离散数学代数结构讲课稿课件.ppt

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1、2023/3/28,数学的基本结构,序结构：数的大小，次序拓扑结构：平面几何，立体几何（欧氏空间）代数结构：群,2023/3/28,Chapter 4,Algebra System,2023/3/28,4.1 代数系统的引入(1),一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合 S；（2）有一些建立在 S 上的运算；（3）这些运算在集合 S 上是封闭的。,2023/3/28,4.2 运算(1),4.2.1 运算的概念,定义 假设 A 是一个集合，AA 到 A 的映射称为 A 上的二元运算。一般地，An 到 A 的映射称为 A 上的 n 元运算。,2023/3/28,4.2 运算(2),

2、4.2.2 运算的性质,（1）封闭性,如果 SA，对任意的 a,bS，有a*bS，则称 S 对运算*是封闭的。,假设*,+都是集合 A 上的运算,2023/3/28,4.2 运算(3),4.2.2 运算的性质,（2）交换律,如果对任意的 a,bA，都有 a*b=b*a，则称运算*是可交换的。,（3）结合律,如果对任意的 a,b,cA，都有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算*是可结合的。,2023/3/28,4.2 运算(4),（4）分配律,如果对任意的 a,b,cA，都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)则称*对+运算满足左分配；如果对任意的a,b,c A，都有(b+c)*a=(b*

3、a)+(c*a)则称*对+运算满足右分配。如果运算*对+既满足左分配又满足右分配，则称运算*对+满足分配律。,2023/3/28,4.2 运算(5),（5）消去律,如果对任意的 a,b,cA，当 a*b=a*c，必有 b=c，则称运算*满足左消去律；如果对任意的 a,b,cA，当 b*a=c*a，必有 b=c，则称运算*满足右消去律；如果运算*既满足左消去律又满足右消去律，则称运算*满足消去律。,2023/3/28,4.2 运算(6),（6）吸收律,如果对任意的 a,bA，都有a*(a+b)=a，则称运算*关于运算+满足吸收律。,（7）等幂律,如果对任意的 aA，都有 a*a=a，则称运算*满

4、足等幂律。,2023/3/28,4.2 运算(7),2023/3/28,4.3 代数系统(1),4.3.1 代数系统的概念,定义 假设 A 是一个非空集合，f1,f2,fn 是 A 上的运算（运算的元素可以是不相同的），则称 A 在运算 f1,f2,fn 下构成一个代数系统，记为：,2023/3/28,4.3 代数系统(2),4.3.1 代数系统的概念,定义 假设 是一个代数系统，SA，如果 S 对*是封闭的，则称 为 的子代数系统。,2023/3/28,4.3 代数系统(3),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（1）单位元（幺元）,假设 是一个代数系统，如果 eLA,对于任意元素 xA，都有

5、 eL*x=x,则称 eL为 A 中关于运算*的左单位元;如果 erA,对于任意元素 xA，都有 x*er=x,则称 er 为 A 中关于运算*的右单位元;如果 A 中一个元素 e 既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 A 中关于运算*的单位元。,2023/3/28,4.3 代数系统(4),2023/3/28,4.3 代数系统(5),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（1）单位元（幺元）,定理 假设 是代数系统，并且 A 关于运算*有左单位元 eL和右单位元 er，则 eL=er=e 并且单位元唯一。,2023/3/28,4.3 代数系统(6),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（2）零元,

6、假设 是一个代数系统，如果 LA,对于任意元素 xA，都有 L*x=L,则称 L为 A 中关于运算*的左零元;如果 rA,对于任意元素 xA，都有 x*r=r,则称 r 为 A 中关于运算*的右零元;如果 A 中一个元素 既是左零元又是右零元，则称 为 A 中关于运算*的零元。,2023/3/28,4.3 代数系统(7),2023/3/28,4.3 代数系统(8),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（2）零元,定理 假设 是代数系统，并且 A 关于运算*有左零元 L 和右零元 r，则 L=r=并且零元唯一。,2023/3/28,4.3 代数系统(9),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（3）逆

