高等数学》单元课程设计.doc

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1、高等数学单元课程设计课题函数授课班级上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数、分段函数掌握基本初等函数的图像和性质能力目标：能熟练建立简单问题的函数关系式，感知数学知识的逻辑性情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性教学重点与难点重点理解函数的概念，掌握基本初等函数的图像和性质难点就实际问题形成函数,建立实际问题的数学模型任务描述任务一：了解学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求任务二：通过案例分析，学会建立简单问题的函数关系式。教学方法案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1引

2、言任务1：学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求认识应用高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣2案例引入任务2：通过案例分析，学会建立简单问题的函数关系式。案例1气温与时间案例2邮件付费从学生实际生活中遇到的问题入手，引导学生分析问题引入概念，这样能激发学生的学习兴趣。3理解函数的概念1.函数的定义2. 函数的两要素3 函数的记号4 函数的三种表示方法,（1）图像法 （2）表格法 （3）公式法讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，4函数的性质函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性对于这部分知识只是通过例子和图象讲清性质、定理的内涵和外延，

3、重点是对性质的运用 ，从而培养学生的解题技巧和逻辑推力能力.这也体现了高职数学必须遵循的“以应用为目的，以必需、够用”为度的原则5练习巩固1.某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.2. 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型.巩固知识,形成技能,反馈矫正.6.课堂小结主要知识点： 1. 学习高等数学的意义、方法、内容、要求2.函数、分段函数、基本初等函数、复合函数和

4、初等函数的定义，函数的表示法，基本初等函数的图形，初等函数的函数值、定义域、值域的确定，复合函数的分解。3.函数的基本性态（奇偶性、周期性、单调性和有界性）的定义及其几何特巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.7.作业课本习题、教学案例结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计2课题函数授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解复合函数、初等函数的概念、掌握初等函数的定义;能力目标：能熟练判函数关系是否为初等函数，感知数学知识的逻辑性情感目标：通过实际案例激发学

5、生学习数学的积极性教学重点与难点重点理解初等函数的概念，掌握初等函数的类型难点分析复合函数的结构，建立实际问题的数学模型任务描述任务一：了解学习高等数学的意义、方法、内容，学习的要求任务二：通过案例分析，学会区分函数类型.教学方法案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1引言任务1：学习从数学的角度看待世间万物之变化.认识应用高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣2案例引入任务2：通过案例分析，认识复合函数.案例:收入和价格变化和销量变化之关系. 从学生实际生活中遇到的问题入手，引导学生分析问题引入概

6、念，这样能激发学生的学习兴趣。3理解复合函数的概念1.复合函数的定义: 若函数的定义域为，函数在上有定义，其值域为且，则对于任一，通过函数有确定的与之对应，通过函数有确定的值与之对应这样对于任一，通过函数有确定的值与之对应，从而得到一个以为自变量，为因变量的函数，称其为由函数和复合而成的复合函数，记为，其定义域为，称为中间变量2. 判定函数是否是复合函数讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，4复合函数的拆分复合1. 将基本初等函数合成复合函数2. 将复合函数拆成简单函数通过练习锻炼学生思维,结合例题讲清概念的内涵和外延，重点是对复合函数的结

7、构的分析.5.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数。让学生学会运用概念,分析问题解答问题.6.典型例题例题1分析下列复合函数的结构：(1) =；(2) =.例2有一个圆锥形的漏斗,其母线长 20厘米,试将漏斗的容积V表示为它的高h的函数,并指明定义域. 根据相关知识建立函数关系，以培养学生分析问题、解决问题的能力7练习巩固1.某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.2. 一下水道的

8、截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型.巩固知识,形成技能,反馈矫正.8.课堂小结主要知识点： 1. 学习高等数学的意义、方法、内容、要求2.复合函数和初等函数的定义，函数的表示法，基本初等函数的图形，初等函数的函数值、定义域、值域的确定，复合函数的分解。巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.9.作业课本习题、教学案例结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计3课题极限（一）授课班级略上课时间2学时

9、课型理论课教学目标知识目标：了解函数极限的描述性定义能力目标：具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联系情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中教学重点与难点重点1.理解数列、函数的极限概念和性质；2.掌握极限存在的充要条件；难点熟练练判断分段函数在分段点处极限是否存在.任务描述任务一：会求分段函数在分界点的极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容设计意图1数列极限1引例：公元前3世纪，道家代表庄子天下篇：一尺之棰，日取其半，万世不竭2.数列极限3.单调有界定理由我国古

10、代数学案例引入概念, 培养学生的的学习兴趣和民族自豪感2函数的极限1.时函数的极限2. ()时函数的极限定理3. 时函数的极限定理2讲清概念的内涵和外延，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力，3极限的性质1唯一性 2有界性 3保号性 注：逆命题不成立 4.夹逼准则讲清定理的条件和结论，感受数学知识的高度严谨与抽象性,培养学生的抽象概括能力和语言表达能力4.无穷小量1.无穷小量的定义2极限与无穷小之间的关系3.无穷小量的运算性质定理2.有限个无穷小量的代数和是无穷小量定理3. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论1. 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量推论2. 常数与

