第七章-层流边界层的流动与换热课件.ppt

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1、高等传热学内容,?,第一章,导热理论和导热微分方程,?,第二章,稳态导热,?,第三章,非稳态导热,?,第四章,凝固和熔化时的导热,?,第五章,导热问题的数值解,?,第六章,对流换热基本方程,?,第七章,层流边界层的流动与换热,?,第八章,槽道内层流流动与换热,?,第九章,湍流流动与换热,?,第十章,自然对流,?,第十一章,热辐射基础,?,第十二章,辐射换热计算,?,第十三章,复合换热,第七章,层流边界层的流动与换热,?,上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换,热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这,些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个,别的问题采用经典方法得到了分析解

2、。,?,本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基,于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了,数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法,相,似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积,分方程的方法进行介绍。,7-1,对流换热中的根本问题,?,工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图,7-1,所示，流体以均匀的速度,u,和温度,T,流过温度为,T,c,的,平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件,冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中,需要了解以下两个问题：,?,(1),介质中平板的受力情况。,?,(2),平板与介质的换热情况。,?,对第一个问题的分析，可以得到流

3、动的阻力,(,压力损失,),，,也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力,学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二,个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率，,这是传热学的根本问题。,7-1,对流换热中的根本问题,图,7-1,沿平板流动的边界层速度和温度分别,7-1,对流换热中的根本问题,?,可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速,度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。,?,以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中,的基本方程得到：,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,(,),u,u,p,u,u,u,v,x

4、,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,(,),v,v,p,v,v,u,v,x,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,(,),T,T,T,T,u,v,a,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,边界条件为：,?,壁面处,?,u=0,，非滑移界面,?,v=0,，无渗透表面,?,T=T,c,，常壁温,?,远离壁面处,?,u,U,，均匀流,?,v=0,，均匀流,?,T=T,，均匀温度,?,求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘,性定律可以得到

5、表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以,得到壁面处的热流密度。,7-1,对流换热中的根本问题,?,上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方,程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。,1904,年，普朗,特提出的边界层理论大大简化了纳维,-,斯托克斯方程，使许多工程,间题得到了有效的解决。,?,7-2-1,速度边界层,?,通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，,在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速,度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的,区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，,此薄层称为速度边界层，如图,

6、7-2,所示。,7-2,边界层分析,7-2,边界层分析,图,7-2,外掠平板的速度边界层,?,通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的,99,处，即,u=,0.99U,，,U,表示主流速度。在,y,以外区域，粘性的影响由于速度,梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为,两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂,直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切,应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度,已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界,层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽,略不计，按无粘性的势流处

7、理，符合伯努利方程。严格地讲，边,界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影,响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理,想化概念。,?,边界层的另一重要特点是其厚度,远远小于平壁的长度,L,，即占,L,。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分,析中不难得到此结论。,?,此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些,在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。,7-2,边界层分析,?,7-2-2,温度边界层,?,与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁,面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区,域内从壁

8、面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边,界层。热边界层厚度用,t,表示，如图,7-3,所示，通常规定其边界在,垂直于流动方向流体温差,t,t,等于,0.99(t,t,w,),处，,t,表示主流温,度，,t,w,表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外,部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处,理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层,厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的,热物性。,7-2,边界层分析,7-2,边界层分析,图,7-3,外掠平板的温度边界层,?,7-2-3,边界层微分方程组,?,在主流区,?,(7-2-1),?

9、,用,表示速度,u,由壁面处的,u=0,变化到接近主流速度,U,的距离的数,量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系：,?,x,L,，,y,，,u,U,(7-2-2),?,在包含边界层的,L,区域，考虑连续性方程,?,(7-2-3),?,可知,(7-2-4),7-2,边界层分析,0,v,p,p,t,t,?,?,?,?,?,u=U,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,U,V,L,?,?,?,U,V,L,?,?,?,?,考虑边界层内,x,方向的动量方程,?,在上式中，惯性力项均为,，不能忽略任一项。但在边界层区,域，,L,，对于粘性力项，与,相比，,可以忽略不计，于,是,x,方向的动量方