7、元,假设 是一个代数系统，e 是 的单位元。对于元素 aA，如果存在 bA，使得 b*a=e，则称 a 为左可逆的，b 为 a 的左逆元；如果存在 cA，使得 a*c=e，则称元素 a 是右可逆的，c 为 a 的右逆元。如果存在 a A，使得 a*a=a*a=e，则称 a 是可逆的，a 为 a 的逆元。a 的逆元记为：a-1。,2023/3/28,4.3 代数系统(10),2023/3/28,4.3 代数系统(11),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（3）逆元,定理 设 是一个代数系统，且 A 中存在单位元 e，每个元素都存在左逆元。如果运算*是可结合的，那么，任何一个元素的左逆元也一定是该

8、元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。,2023/3/28,4.3 代数系统(12),4.3.2 代数系统中的特殊元素,（4）幂等元,定义：在代数系统中，如果元素 a 满足a*a=a，那么称 a 是 A 中的幂等元。,2023/3/28,4.3 代数系统(12),2023/3/28,4.4 同态与同构(1),4.4.1 基本概念,定义 设 和 是代数系统，f:AB,如果 f 保持运算，即对 x,yA,有f(x*y)=f(x)f(y)。称 f 为代数系统 到 的同态映射，简称同态。也称之为两代数系统同态。,2023/3/28,4.4 同态与同构(2),4.4.1 基本概念,定义 设 和 是代数系统

9、，f 是 A 到 B 的同态。如果 f 是单射的，称 f 为单同态；如果 f 是满射的，称 f 为满同态；如果 f 是双射的，称 f 为同构映射，简称为同构。,2023/3/28,4.4 同态与同构(3),4.4.1 基本概念,定义 设 是代数系统，若存在函数f:AA,并且对 x,yA,有 f(x*y)=f(x)*f(y)。称 f 为 的自同态；如果 f 是双射的，则称 f 为 的自同构。,2023/3/28,4.4 同态与同构(4),4.4.2 同态、同构的性质,（1）如果两函数是同态、同构的，则复合函数也是同态、同构的。,定理 假设 f 是 到 的同态，g是 到 的同态，则gf是 到 的同

10、态；如果 f 和 g 是单同态、满同态、同构时，则gf也是单同态、满同态和同构。,2023/3/28,4.4 同态与同构(5),4.4.2 同态、同构的性质,（2）满同态保持结合律,定理 假设 f 是 到 的满同态。如果*运算满足结合律，则 运算也满足结合律，即满同态保持结合律。,（3）满同态保持交换律,2023/3/28,4.4 同态与同构(6),4.4.2 同态、同构的性质,定理 假设 f 是 到 的满同态。e 是 的单位元，则 f(e)是的单位元。,（4）满同态保持单位元,2023/3/28,4.4 同态与同构(7),4.4.2 同态、同构的性质,定理 假设 f 是到的满同态。eA和 e

11、B 分别是和的单位元，如果 A 中元素 x 和 x 互逆，则 B 中元素 f(x)和 f(x)也互逆。,（5）满同态保持逆元,2023/3/28,4.4 同态与同构(8),4.4.2 同态、同构的性质,定理 假设 f 是 到 的满同态。是 的零元，则 f()是的零元。,（6）满同态保持零元,2023/3/28,4.4 同态与同构(9),4.4.2 同态、同构的性质,定理 假设 f 是到的满同态。并且xA是的幂等元，则 f(x)B 是的幂等元。,（7）满同态保持幂等元,2023/3/28,4.4 同态与同构(10),4.4.2 同态、同构的性质,定理 假设 f 是 到 的同构映射。则 f-1是