11、无穷小量的乘积是无穷小量注意: 两个无穷小之商未必是无穷小，对于这部分知识只是通过例子和图象讲清性质、定理的内涵和外延，重点是对性质的运用 ，从而培养学生的解题技巧和逻辑推力能力.5.无穷大量（1）无穷大的定义在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” （2）无穷小量与无穷大量的关系定理4.（在无穷小量与无穷大量的关系）自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量例3.自变量在怎样的变化过程中，下列函数是无穷大量1.结合例

12、题讲清概念的内涵和外延，重点是对复合函数的结构的分析6练习巩固课本习题2：1（1）（2）（3）（4），2（1）（2），3（1）（2）巩固知识,形成技能,反馈矫正.7课堂小结主要知识点：1. 极限的概念与方法，及时函数极限定义及数列极限的定义；2. 函数极限和数列极限的几何意义；3. 无穷小量、无穷大量的定义；4. 无穷小量与无穷大量的关系。巩固知识，明确要求，整理知识结构与思想方法，培养学生的组织能力，形成完整的知识体系.8作业课本习题结合本专业特点，达到理解概念，培养能力，发展学生面对实际问题，运用所学知识，解决问题的应用意识.高等数学单元课程设计4课题极限（二）授课班级略上课时间2学时课型

13、理论课教学目标知识目标：掌握极限的四则运算法则能力目标：具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联系情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务一：对某种电子产品的销售作出预测任务二：运用极限的四则运算法则求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.导入任务一：某商场推出某种电子产品时，在短期内销量会迅速增加，然后下降，其函数关系为，请你对该产品的长期销售作出预测分析：所以购买次电子产品的人将越来越少，转而买新的电子产品2.极限的运算法则极限四则运算法则 由极限

14、定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若，则存在，且。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理2：若，则存在，且。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理3：设，则。注：以上定理对数列亦成立。分析：定理和推论只要求掌握它的意义和运用，对证明不作要求任务二：求下列例题中的极限【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，则。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 。【例6】求。解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，所以。【

15、例7】求。解：当时，故不能直接用定理5，又，考虑：， 。【例8】若，求a,b的值。当时，且【例9】设为自然数，则 。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6定理5，先变形： 【例10】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式3.课堂练习课本习题2：1（1）（2）（3）（4）（5）（6）， 2.4.课时小结 1. 函数极限的运算法则及其应用；2. 综合应用极限的运算法则计算函数极限的方法5.作业题课本习题3：1（1）（2）（3）（4）（5）（6）高等数学单元课程设计5课题极限（三）授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：会用两个重要极限求极限，会无穷小

16、的比较能力目标：能用极限的概念分析实际问题情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，严谨求是的作风任务描述任务一：会计算连续利率问题任务二：会利用两个重要极限求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1导入任务一：连续利率问题储户在银行存钱银行要给储户利息。如果年利率一定，但银行可以在一年内多次付给储户利息，比如按月付息、按天付息等。某储户将1000美元存入银行，年利率为5%。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔的地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问1)

17、 随着结算次数的增多，一年后该储户的本息和是否也在增多？2) 随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱是否会无限变大？案例分析 若该储户每月结算一次，则每月利率为：0.05/12故第一个月后储户本息共计：; 第二个月后储户本息共计：， ，依此，一年后该储户本息共计：. 若该储户每天结算一次，假设一年365天，则每天利率为：0.05/365故第一天后储户本息共计：;第二天后储户本息共计：， 则一年后储户本息共计： 一般地，若该储户等间隔地结算n次，则有一年后本息共计： 于是，可以得到如果储户等间隔地结算n次，一年后本息共计的一个函数：随着结算次数的无限增加，有,故一年后本息共计：怎样计算

18、上述极限？引入课题. ， 2.重要极限11. 第一个重要极限：下面将证明第一个重要极限：。说明：（1）此极限中的一定要用弧度作单位。（2）应用时要保证极限中的、和分母三者中的形式一致（3）对于此极限要求掌握它的结构特点和应用，它的证明只是了解任务2：求下列极限【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。3.重要极限2第二个重要极限：即 注意： 1：我们可证明：， 2：指数函数及自然对数中的底就是这个常数。3. 对于此极限要求掌握它的结构特点和应用。任务1的解决：nnn)05.01(1000lim+=1051.27结论： 计算结果说明随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱不会无限变大，该储