10、程即式,(7-l-2),简化为,?,(7-2-5),7-2,边界层分析,2,2,2,2,1,(,),v,v,p,v,v,u,v,x,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,U,U,U,v,L,?,?,?,?,U,U,P,v,v,L,L,?,?,?,?,2,U,L,?,2,2,u,y,?,?,2,2,u,x,?,?,2,2,1,u,u,p,u,u,v,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,类似分析可以得到边界层内,y,方向的动量方程,?,(7-2-6),?,通过数量级分析可以得到,?,(7-2-7),?,因此，通常

11、在边界层流动中,(,特别是层流,),不讨论方程,(7-2-6),，但,它对边界层内的压力分析提供了帮助。,?,也可以通过以下分析简化压力项。考虑图,7-l,所示的边界层内任一,点的压力的全微分,?,(7-2-8),?,除以,dx,，得到,?,(7-2-9),7-2,边界层分析,2,2,1,v,v,p,v,u,v,x,y,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,p,y,?,?,?,p,p,dp,dx,dy,x,y,?,?,?,?,?,?,dp,p,p,dy,dx,x,y,dx,?,?,?,?,?,?,?,从动量力程的数量级分析考虑压力项与摩擦项平衡，如方程,(7-,2

12、-5),有,?,(7-2-10),?,类似地，由方程,(7-2-6),得,?,(7-2-11),?,现考虑方程,(7-2-9),的右侧第二项的数量级,?,(7-2-12),?,比较方程,(7-2-7),右侧两项，得到,?,7-2,边界层分析,2,U,p,x,?,?,?,?,?,?,2,p,v,y,?,?,?,?,?,2,(,)(,),(,),1,p,x,dy,dx,v,p,x,U,L,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,=,dp,p,dx,x,?,?,?,?,与式,(7-2-7),一致。即边界层内的压力主要在,x,方向变化。任意,x,处，,边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即,?,(7

13、-2-14),?,将方程,(7-2-14),代入方程,(7-2-5),得,?,(7-2-15),?,类似地分析可以得到边界层能量方程,?,(7-2-16),?,式,(7-l-1),、,(7-2-15),和,(7-2-16),称为边界层微分方程组，它只包含,u,、,v,、,t,三个未知量，,可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微,分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。,7-2,边界层分析,dp,p,dx,x,?,?,?,?,2,2,1,dp,u,u,u,u,v,x,y,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,t,t,t,u,v,a,x,y,y,?,?,?,?,?,

14、?,?,?,dp,dx,?,7-2,边界层分析,?,7-2-4,边界层流动与传热分析,?,流动摩擦阻力,?,(7-2-17),?,对于具有均匀压力的自由流，,，根据边界层的动量方程,(7-,2-15),有惯性力项摩擦力项,?,(7-2-18),?,式,(7-2-18),要求,?,(7-2-19),?,即,?,(7-2-20),?,式中,Re,L,是基于流动方向长度的雷诺数。,U,?,?,?,?,?,0,dp,dx,?,?,2,2,U,U,v,L,?,?,?,?,1,2,(,),vL,U,?,?,?,1,2,Re,L,L,?,?,?,7-2,边界层分析,?,式,(7-2-20),的意义在于，它指

15、出了只有,的情形，边界层,理论才有效。例如，在边界层的前缘，,不会远小于,1,，故边,界层理论不适用。,?,式,(7-2-17),可改写为,?,(7-2-21),?,无量纲摩擦系数,取决于雷诺数，即,?,(7-2-22),?,分析基于热边界层厚度的换热方程，有,?,(7-2-23),?,式中，,表示边界层的温度变化。,1,2,Re,1,L,?,?,1,2,Re,L,?,1,1,2,2,2,Re,Re,L,L,U,U,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,1,(,),2,C,U,?,?,?,?,1,2,1,Re,L,C,?,(,),t,t,t,h,t,?,?,?,?,?,?,w,t,t

16、,t,?,?,?,?,7-2,边界层分析,?,考虑边界层能量方程各项的数量级：,?,对流项导热项,?,(7-2-24),?,若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，,t,，则速度边界层,外的速度,u,等于主流速度,U,，得到该区域的速度,。,将其带入方程,(7-2-24),，不难发现对流项主要由第一项控制，即,?,(7-2-25),?,进一步可以得到,?,(7-2-26),2,t,t,t,t,t,u,v,a,L,?,?,?,?,?,v,U,L,?,?,2,t,t,U,t,L,a,?,?,?,?,1,2,1,2,1,2,Pr,Re,t,L,Pe,L,?,?,?,?,7-2,边界层分析,?,其中,是贝