12、到 的同构映射。,（8）同构映射运算性质双向保持,2023/3/28,4.5 同余关系与商代数 选讲,4.5.1 同余关系,定义 假设 是一个代数系统，E 是 A 上的等价关系。如果对x1,x2,y1,y2A，当x1Ex2,y1Ey2时，必有(x1*y1)E(x2*y2)，则称 E 是 A 上的同余关系。,2023/3/28,4.6 直积(1),定义：设 和 为两个代数系统，称为两代数系统的直积。其中 AB 是 A 和 B 的笛卡尔乘积，定义如下：对任意的,AB，=。,2023/3/28,4.6 直积(2),定理：假设 和 为两个代数系统，且分别有单位元 eA,eB，在两代数系统的直积中存在子

13、代数系统 S,T，使得，。,2023/3/28,Chapter 5,Group theory,2023/3/28,5.1 半群(1),5.1.1 半群的定义,定义：设 是一个代数系统，如果*运算满足结合律，则称 是一个半群。,2023/3/28,5.1 半群(2),例：假设S=a,b,c，在S上定义运算，如运算表给出。证明是半群。,2023/3/28,5.1 半群(3),5.1.1 半群的定义,定义：假设 是一个半群，aS，n 是正整数，则 an 表示 n 个 a 的计算结果，即 an=a*a*a。对任意的正整数 m,n，am*an=am+n，(am)n=amn。,2023/3/28,5.1

14、半群(4),5.1.2 交换半群,定义：如果半群 中的*运算满足交换律，则称 为交换半群。,在交换半群 中，若a,bS，n 是任意正整数，则(a*b)n=an*bn,2023/3/28,5.1 半群(5),5.1.3 独异点（含幺半群）,定义：假设 是一个半群，如果 中有单位元，则称 是独异点，或含幺半群。,2023/3/28,5.1 半群(6),5.1.3 独异点（含幺半群）,定理：假设 是独异点，如果a,bS，并且 a,b 有逆元 a-1,b-1存在，则：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。,2023/3/28,5.1 半群(7),5.1.4 子半群,定义：假设

15、 是一个半群，若 TS，且在*运算下也构成半群，则称 是 的子半群。,2023/3/28,5.1 半群(8),假设A=a,b，是一个含幺半群。,若B=a,则P(B)P(A),并且构成半群，是的子半群。,2023/3/28,5.1 半群(9),5.1.4 子半群,定义：设 是含幺半群，若 是它的子半群，并且 的单位元 e 也是 单位元，则称 是 的子含幺半群。,2023/3/28,5.1 半群(10),例：设是可交换的含幺半群，T=a|aS，且a*a=a，则是的子含幺半群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(1),5.2.1 群的基本概念,定义：设 是一代数系统，如果满足以下几点：(

16、1)运算是可结合的；(2)存在单位元 e；(3)对任意元素 a 都存在逆元 a-1；则称 是一个群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(2),例：假设R=0,60,120,180,240,300表示平面几何上图形绕形心顺时针旋转的角度集合。*是定义在R上的运算。定义如下：对任意的a,bR，a*b表示图形顺时针旋转a角度，再顺时针旋转b角度得到的总旋转度数。并规定旋转360度等于原来的状态，即该运算是模360的。整个运算可以用运算表表示。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(3),2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(4),5.2.1 群的基本概念,一个群如果运算满

17、足交换律，则称该群为交换群，或Abel群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(5),5.2.2 群的性质,(1)任何群都没有零元。,(2)设 是群，则 G 中消去律成立。,(3)设 是群，单位元是 G 中的唯一等幂元。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(6),5.2.2 群的性质,(4)设,是群，f是 G 到 H 的同态，若 e 为的单位元，则 f(e)是 的单位元，并且对任意 aG，有 f(a-1)=f(a)-1。,(5)设是群，是任意代数系统，若存在 G 到 H 的满同态映射，则必是群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(7),5.2.3 半群与群,(1

