,35,4.(2012,上海卷,),如图，在极坐标系中，过点,M,(2,0),的,直

18、线,l,与极轴的夹角,6,，,若将,l,的极坐标方程写成,f,(,),的形式，则,f,(,),.,36,解析：,设直线上的任一点为,P,(,，,),，,因为,PMx,6,，,所以,OPM,6,，,OMP,6,，,根据正弦定理得,OP,sin,OMP,OM,sin,OPM,，,即,sin,?,6,?,2,sin,?,6,?,，,即,2sin,6,sin,?,6,?,1,sin,?,6,?,.,37,【,2,】,已知椭圆,x,2,24,y,2,16,1,，直线,l,：,x,12,y,8,1,，,P,是,l,上的点，射线,OP,交椭圆于,R,，又点,Q,在,OP,上，且满足,|,OQ,|,|,OP,

19、|,|,OR,|,2,，当点,P,在,l,上移动时，求,Q,的轨迹方程,38,解析：,如图，取原点为极点，,x,轴正半轴为极轴，建,立极坐标系，,则椭圆方程：,2,48,2cos,2,3sin,2,.,直线,l,的方程：,24,2cos,3sin,.,39,设,P,(,1,，,),，,R,(,2,，,),，,Q,(,，,),，,则,2,2,1,，所以,48,2cos,2,3sin,2,24,2cos,3sin,，,显然不包括原点，,两边同乘,，,化简得,?,x,1,?,2,5,2,?,y,1,?,2,5,3,1.,40,1.,建立曲线的极坐标方程的方法步骤,.,（,1,）在曲线上任取一点,P,

20、（,）,.,（,2,）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的,三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起,、,的方程,.,（,3,）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）,.,2.,利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，,尤其是涉及线段间数量关系的问题,.,求极坐标系下的轨迹,方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致,.,如定义,法、直接法、参数法等,.,小结,2,：,41,设,P,是空间任意一点，,在,oxy,平面的射影为,Q,，,用(,)(0,02)表示点,Q,在平面,oxy,上的极坐标，,点,P,的位置可用有,序数组(,z)表示,.,x,y,z,o,P(,Z,),Q,把建立上述对

21、应关系的坐标系叫做,柱,坐标系,.,有序数组(,Z)叫点,P,的,柱,坐标，,记作(,Z).其中,0,0,2,-,Z,+,42,柱坐标系又称半极坐标系，它是由,平面极坐标系及空间直角坐标系中的,一部分建立起来的,.,空间点,P,的直角坐标,(x,y,z),与柱坐,标,(,Z)之间的变换公式为,?,?,?,?,?,?,?,?,z,z,y,x,?,?,?,?,sin,cos,43,柱坐标与空间直角坐标的互化,(2),直角坐标转化为柱坐标,2,2,2,t,a,n,(,0,),x,y,y,x,x,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,44,思考：,点,P,的柱坐标为,

22、(,z,),，,(1),当,为常数时，点,P,的轨迹是,_,(2),当,为常数时，点,P,的轨迹是,_,(3),当,z,为常数时，,点,P,的轨迹是,_,圆柱面,半平面,平面,x,y,z,o,P,(,z,),(,),Q,45,x,y,z,o,P,Q,r,设,P,是空间任意一点，,连接,OP,，记,|,OP,|=r,，,OP,与,OZ,轴正向所,夹的角为,.,在,oxy,平面的射影为,Q,，,设,P,在,oxy,平面上的射影为,Q,，,Ox,轴按逆时,针方向旋转到,OQ,时所转过的最小正角,为,.,这样点,P,的位置就可以用有序数,组,(r,),表示,.,(r,),46,我们把建立上述,对应关系

23、的坐标系,叫做,球坐标系,(,或,空间极坐标系,).,有序数组,(r,),叫做点,P,的球坐标，,其中,?,?,?,?,2,0,0,0,?,?,?,?,?,r,x,y,z,o,P,(r,),Q,r,空间的点与有序数组,(r,),之间建立了一种,对应关系,.,47,球坐标系,x,y,z,o,Q,(,r,?,?,),?,P,r,0,r,?,0,2,?,?,?,?,0,?,?,?,?,P,(,r,?,?,),48,将球坐标转化为直角坐标：,x,y,o,Q,P,(,r,?,?,),?,r,z,0,r,?,0,?,?,?,?,0,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,2,y,2,z,2,r,2,，

24、,x,r,sin,cos,，,y,r,sin,sin,，,z,r,cos,49,思考：,点,P,的球坐标为,(,r,?,?,),，,(1),当,r,为常数时，点,P,的轨迹是,_,(2),当,?,为常数时，点,P,的轨迹是,_,(3),当,?,为常数时，,点,P,的轨迹是,_,球面,圆锥面或平面,或射线,半平面,x,y,z,o,Q,P,(,r,?,?,),?,r,50,1,设点,M,的直角坐标为,(,1,，,3,，,3),，则它的柱坐,标是,(,),A.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,3,，,3,B.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,2,3,，,3,C.,?,?,?,?,?,

25、?,?,?,2,，,4,3,，,3,D.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,5,3,，,3,2,设点,M,的直角坐标为,(,1,，,1,，,2),，则它的球坐,标为,(,),A.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,4,，,4,B.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,4,，,5,4,C.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,5,4,，,4,D.,?,?,?,?,?,?,?,?,2,，,3,4,，,4,C,B,51,3,已知点,M,的球坐标为,，则它的直角坐标为,_,，它的柱坐标是,_,4,设点,M,的柱坐标为,，则它的直角坐标为,_,3,4,4,4,?,?,?,?,?,?,，,，,2,7,6,?,?,?,?,?,?,，,，,(,2,2,2),2,3,2,2,2,2,4,?,?,?,?,?,?,，,，,(,，,1,7),3,52,5,在球坐标系中，方程,r,1,表示,_,，,方程,表示空间的,_,6,在柱坐标系中，长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的一个顶,点在原点，另两个顶点坐标分别为,A,1,(8,0,10),，,C,1,，,则此长方体外接球的体积为,_,4,6,1,0,2,?,?,?,?,?,?,，,，,5,球心在原点、半径为,1,的球面,顶点在原点、轴截面,顶角为,的圆锥面,6.,2,1,0,0,0,2,3,?,