苏教版数学八年级上册全册ppt课件.pptx

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1、苏教版八年级上册数 学 全册优质课件,全等图形,观察下面的图形：,你有什么发现？,能完全重合的图形叫做全等图形.两个图形全等，它们的形状、大小相同.,请举例，生活中还有哪些属于全等图形？,A,B,C,D,E,F,(1),观察下图，从中找出全等图形，与同学交流。,(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),全等图形有：（1）和（9）、（2）和（8）、（3）和（6）。,议一议：,上图中，（4）和（7）、（5）和（10）为什么不是全等图形？,两个图形形状相同，但大小不同。,两个图形面积相同，但形状不同；,它们不能重合，不是全等图形,全等图形的特征是：能够完全重合。,形状

2、与大小全都相同,练一练：请判断下列哪些属于全等图形_（1）两个面积相等的等腰三角形（2）两个周长相等的等腰三角形（3）两个面积相等的等边三角形（4）两个周长相等的等边三角形（5）两个周长相等的长方形（矩形）（6）两个面积相等的长方形（矩形）（7）两个周长相等的圆（8）两个面积相等的圆,B,A,D,C,1.8,1.如图，四边形ABCD与四边形EFGH全等，根据图中的数据，则CD=_，EH=_,E=_,90,小试牛刀,练一练,用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等图形。,练一练,我们看看下面的几种划分方法，与你的划分方法对比一下，看看自己是如何划分的。,说说这节课你学到了哪些知识？,全等三角

3、形,这两个图形有怎样的关系？,图片欣赏,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,以上各组中的图形都能完全重合，每一组图形都是全等形.,两个完全重合的三角形叫做全等三角形。,记作：ABCDEF。,新知探究,对应顶点,对应边,对应角,表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。,如：BCA,EFD,AD，BE，C F（全等三角形的对应角相等）。,ABC DEF（已知），ABDE，BCEF，ACDF（全等三角形的对应边相等），,3小组内讨论交流4各组代表展示,操作思考,要求：,1任意剪两个全等的三角形,2利用这两个全等三

4、角形组合新的图形,思考：怎样改变ABC的位置，使它与DEF重合？,两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？,F,F,1如图ABD CDB，若AB4，AD5，BD6，ABD30，则BC_，CD_，CDB_,尝试交流,5,4,30,拓展延伸,1.如图，ABCADE，C50，D45,CFA75，求BAC和BAE的度数.,答案：85；115,2如图，ABCDEF，B与E，C与F是对应顶点通过怎样的图形变换可以使这两个三角形重合？,旋转,课堂小结,基础知识：,从观察全等图形着手，类比归纳出全等三角形的有关概念，会用几何语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地

5、找出对应顶点、对应边、对应角。,用运动变化的观点让学生经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法。,基本思想方法：,探索三角形全等的条件,（2）小明想判别ABC与DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？,问题情境：,如图，ABC与DEF、MNP能完全重合吗？,探索活动：,ABC与MNP能完全重合,（3）按下列作法，用直尺和圆规作ABC，使 A，ABa，ACb,作法：1作MAN 2在射线AM、AN上分别作线段ABa，ACb 3连接BC，ABC就是所求作的三

6、角形,图形：,a,b,探索活动：,提炼归纳：,基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）,新知应用：,例 如图，AB=AD，BAC=DAC.求证：ABC ADC,通过本节课的学习，你有什么体会？,体会小结：,探索三角形全等的条件(2),（1）如图，ABAC，还需补充条件_ _，就可根据“SAS”证明ABEACD.,问题情境：,AD=AE,（2）“三月三，放风筝”如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据ABCB，ABDCBD，不用度量，就知道ADCD请你用所学的知识给予说明,问题情境：,证明：在ABD和CBD中 ABDCBD（SAS）AD=CD,合作探究：,例