18、)假设是半群，并且 中有一左单位元 e，使得对任意 的 aG，有 e*a=a；中任意元素 a 都有“左逆元”a-1，使得 a-1*a=e。则 是群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(8),5.2.3 半群与群,(2)假设 是半群，对任意的 a,bG，方程 a*x=b，y*a=b 都在 G 中有解。则 是群。,(3)有限半群，如果消去律成立，则必为群。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(9),5.2.4 有限群的性质,定理：设 是一个 n 阶有限群，它的运算表中的每一行（每一列）都是 G 中元素的一个全排列。,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(10),5.2

19、.4 有限群的性质,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(11),5.2.4 有限群的性质,2023/3/28,5.2 群的概念及其性质(12),例：假设是一个二阶群，则是一个Klein群。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(1),5.3.1 子群,定义：设 是一个群，非空集合 HG。如果 H 在 G 的运算下也构成群，则称 是 的子群。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(2),5.3.1 子群,定理：设 是 的子群，则(1)的单位元 eH 一定是 的 单位元，即 eH=eG。(2)对 aH，a 在 H 中的逆元 a，一定

20、是 a 在 G 中的逆元。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(3),5.3.2 由子集构成子群的条件,(1)设 H 是群 中 G 的非空子 集，则 H构成 子群的充要条 件是：对 a,bH，有 a*bH；对 aH，有a-1H。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(4),5.3.2 由子集构成子群的条件,(2)推论 假设 是群，H 是 G 的非空子集，则 是 子群的充要条件是：对 a,bH，有 a*b-1H。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(5),5.3.2 由子集构成子群的条件,(3)假设 是一个群，H 是 G 的非空有限子集，则 是 子群的充要条件是：对 a,b

21、H，有 a*bH。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(6),5.3.3 元素的周期,（1）群中元素的幂运算,假设 是一个群，aG。则 a0=e；ai+1=ai*a；a-i=(a-1)i(i 0)；am*an=am+n；(am)n=amn（m,n为整数）。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(7),5.3.3 元素的周期,（2）元素的周期,定义：设是一个群，aG。若存在正整数 n，使得an=e，则将满足该条件的最小正整数 n 称为元素 a 的周期或阶。若这样的 n 不存在，则称元素 a 的周期无限。元素 a 的周期记为：|a|。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期,例3

22、：是一个群，其中Z4=0,1,2,3，其运算表如右图。,0=0|0|=114=0|1|=422=0|2|=2 34=0|3|=4,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(8),5.3.3 元素的周期,（3）元素周期的性质,设是一个群，aG。a 的周期等于 a 生成的循环子群(a)的阶。即|a|=|(a)|；若 a 的周期为 n，则 am=e 的充分必要条件是 n|m。,2023/3/28,5.3 子群与元素周期(9),5.3.3 元素的周期,（3）元素周期的性质,推论：设 是一个群，aG。若 a的周期为 n，则(a)=a0,a1,.,an-1。,2023/3/28,5.4 循环群(1),5

23、.4.1 定义,设 是一个群，若在 G 中存在一个元素 a，使得 G 中任意元素都由 a 的幂组成，即 G=(a)=ai|iZ，则称该群为循环群，元素 a 称为循环群的生成元。,2023/3/28,5.4 循环群(2),5.4.2 循环群的性质,（1）设 是一个循环群。若 是 n 阶有限群，则；若 是无限群，则。,2023/3/28,5.4 循环群(3),5.4.2 循环群的性质,（2）循环群的子群必为循环群,（3）设 是 n 阶循环群，m 是正整 数，并且 m|n，则 G 中存在唯一一个 m 阶子群。,2023/3/28,5.4 循环群(3),设有一个由a生成的循环群,则我们有若a的周期无限

24、,则 与 同构。若a的周期为m,则 与 同构。,2023/3/28,5.5 置换群(1),5.5.1 置换及其运算,（1）有限集 S 到其自身的双射称为 S 上 的一个置换。当|S|=n 时，S 上的 置换称为 n 次置换。,2023/3/28,5.5 置换群(2),5.5.1 置换及其运算,2023/3/28,5.5 置换群(3),5.5.2 置换群,（1）定义：一个阶为n的有限集合S上所有的置换所组成的集合Sn及其复合运算构成群,称 为 n 次对称群(Symmetric group of degree n)，而 的任意子群称为 n 次置换群。n 次对称群的阶？|Sn|=？,2023/3/2