19、户一年本息和最多不超过1052美元。 通过实验结果可以知道，只要年利率一定，不管银行采取多么小时间间隔的付息方式，都不会导致付息的无限增多的结果任务2：求下列极限 【例1】 【例2】 【例3】【例4】 4.练习1. 求下列极限： （强调函数的恒等变换及变量替换） （1） ； （2） ； （3） ；（4） 。2. 求下列极限：（强调与其它方法的综合运用） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。5.知识小结1. 掌握两个重要极限2. 两个重要极限计算函数极限的方法6.作业 习题2：6，7，8高等数学单元课程设计6课题函数的连续性授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标

20、：理解函数在一点连续的概念，能力目标：能用连续的定义描述电流等专业现象的特征情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务：会判断函数在一点是否连续教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1案例分析导入课题连续性是函数的重要性态之一。他不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径。本节将运用极限概念对它加以描述和研究，案例1某日气温变化案例2小孩个子的长高2 函数在一点连续的概念定义设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ，则称函

21、数在点处连续，或称是的一个连续点定义若，则称函数在点处连续 左右连续的概念若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续 函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：函数在点的某邻域内有定义，存在，这个极限等于函数值函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续说明：（1） 点连续性的两个定义本质相同，只是叙述的角度不同。（2） 函数在某点连续必须

22、同时满足三个条件：函数在该点的某个邻域内有定义； 函数在该点的极限存在； 极限值等于该点的函数值 （3）用“点连续性的两个定义”可证明初等函数的点连续性；用“左连续和右连续” 可证明分段函数在其分段点处的连续性。例1 讨论函数在处的连续性解 ，而，即因此，函数在处连续例2. 讨论函数在点的连续性解 这是一个分段函数在分段点处的连续性问题由于在点的左、右两侧表达式不同，所以先讨论函数在点的左、右连续性因为，所以在点左、右连续，因此在点连续例3.由上图可看出：，虽然当时的左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一个确定的常数，因而当时的极限不存在，故函数在点不连续3.练习讨论函数在点的连续性解

23、作出它的图象（如下图所示）， y -1 O 1 x -1 -2 4.课堂小结1.函数的点连续性、区间连续性定义及判定条件；5.作业习题2：10 （1） （2）高等数学单元课程设计7课题函数的连续性-间断点授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型，了解初等函数的连续性能力目标：能用连续的定义描述专业现象的特征情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中任务描述任务一：会判断函数间断点的类型任务二：会利用函数的连续性求极限教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学

24、过程设计教学环节教学内容1案例分析导入课题前面我们了解了函数在一点连续的情况,通过例题看到了优势函数在某处是不连续的情况,如练习题.此时我们称函数为间断.复习内容-如: 讨论函数在点的连续性解 作出它的图象（如下图所示）， y -1 O 1 x -1 -2 由上图可看出：，虽然当时的左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一个确定的常数，因而当时的极限不存在，故函数在点不连续称此处函数间断.2.间断点若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点1 间断点的分类设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点对于第一类间断点有以下两种情形： 当与都

25、存在，但不相等时，称为的跳跃间断点； 当存在，但极限不等于时，称为的可去间断.3.练习例 4讨论函数 ， 在点处的连续性 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续例5 计算下列极限： 解 因为是初等函数，且是它的定义区间内的一点，由定理3，有例6 计算下列极限： 。解 所给函数是初等函数，但它在处无定义，故不能直接应用定理3易判断这是一个“” 型的极限问题经过分子有理化，可得到一个在处的连续函数，再计算极限，即4初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的最大

26、值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得介值定理 设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性5.课堂小结1.函数的点连续性、区间连续性定义及判定条件；2.初等函数的连续性；3.闭区间上连续函数的最值和介值性质及其推论；4.函数间断点与判定方法；5.求函数极限方法综合。作业习题2：10 （1） （2）高等数学单元课程设计8课题极限习题课授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识

27、目标：掌握本模块的知识要点能力目标：能利用求函数极限的各种方法求极限情感目标：通过求函数极限的练习，培养学生的钻研精神，强化逻辑思维的能力任务描述任务一：掌握本模块的知识要点任务二：能利用求函数极限的各种方法求极教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容一、知识要点一、知识要点 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) ， (2) (代表同一变量).