7、1如图，已知：点D、E在BC上，且BDCE，ADAE，12，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明,ABEACD证明：BDCE BD+DECE+DE即BE=CD在ABE和ACD中ABEACD（SAS）,例2已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD 的中点求证：AEC BED ACDB,合作探究：,证明：E是AB、CD 的中点AE=BE，CE=DE在AEC 和BED中 AEC BED（SAS）,由得：AEC BED C=DACDB,例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE=DF，AE BF,AE BF.求证：AEC BFD,合作探究：,证明：AE BF AEC=BFD在AEC 和B

8、FD 中CE DFAEC=BFDAE BF,.AEC BFD（SAS）,探索三角形全等的条件（3）,2判断三角形全等至少要有几个条件？,答：至少要有三个条件,在ABC与 DEF中，ABDE（已知），BE（已知），BCEF（已知），ABCDEF（SAS）,回首往事,1上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（边角边或“SAS”）,请你和小明一起画：请用圆规和直尺画ABC，使ABa，A，B,做法：（1）作ABa,（2）在AB的同一侧分别作MAB，NBA，AM、BN相交于点C,（4）ABC就是所求作的三角形,a,（3）分别连接AB、AC,说一说,1.图中有几对全

9、等三角形？你能找出它们，并说出理由吗？,(1)与(6)全等；(2)与(4)全等；(3)与(5)全等.,（已知），,（已证），,（对顶角相等），,证明：O是AB的中点（），AOBO（），,AB,已知,中点的定义,AOC,BOD,在AOC与BOD中，,AOC与 BOD,AOBO,（ASA）,2.如图,O是AB的中点，A=B，AOC与BOD全等吗？为什么？,3.已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE/AC，DF/AB 求证：BEDF，DECF,做一做,证明：D是BC的中点BD=CD DE/AC，DF/ABB=CDF，BDE=CBDEDCF（ASA）BEDF，DEC

10、F,探索三角形全等的条件（4）,解决下面的问题：已知：如图，AD，ACBDBC求证：ABDC.,证明：AD，ACBDBCABC=DCB在ABC和DCB中 ABCDCB（ASA）ABDC,已知：ABC与DEF中，AD，BE，BCEF.求证：ABCDEF,证明：AD，BEC=F在ABC和DEF中 ABCDEF（ASA）,推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等简称“角角边”或“AAS”,在ABC与ABC中，BB（已知），CC（已知），ABAB（已知），ABC ABC（AAS）,观察发现,1 如图ACBDFE，BCEF，根据“ASA”,应补充一个直接条件_，根据“AAS”，那么补充的条件为

11、_，才能使ABCDEF,AD,说一说,BE,F,2如图，BECD，12，则ABAC吗？为什么？,AB=AC，因为ABEACD,探索三角形全等的条件（5）,三角形全等判定方法1,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中，,ABCDEF（SAS）,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。,F,E,D,C,B,A,一、回顾与思考,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法2,在ABC与DEF中，,ABCDEF（ASA）,用符号语言表达为：,一、回顾与思考,三角形全等判定方法3,两角分别相等且其

12、中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中，,ABCDEF（AAS）,一、回顾与思考,如图，已知AD平分BAC，要使ABDACD，(1)根据“SAS”需添加条件；(2)根据“ASA”需添加条件；(3)根据“AAS”需添加条件。,ABAC,BDACDA,BC,一、回顾与思考,1如图,AB，12，EAEB，你能证明ACBD吗?,二、分析与讨论,2如图,点C、F在AD上,且AFDC,B=E,AD，你能证明ABDE吗?,二、分析与讨论,1为了利用“ASA”或“AAS”定理判定两个三角形全等，有时需要先把已知中的某个条件，转变为判定

13、三角形全等的直接条件。,三、归纳与总结,2证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到。,四、理解与应用,例 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EAFB，ECFD，EAFB。求证：ABCD。,上面的推理过程可以用符号“”简明地表述如下：,四、理解与应用,EAFBAFBDECFDECADEACFBD EACFBDEAFBACBDABBCCDBCABCD,七、课堂小结,通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？,探索三角形全等的条件（6）,一、问题情境,小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，请你说说小明该怎么办？