25、8,5.5 置换群(4),5.5.2 置换群,例1：假设 S=1,2,3，写出 S 的 3 次对称群和所有的 3 次置换群。,解：S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，并且 f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2),2023/3/28,2023/3/28,f1是单位元，（f1）=f1f2，f3，f4，的阶是2，（f2）=f2，=f1，f2（f3）=f3，=f1，f3（f4）=f4，=f1，f4 f5，f6 的阶是3,（f5）=f5，,=f1，f5,f6（f6）=f6，,=f1，f5,f6 f1,f1，f2,f1，f3,f

26、1，f4f1，f5,f6是子群，即3次置换群,2023/3/28,例：有那些对称群是可交换群（ABEL群）？,2023/3/28,5.5 置换群(6),5.5.2 置换群,（2）性质：（Cayley 凯利定理）任意 n 阶群必同构于一个 n 次置换群。,例2：给定一个正四边形，如图所示。四个顶点的集合为 S=1,2,3,4。,2023/3/28,5.6 陪集(1),5.6.1 左同余关系（左陪集关系）,定义：设是一个群，是其子群。利用 H 在 G 上定义关系：RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H则称 RH 为 G 上的模 H 左同余关系（左陪集关系）；RH为 G 上的

27、模 H 右同余关系（右陪集关系）。,2023/3/28,5.6 陪集(2),5.6.1 左同余关系（左陪集关系）,定理：设 是 的一个子群，则 G 中模 H 左同余关系是等价关系。,2023/3/28,5.6 陪集(3),5.6.2 左陪集,定义：设 是 的一个子群，则 aG 为代表元的模 H 同余关系的等价类a=a*h|hH，称为 H 在 G 内由 a 确定的左陪集。简记为：aH=a。,2023/3/28,5.6 陪集(4),5.6.2 左陪集,定理：设 是 的一个子群，则：(1)eH=H；(2)对a,bH，aH=bH b-1*aH(3)对aG，aH=H aH,2023/3/28,5.6 陪

28、集(5),5.6.2 左陪集,例：G=e,a,b,c,d,e,f。1、写出子群（a）2、证明（a）*c=c*（a）3、找出所有两个元素的子群4、求（d）的有陪集,2023/3/28,5.6 陪集(5),5.6.2 左陪集,例：设是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,试写出中每个子群及相应的左陪集。,2023/3/28,5.6 陪集(6),5.6.3 左商集和右商集,定义：设 是 的一个子群，由 H 所确定的 G 上所有元素的左陪集构成的集合称为 G对 H 的左商集，记为:SL=aH|aG;所有右陪集构成的集合称为 G 对 H 的右商集，记为:SR=Ha|aG。,2023/3/28,5.6 陪

29、集,设 是群 的子群。,（1）利用 H 定义 G 上的关系 RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H 则称 RH 和 RH分别为 G 上的模 H 左同余关系（左陪集关系）和右同余关系（右陪集关系）。,（2）H 在 G 内由 a 确定的左、右陪集简记为：aH=a=a*h|hH=ah|h H Ha=a=h*a|hH=ha|h H,（3）左、右商集SL=aH|aG、SR=Ha|aG,2023/3/28,5.6 陪集(7),5.6.3 左商集和右商集,定理：设 是任意群 的子群，则 G 关于 H 的左、右商集必等势。,定义映射 f:SLSR,对aG，f(aH)=Ha-1,2023

30、/3/28,例：设是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,运算表如下：,群的子群,5.6 陪集,2023/3/28,H1=0,SL=0H1,1H1,2H1,3H1,4H1,5H1 SR=H10,H11,H12,H13,H14,H15,H2=0,3,SL=0H2,1H2,2H2 SR=H20,H21,H22 所以SL与SR等势,5.6 陪集,2023/3/28,5.6 陪集(8),5.6.3 左商集和右商集,定义：设 是群 的子群，SL的基数称为 H 在G 内的指数。记为：G:H=|SL|。,2023/3/28,5.6 陪集(9),5.6.3 左商集和右商集,定理：设 是群 的子群，H 的任意左