28、3.基本方法 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限； 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.二、例题精解二、例题精解 例1 求下列极限: (

29、1) ； (2) (3) (4) ； (5) ； (6) .解 (1)由于讨论函数在处有定义，而且在处连续，所以有(2) （这是型，设法将其化为）(3) (4) （5）、（6）解略。课堂练习练习：习题二：5,6,7,8作业课本习题2：9，10，11，12高等数学单元课程设计9课题导数的概念授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：理解导数和微分的概念、了解导数的几何意义，知道函数可导与连续之间的关系能力目标：能用导数描述生活和建筑工程专业中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，求是严谨，积极学习的精神。任务描述任务一：如何计算变速直线运动的瞬时速度？任务二：怎样

30、求平面曲线的切线斜率？教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.课题导入任务1.变速直线运动的瞬时速度。知. 物体在到+这段时间内 的平均速度： t 任务2：切线问题切线的定义：设有曲线C及C上一点（如图）在点外另取C上一点，作割线，当点沿曲线C趋于点时如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线C在点处的切线这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零TyoMy=f(x)x0 Nx0+xQx设曲线C为函数的图形，设（是曲线上一个点，则根据上述切线的定义，要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切

31、线的斜率就行了为此在C上于点外另取一点，于是割线和斜率为 其中为割线的倾角，当点沿曲线C趋于点时，如果当时，上式的极限存在，设为即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里为切线的倾角，于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线C在点处的切线事实上，=，可见，时（这时），因此直线确为曲线C在点处的切线2.导数的概念1定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即 .若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为 .2 左导数与右

32、导数 函数在点处的左导数 . 函数在点处的右导数.函数在点处可导的充要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等3.导数的几何意义导数的几何意义 函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴.函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线.4.变化率变化率：函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变

33、量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 5.可导与连续的关系可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.例1 求在处的导数.例2 求 ，的导数.解 当时， ， 当时，当时，所以 ，因此 ，于是 6.求导举例求导举例 例2求函数sinx的导数解：xR，即，xR，类似地，xR，例3求函数lnx的导数解：x(0，)，即任意x0，举例： 总结：求导步骤1求增量 2算比值 3取极限7.课堂小结1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.可导与连续的关系 3.几个基本初等函数的求导公式高等

34、数学单元课程设计10课题导数的运算导数的基本公式和四则运算法则授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握导数的基本公式和运算法则能力目标：能用导数描述生活和建筑工程专业中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，求是严谨，积极学习的精神。任务描述任务一：学会利用导数的四则运算法则求导教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容1.函数的和差积商的导数定理1 设函数在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在处可导，且（1） （2） （3） 推论 （C为常数）说明：

35、定理1中的（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形如设均可导，则有 2.求导举例例1 设，求.解： .例2 设，求：.解: 例3 设，求.解: . 例4 已知,求: .解: . 例5 设,求:.解: 原式化简为. .求的导数.解: 首先. 同样,例6 设，求3.基本初等函数的导数公式导数的基本公式（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、 （8）、（9）、 （10）、（11）、 （12）（13）、 （14）、（15）、 （16）、4.巩固练习课本习题3：1（1）-（10），5.课堂小结(1)熟练记住常数和基本初等函数的导数公式;(2)熟练运用求导法则;(3)掌握一定的计算

36、技巧.高等数学单元课程设计11课题导数的运算复合函数的求导法则授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握复合函数和反函数求导的运算法则能力目标：能用复合函数的导数解决生活和建筑工程中与变化率相关的问题。情感目标：通过实际案例培养学生勤奋钻研，积极学习的精神。任务描述任务一：怎样求气球充气式半径增加的速度任务二：能用复合函数的求导法则求导教学方法多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。教学参考资料高等数学，侯风波主编，高等教育出版社，2005.教学过程设计教学环节教学内容课题引入任务1：设气体以100的常速注入球状的气体，假定气体的压力不变，那么当半径为10时，气球半径增加的速率是

37、多少？要解决此类问题，我们需先学习复合函数的求导法则 1.复合函数的求导法则复合函数求导法则设，则复合函数的导数为 复合函数求导法是函数求导的核心：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数当熟练掌握该方

38、法后，函数分解过程可不必写出2.求导举例例1 设，求. 解 令，由复合函数求导法则有 ，如果不写中间变量，可简写成 ，3.应用任务1 解 设在时刻时，气球的体积与半径分别为和.显然 所以通过中间变量与时间发生联系，是一个复合函数 根据题意，已知，要求当时的值.所以得 将已知数据代人上式得. 4.练习案例2：若水以的速度灌入高为，底面半径为的圆锥型水槽中，问当水深为时水位的上升速度为多少？课本习题3：4（11）-（20）5.反函数的求导定理3 如果单调连续函数在点处可导，而且，那么它的反函数在对应的点处可导，且有或 例1函数证明R，相应的且有法则,得特别地，例2 函数证明:(略)说明:.为什么?6.课堂小结复合函数的导数的求导法则反函数的求导法则7.作业课本习题3的部分习题及 案例解答，以书面形式高等数学单元课程设计12课题隐函数的求导法则和高阶导数授课班级略上课时间2学时课型理论课教学目标知识目标：掌握隐函数所确定的函数的导数，掌握高阶导数的概念及求法 能力目标：会求隐函数的导数，能用二阶导数的意义分析实际问题概念情感目标：通过实际案例激发学生学习数学的积极性任务描述任务一：会求隐函数和参数式函数的导数任务二：会求高阶导