14、,用直尺和圆规作ABC，使ABc，ACb,BCa.,2分别以点A、B为圆心，b、a的长为半径画弧，两弧相交于点C.,3连结AC、BC.,a,b,c,A,B,C,ABC就是所求作的三角形.,你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？,二、自主探究,三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）,在ABC和DEF中，,ABC DEF（SSS）,二、自主探究,如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定三角形的这个性质叫做三角形的稳定性,二、自主探究,1.下列图形中，哪两个三角形全等？,三、知识应用,与全等；与全等.,变式1：若将上题中右边的三角形向左平移

15、（如图），若ABDF，ACDE，BECF.问：ABC和DFE全等吗？,2如图，C点是线段BF的中点，ABDF，ACDC.ABC和DFC全等吗？,C,E,三、知识应用,全等,全等,变式2：若将上题中的三角形继续向左平移（如图），若ABDC，ACDB，问：ABCDCB 吗？,C,E,三、知识应用,2如图，C点是线段BF的中点，ABDF，ACDC.ABC和DFC全等吗？,全等,3.已知：如图,在ABC 中，ABAC，求证：BC.,三、知识应用,1.已知：如图，ABCD，ADCB，求证：BD.,四、尝试练习,五、课堂小结,通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？,轴对称与轴对称图形,一：图片欣赏同时观察

16、这些图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？,二：学生实验（1）,把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？,概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。,轴对称图形的概念,练 习1尽可能多地在你的周围环境中找出轴对称的物体和建筑物.2观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形.,三：学生实验（2）,在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么？,归纳：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么这两个图形关

17、于这条直线轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。,轴对称及其特性,练习：1,下面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？,1,2,3,4,5,2,某人在镜子里看到的数为5801，则实际的数为,四：观察图案，探索发现：观察图案：轴对称图形和轴对称是不是一回事？它们有什么区别？对称图形和轴对称的区别,轴对称图形与轴对称的区别与联系 轴对称 轴对称图形 不同点 两个图形 一个图形 相同点 都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合,轴对称与轴对称图形的联系：,若把轴对称图形沿某条对称轴两侧的部分分别看成一个图形，那么在两侧的这两个图形就是成轴对称的两个图形

18、（如蝴蝶的两个翅膀）；若把轴对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是一个轴对称图形（如两扇门看作一个图形、月亮在水中的倒影）。,五：结束部分对称之美的遐想,这节课我们初步认识了生活中的轴对称图形。在日常生活和工业生产中，我们不断见到关于对称的图形，这些图形匀称美观，所以常常用于建筑及工艺品的装饰图案。实际上，对称的含义已经远远超过了数学的范畴，出现在自然艺术、科学乃至诗歌中。没有“对称”不一定不美，但有了“对称”生活会更美。你听，这首经典名曲雪绒花，不也是充满了对称美吗？！,轴对称的性质,A,如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA

19、，AA与l相交于点O,你有什么发现（小组交流）？,l,l,活动一：,A,O,OA=O A,所以 线段OA、OA重合，,因为 12 且 12180，,即 O是AA的中点,所以 1290,所以 l 垂直且平分AA,因为 把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A重合，,垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(midpoint perpendicular).,l,如图，直线 l 交线段AB于点O,190，AOBO，直线l是线段AB的垂直平分线,仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、AB、BB你有什么新的发现？,l,活动二：,如图，并仿照上面进行操

20、作，扎孔、展开、标记、连线,ABC 与ABC有什么关系？,你能得出什么结论？,活动三：,ABC ABC,1成轴对称的两个图形全等,2成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分,轴对称的性质：,说一说,轴对称的性质,A,A,例1小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前,（1）图中两个“4”有什么关系？,（2）你能画出镜子所在直线l的位置吗？,（1）,（2）图中点A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD=，CAB=，ACD=.,E、G、F、H,EF、EG,FH,FEG,EFH,（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗？为什么？,因为 A和E，B和G是