31、陪集（右陪集）与 H 等势。,2023/3/28,5.6 陪集(10),5.6.4 Lagrange 定理,定理：假设 是有限群，是 的子群，则 H 的阶必整除 G 的阶，并且|G|=G:H|H|。n阶群的子群的阶一定是 n的因子。,2023/3/28,5.6 陪集(11),5.6.4 Lagrange 定理,（1）任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。,（2）素数阶的群必为循环群。,（3）假设是 n 阶有限群，则对 aG,|a|n（形象表示？）。,（4）假设是 n 阶有限群，则对 aG,an=e。,2023/3/28,5.7 正规子群(1),5.7.1 正规子群的定义,设 是群 的子群，如果对

32、 aG 有 aH=Ha，则称 是 的正规子群（不变子群）。,2023/3/28,5.7 正规子群(2),例：假设 S=1,2,3,S3=f1,f2,.,f6,2023/3/28,5.7 正规子群(3),是三次置换群，是三次对称群的子群，是否为正规子群？,2023/3/28,5.7 正规子群(3),H1=f1,aS3 是否都有 aH1=H1af1f1,f2=f1,f2=f2f1,f2,f1,f2f1=f1,f2=f1,f2f2f3f1,f2=f3,f5=f5f1,f2,f1,f2f3=f3,f6=f1,f2f6f4f1,f2=f4,f6=f6f1,f2,f1,f2f4=f4,f5=f1,f2f5

33、,2023/3/28,5.7 正规子群(4),5.7.2 判定正规子群的条件,定理：设 是群的一个子群，则以下条件满足：(1)对aG,aH=Ha(2)对aG,hH,必存在hH,使 h*a=a*h(3)对aG,hH,a*h*a-1H，或者 a-1*h*a H。,2023/3/28,5.7 正规子群(3),5.7.2 判定正规子群的条件,定理：群 的子群 是正规子群的充要条件是：对 aG，hH 有 a*h*a-1H，或者 a-1*h*a H。,2023/3/28,5.7 正规子群(3),5.7.3 商群,定义：子群 是群 的正规子群在G/H上定义新的运算：对 a,bG，有 aHbH=(a*b)H，

34、称为G对H的商群。,2023/3/28,5.7 正规子群(4),5.7.3 商群,例：N6,+6,H=0,2,4，H为N6的正规子群，故有商群 N6/H=0H,1H,*(0H=H;1H=1,3,5),其运算如下:(0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H;(0H)*(1H)=(1H)*(0H)=1H;(0H)-1=0-1H=0H;(1H)-1=1-1H=5H=1H.,2023/3/28,5.7 正规子群(5),5.7.4 子集的乘积,假设 是一个群，A,B 是 G的子集，集合 ab|aA,bB 称为A,B的乘积，记为A*B 或 AB。,（1）定义,2023/3/28,5.7 正规

35、子群(6),5.7.4 子集的乘积,（I）子集的乘积满足结合律。即(A*B)*C=A*(B*C),（2）性质,（II）在子集的运算下，任何子群都为幂等元，即HH=H。,2023/3/28,5.7 正规子群(7),5.7.4 子集的乘积,定理：设是群的正规子群，则对a,bG，aH*bH=(a*b)H,2023/3/28,Ring and Fields,Chapter 6,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(1),6.1.1 环,假设 是一个代数系统，其中，和*都是集合 A 上的二元运算，如果满足：（1）是交换群（Abel群）；（2）是半群；（3）*对 是可分配的；则称 是一个环。,202