21、关于直线 l 的对称点，,所以 lAE，lBG,所以 AE BG,解：（3）平行,（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？,解：（4）不一定,如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上，,从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上,（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗？,轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行,小结,（1）成轴对称的两个图形全等,（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线,1轴对称的性质：,2轴对称图形对称点的连线互相平行或在

22、同一条直线上,3轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行,思考：,如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形,A,C,去掉网格线，你能找出点C关于直线AB的对应点么？,思考,A,C,点A关于直线AB的对应点有么？,B,你能画出线段AC关于直线AB的对称图形么？,如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段AB？,A,A,l,O,B,B,l,A,B,A,B,如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段AB？,l,A,B,A,B,如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关

23、于直线l的对称线段AB？,画出ABC关于直线MN的对称图形,A,A,C,B,B,C,N,M,在图中，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称。连接AC、BD。设它们相交于点P。怎样找出点P关于l的对称点Q？,成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。,P,Q,通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？,设计轴对称图案,找出其中的轴对称图案及其对称轴欣赏由若干块地砖铺设而成的图案，,图案欣赏：,对称的美术图案除了图形对称以外，颜色也是对称的。,对称的美术图案除了图形对称以外，颜色也是对称的。,图中有几条对称轴？请增加红色方格，使它有4条对称轴。,实验：设计轴对称图案（1）制作4张如图所

24、示的正方形纸片（2）将制作好的4张纸片拼合在一起，能得到不同的图案，如果考虑颜色“对称”你能画出下面三个拼成的图形的对称轴吗？,（3）你还能设计出其它的图案吗？是轴对称的图案吗？请顺便画出对称轴.,让学生开展活动，动手操作，教师对拼图有困难的学生进行适当指导和帮助，引导其顺利完成任务.,如图，有图1、3的图案各4张，请分别 贴在图2、4中，使得整个图案为轴对称图案。,尝试铺设：,涂色构造：,如图，有图5只有1条对称轴。在图5基础上，再对其他圆涂色而得到的 图6、7有几条对称轴？,请在图8中再找2个圆涂色，使得整个图案仍然只有1条对称轴；请在图9中再找3个圆涂色，使得整个图案有4条对称轴；在图1

25、0中，至少再找多少个圆涂色，才能使得整个图案有2条对称轴？,张兰的姑姑过几天就要结婚了，她想请张兰帮她剪几个“囍”字，装饰一下新房，张兰想请大家一起帮她剪，好不好？,传统文化：,第一次折叠,第二次折叠,折叠两次后的样子！,你会剪吗？,经过本节课的学习，你有哪些收获？,线段、角的轴对称性,在一张薄纸上画 AOB，操作并思考：它是轴对称图形吗？为什么？,【做一做】,角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？,B,角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.,1.在AOB的角平分线OC任意取一点P，分别作出点P到OA、OB的距离，对折一下，你发现了什么？,【想一想】,B,C,D,E,已知：如图，

26、在AOB的角平分线OC任意取一点P，PDOA，PEOB.求证：PDPE.,2.像这样的点P还有吗？,点P在角平分线OC上，PDOA，PE OB，PDPE,定理 角平分线上的点到角两边的距离相等,下图中PDPE吗？,在上面的结论中，由条件：(1)OC是AOB的平分线，点P在OC上；(2)PDOA，PEOB，才能得出PD=PE，两者缺一不可,还有其他间接结论吗？,【说一说】,如图，OC是AOB的平分线，PDOA，PEOB，则下列结论：DOP=EOP，OPD=OPE，PD=PE，OD=OE中，正确的有_,角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？,如图，若点P在AOB内部，PD

27、OA，PEOB，且PDPE，点P在AOB的角平分线上吗？为什么？,你能得到什么结论？,【想一想】,PDOA，PE OB，PDPE，点P在角平分线AC上,定理 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上,角平分线是到角两边距离相等的点的集合,1如图，OC是AOB的平分线，PDDA于点D，PD=5，则P点到OB的距离是_,【做一做】,2如图，在ABC中，B=90，BC=10，BAC的角平分线AD交BC于点D，BD：DC2：3，则点D到AC的距离是_,【做一做】,3如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB于点E，交AC于点F，若SABC7，DE2，AB4，则AC_,【做一做】,4在

28、RtABC中，C=90，BD平分ABC交AC于点D，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E两点且DE1cm，BD2cm则AC的长为_cm,【做一做】,已知AOB和C、D两点，请在图中标出一点E，使得点E到OA、OB的距离相等，而且E点到C、D的距离也相等。,E,做一做,思考：已知：在ABC中，D是ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断BED与BFD的关系，并说明理由.,已知：在ABC中，D是ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断BED与BFD的关系，并说明理由.,变式：,说说你本节课你有什么收获？,【课堂小结】,等腰三角形的轴对称性,【

29、情境引入】,1.观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角.,【情境引入】,2.把该等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有什么发现？,【探究活动】,问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.,问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想.,【探究活动】,学生分组讨论，交流结果,问题一：等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴.,【探究活动】,学生分组讨论，交流结果.,问题二：,【探究活动】,学生分组讨论，交流结果.,问题三：等腰三角形是轴对称

30、图形.,等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴.,等腰三角形的两个底角相等.,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.,【归纳总结】,我们有如下定理：等腰三角形的两底角相等.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.,思考：如何证明这个定理？,如何构造两个全等的三角形?,【定理证明】,思考：如何证明这个定理？,作顶角的平分线，用“SAS”证明.,则有12，,D,1,2,在ABD和ACD中，,证明：作顶角的平分线AD，,ABAC，,12，,ADAD,（公共边），,ABD ACD,（SAS），,BC,（全等三角形对应角相等）,【定理证明】,【定理证明】

31、,思考：你还可用什么方法证明上述定理？,也可作底边上的高，用“HL”证明.,作底边上的中线，用“SSS”证明.,【操作尝试】,按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BCa,高ADh.,【课堂小结】,本节课你的收获是什么？,等腰三角形的轴对称性（2）,1等边对等角,2顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一,问题：如右图所示ABC是等腰三角形，ABAC，倘若一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看,方法一：用角的相等来画.,方法二：用过一边中点作垂线的方法来画.,情境引入,手 推 门

32、,探索发现一,请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：,1在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC,2以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A,3用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折,问题：AB与AC是否重合？重合,B,C,A,D,.,在BAT和CAT中，12(角平分线定义)，BC(已知)，ATAT(公共边)，BATCAT(AAS)，ABAC(全等三角形对应边相等),已知：在ABC中，BC求证：ABAC,证明：（1）作A的平分线交BC于T,A,B,C,T,（2）过A点作ADBC，垂足为D,A,B,C,D,ADBC，AD

33、BADC，在ADB和ADC中，ADBADC，BC，ADAD，ADBADC，ABAC,思考：通过这题的证明你发现了什么结论？,1,2,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,(简称“等角对等边”),发现,BCABAC(等角对等边),规范,请思考：“等边对等角”与“等角对等边”是否一样？它们的主要区别在哪里？,（它们的条件与结论正好调换了位置）,回头一看，我想说,学会分享,通过本节课的学习：（1）你有哪些收获？（2）你还有什么疑惑？,等腰三角形的轴对称性（3）,问题：等腰三角形有哪些性质？等边对等角，三线合一，轴对称形等等,1.已知：如图，EAC是ABC的外角，AD平分 EAC，A

34、DBC 求证：ABAC,证明：AD平分 EACEAD=CAD ADBCEAD=B，C=CAD又EAD=CAD B=C ABAC,如图，如果ABAC，ADBC，那么AD平分EAC吗？试证明你的结论,思考：,证明：ABAC B=C ADBCEAD=B，C=CADEAD=CAD即AD平分 EAC,如图，如果ABAC，AD平分EAC，那么ADBC吗？,思考：,证明：AD平分 EACEAC=2CAD ABAC B=C又EAC=C+BEAC=2CC=CADADBC,你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？,活动一 操作观察,1任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）,2剪得的纸片是否能折成图2的