36、3/3/28,6.1 定义及基本性质(2),6.1.2 环的性质,假设 是一个环。（1）因为是Abel群，所以满足结合性、交换性、消去律，中有单位元。,2023/3/28,约定：an=aaa=na；对a,bA,(ab)n=nanb;am+n=aman=(m+n)a;amn=(am)n=n(ma)。,6.1 定义及基本性质(3),6.1.2 环的性质,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(4),6.1.2 环的性质,（2）假设 e 是的单位元，对a,b,cA有：e*a=a*e=e a*b-1=a-1*b=(a*b)-1 a-1*b-1=a*b a*(bc-1)=(a*b)(a*c)-1(b

37、 c-1)*a=(b*a)(c*a)-1,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(5),6.1.3 由*运算确定的几种环,（1）在环 中，如果 是含幺半群，并且 e 是单位元，则称 e 为环的单位元。这时称 A 为有单位元的环（有 1 环）。如果元素 a 在 中有逆元，则在含有单位元的环中，该元素的逆也称为环中元素的逆。,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(6),6.1.3 由*运算确定的几种环,（2）如果环中只含有一个元素，此时该元素应该是 中的单位元，当然也是 中的单位元和零元，所以这种环称为零环。,（3）设 是环，当 是可交换半群时，称 是可交换环。,2023/3/28,5.

38、2 群的概念及其性质(12),例1：假设是一个二阶群，则是一个Klein群。,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(6),是Klein四元群。K=e,a,b,c;“.”运算定义如下，则是环。,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(6),例2：s是集合，P(s)是幂集，在P(s)上定义二元运算和*，则是环。,AB=x|xS(xAxB)xABA*B=AB,A，BP(s),2023/3/28,6.1 定义及基本性质(6),例3：全体整数按普通加法和普通乘法构成有单位元的环。全体偶数按普通加法和普通乘法构成环，但无单位元。m是整数,摸m的全体剩余类构成什么环？如：是一个环；是一个环。实系数

39、多项式全体按普通加法和普通乘法构成什么环？全体n阶方阵按矩阵的加法和乘法构成什么环？,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(1),6.2.1 零因子,设 是环，如果存在 a,bA，这里 a，b，但 a*b=，则称 a 为 A 中的左零因子，b 为 A 中的右零因子，左、右零因子统称为零因子。,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(2),6.2.1 零因子,例如：是一个环。其中,+4,4 的运算表如下：,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(2),6.2.1 零因子,例如 是一个环。其中,+5,5 的运算表如下：,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(3),6.2.1 零

40、因子,当一个环中不含有零因子时，称它为无零因子环。即对任意的 a,bA，若 a*b=，则必有 a=或 b=。,定理：设 是无零因子的环，则*在 A 上消去律成立。a*c=b*c 或c*a=c*b 得 a=b;反之亦然。,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(3),6.2.2 整环,设 是无零因子环，并且是可交换的含幺环，则称它为整环。即 是环，并且 有单位元，*运算可交换，对 a,bA，若 a*b=，则必有 a=或 b=。,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(6),例4：全体有理数（实数、复数）按普通加法和普通乘法构成无零因子的环，所以是整环。,2023/3/28,6.2 整环、

41、除环和域(4),6.2.3 除环、域,设 是一个含幺环，其单位元是e，如果A-e，并且是一个群，则称它为除环，可交换的除环是域。即是一个Abel群,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(1),除环,假设 是一个代数系统，其中，和*都是集合 A 上的二元运算，如果满足：（1）是交换群（Abel群）；（2）是群；（3）*对 是可分配的；则称 是一个除环。,2023/3/28,6.1 定义及基本性质(1),域,假设 是一个代数系统，其中，和*都是集合 A 上的二元运算，如果满足：（1）是交换群（Abel群）；（2）也是交换群（Abel群）；（3）*对 是可分配的；则称 是一个域。,2023/3/28,6.2 整环、除环和域(5),6.2.3 除环、域,域一定是整环，但整环不一定是域。,有限整环必为域。,假设 是一个无零因子的有限环，并且|A|2，则 一定是除环。,