35、形状？,3ACD与BCD为什么是等腰三角形？请说明理由,活动一 操作观察,图1,图2,图3,你还有其他发现吗？,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在ABC中，ACB90，点D是AB的中点，CD AB,活动二 探索说理,（1）RtABC中，如果斜边AB 为4cm，那么斜边上的中线CD_cm,练习：,（2）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，DEAC，垂足为E 如果CD2.4cm，那么AB cm 写出图中相等的线段和角,2,4.8,CD=BD=AD，,ACB=DEA=DEC=90,CE=AE，,A=ACD，,B=BCD，,练习：,（3）在RtABC中，ACB90，CACB，如果斜边A

36、B5cm，那么斜边上的高CD cm,2.5,1如图，RtABC，ACB90，如果A30，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论,例题：,解：BC AB,证明：作斜边上的中线CD，ACB90，A30，B60ACB90，CD是斜边上的中线，,BCD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）,（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）,本节课你有哪些收获？,交流：,勾股定理,探 究 新 知,活动1知识准备,直角三角形中的两个锐角的大小关系是_；直角三角形中的斜边、直角边的长度关系是_,互余,斜边大于直角边,活动2教材导学,发现勾股定理(1)观察课本的邮票图案，我们一起来数一数图案中

37、各正方形内小方格的个数：左上方的正方形内小方格的个数为16，右上方的正方形内小方格的个数为9，最下面正方形内小方格的个数为25，发现16925，猜想它们之间的关系是_；(2)计算课本图中的三个格点正方形的面积，它们之间的数量关系是_；,两个小正方形小方格的个数之和等于大正方形小方格的个数,两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积,(3)在教材的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是_ _；(4)通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系是_,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,新

38、知 梳 理,知识点一勾股定理,平方和,平方,知识点二运用勾股定理求边长,注意 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角三角形中均不适用,重难互动探究,探究问题一利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长,例1 在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若c15，b12，求a；(2)若a11，b60，求c；(3)若ab34，c10，求a，b.,归纳总结 在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定理列方程(思想)来求出其余两边长,例2 如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是

39、_,336,解析 由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积为40064336.,归纳总结 勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系,探究问题二综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长,例3 勾股定理运用拓展题 一个零件的形状如图所示，已知ACBD90，AC3 cm，AB4 cm，BD12 cm，求CD的长,解析 在RtABC中，运

40、用勾股定理求出BC的长，再在RtBCD中运用勾股定理求出CD的长,归纳总结 有公共边的多个直角三角形的相关边长的求值：在有的图形中，直角三角形的个数不止一个，且它们之间往往有公共边，公共边或是直角边，或是斜边，在不同的直角三角形中可以转换“角色”，以便于求出其余边的边长在具体计算时，应注意解题格式，要说明在哪个直角三角形中运用勾股定理求相关边长,课 堂 小 结,直角边,斜边,勾股定理的逆定理,活动1知识准备,C,活动2教材导学,5,能,SSS,1、画一画：用尺规画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）A3，4，3；B3，4，5；C3，4，6；D5，12，13,判断：请判断一下上述你所画的

41、三角形的形状A；B_；C；D_,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,直角三角形,探 究 新 知,A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D直角三角形,323242,324252,324262,52122132,2、猜想：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？,如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.,如何去证明这个猜想呢？,如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形,这个结论与勾股定理有什么关系？,勾股定理逆定理,互动探究一,探究问题一判定一个三角形为直角三角形,例1 下列各组线段中哪些可以组成直角三角形？5，13

42、，12；4，5，7；3a，4a，5a(a为正整数)；9,12,15：；0.3,0.4,0.5；,如果三角形的三边长分别为a，b，c，且_，那么这个三角形是直角三角形满足关系 的3个正整数a，b，c称为勾股数,新 知 梳 理,知识点1：勾股定理的逆定理,知识点2：勾股数,巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的,背景介绍,泥板摹真图,泥板上的神秘符号实际上是一些数组,探究问题二综合运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算,课 堂 小 结

43、,直角三角形,1.下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A3，4，5；B10，6，8；C4，5，6；D12，13，5,试一试,C,知识运用,2若ABC的两边长为8和15，则能使 ABC为直角三角形的第三边的平方是（）A161；B289；C17；D161或289,D,3、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由,例3已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？,变式：要做一个如图所

44、示的零件，按规定B与D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？,设ABC的3条边长分别是a、b、c，且an21，b2n，cn21问：ABC是直角三角形吗？,拓展延伸：,若ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状.,思考：,像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2b2c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律,从前2个表中你能发现什么规律？你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看,利用勾股数可以构造直角三角形.,勾股定理的简单应用,交流,从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形

45、。,思考,已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长。,例1九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？,意思是：有一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？,解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离设OAx，则AB10 x,AOB90，OA2OB2AB2，x232（10 x）2,练习,“引葭赴岸”是九章算术中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”,题意是：有一个边长为

46、10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,解：如图，,BC为芦苇长，AB为水深，AC为池中心点距岸边的距离。,设AB x尺，则BC（x 1）尺，根据勾股定理得：x252(x1)2，即：（x1）2x2 52，解得：x12，所以芦苇长为12113（尺），答：水深为12尺，芦苇长为13尺。,例2如图，在ABC中，AB26，BC20，BC边上的 中线AD24，求AC.,BDCD BC 2010AD2BD2576100676，AB 2262676，,议一议,勾股定理与它的

47、逆定理在应用上有什么区别？,勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状。,如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）,练一练,A,1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为_。,练习,2等腰ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边上的高为_，面积为_。,3.一个三角形三边分别是18cm、24cm、30cm，这个三角形的面积为_cm2。,7或25,6厘米,48平方厘米,216,直角三角形的周长为30，斜边长为13，那

48、么这个三角形的面积 为（）A.15 B.30 C.60 D.不能确定,B,小结,从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略。,平方根,x2=7,x=,如图中,设面积为25cm2的正方形,其边长为多少呢？,5cm,x,应该是,2=25,又：面积为16，则边长为,4；,a,5,边长,所以,其边长为 5cm,4,面积为9，则边长为,3；,3,面积为5，则边长为多少呢？,面积为a，则边长又如何呢？,根据正方形的面积公式，,这时，可设其边长为 x，,得到 x2=a.,问题情境,学习新概念,如果一个数 x 的平方等于

49、 a,那么这个数 x 叫做 a 的平方根，也称为二次方根.,如果 x2=a,称 x 是 a 的平方根，也称为二次方根.,(a0),学习新概念,数学语言：,符号书写,一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。,一个正数a的正的平方根,记作“”,一个正数a的负的平方根,记作“-”,两个平方根合起来,记作“”,正负根号a,现在你会求7的平方根吗？,求下列各数的平方根:,225(2)（3）,15,0,抢答题,(4)0(5)-16(6)(-4)2,4,无,归纳：平方根的性质？,思考：这种运算和以前学过的运算一样吗？,平方根的性质:,一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;,0的平方根只有一个,就是它本身0

50、;,负数没有平方根.,学习新运算,已知x求数a的运算，叫做平方运算,x2=a.,已知a求数x的运算，叫做开平方运算,平方运算与开平方运算是互为逆运算,1.下列表述正确的是(),A.9的平方根是-3 B.-7是-49的平方根,C.-15是225的平方根 D.(-4)2的平方根是-4,C,D,B,8,36,9,例题选讲,下列叙述正确的打“”，错误的打“”：,16的平方根是 4;(),-4是16的平方根;(),16的平方根是-4;(),（4）52的平方根是25;(),（5）-9的平方根是-3;(),（6）0平方根的数是0;(),1、辨一辩,下列计算正确的是（）,2、选一选,A,(-3)2的平方根为_