17、克来数。比较式,(7-2-20),和式,(7-2-26),可以,发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特,数，即,?,(7-2-27),?,低普朗特数,(Pr1),下的对流换热表面传热系数可以表示为,?,，,Pr 1(7-2-28),?,或表示为努塞尔数的形式：,?,(7-2-29),?,若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度,则温度边界层内的速度,可认为,?,(7-2-30),L,Pe,U,L,a,?,?,1,2,Pr,t,?,?,1,2,1,2,Pr,Re,L,h,L,?,1,2,1,2,Pr,Re,L,Nu,t,u,U,?,?,?,7-2,边界层分析,?,将式,(7-2-

18、29),代入式,(7-2-24),，得到,?,(7-2-31),?,与式,(7-2-20),比较，可知,?,(7-2-32),?,类似地可以得到大,Pr,数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变,化规律：,?,，,Pr1(7-2-33),?,，,Pr1(7-2-34),?,在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，,Re,反映的是一个几,何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值,见式,(7-2-,20),。,1,3,1,2,Pr,Re,t,L,L,?,?,?,1,3,Pr,1,t,?,?,?,?,1,3,1,2,Pr,Re,L,h,L,?,1,3,1,2,Pr,Re,L,Nu,7-3,层流边界层流

19、动和换热的相似解,?,7-3-1,外掠平板层流边界层流动和换热的相似解,?,1.,布劳修斯解,?,上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过,不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相,似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常,微分方程。,1908,年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，,求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图,7-4,所示，,边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的,u,=U,。尽管边界层内速度分布不相似，但不同,x,处的速度变化范围,是相同的,即速度分布被伸展。,7-2,边界层分析,图,7-4,平壁上的

20、速度边界层,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,引入无量纲速度,和相似变量,：,?,(7-3-1),?,相似变量,与坐标,y,成正比，比例系数与,x,有关。令,?,(7-3-2),?,可见，边界层内不同,x,处,与,的关系是相同的，对于,的无,量纲速度分布亦是相同的。,?,将速度用流函数,表示：,?,(7-3-3),?,则,(7-3-4),u,U,?,(,),u,U,?,?,?,?,1,2,Re,(,),x,U,y,y,y,x,x,vx,?,?,?,?,?,?,u,U,?,u,v,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,u,U,U,y,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流

21、动和换热的相似解,?,引入前面定义的相似变量,，得到,?,(7-3-5),?,令,，称无量纲流函数，则有了,?,(7-3-6),?,考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程,(7-1-1),和动量方程,(7-2-14),：,?,(1),?,(2),(,),u,U,U,vx,?,?,?,?,?,?,?,f,U,vx,?,?,?,1,2,(,),(,),U,vx,f,?,?,?,?,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,2,2,u,v,u,u,v,v,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,对应的边界条件是,?,y=0,u=v=0

22、(7-3-7),?,y,u U,(7-3-8),?,应用流函数，连续性方程得到满足,动量方程的形式为,?,(7-3-9),?,对应的边界条件是,?,y=0,=0,(7-3-10),?,y,(7,-3-11),2,2,3,2,3,v,y,x,y,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,y,?,?,?,?,y,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,将式,(7-3-6),代人式,(7-3-9),(7-3-11),，可以得到相似变换后的常微,分方程，并简化为,?,(7-3-12),?,边界条件,?,(7-3-13),?,(7-3-

23、14),?,方程,(7-3-12),称为布劳修斯方程。,?,布劳修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线性方程。将,f(,),取,的泰勒级数得,?,(7-3-15),?,上式取导数得,?,(7-3-16),2,0,f,ff,?,?,0,0,f,f,?,?,?,?,1,f,?,?,?,?,2,3,3,2,0,1,(,),2!,3!,c,c,f,c,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,3,2,1,2,(,),2!,3!,c,c,f,c,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由边界条件可得，,。进一步求出,和,，将所得,结果代入方程,(7-3-12),

24、，得到,?,(7-3-17),?,为保证,在,0,范围内上式均成立，则常数项和相似变量前的系,数必须为零，即,和,?,所有不为零的系数,等均可表示成,c,2,的关联式。于是得,到,?,(7-3-18),0,1,0,0,c,c,?,?,f,f,2,2,5,2,3,4,2,2,2,(,),2!,2!,c,c,c,c,?,?,?,?,?,?,?,3,4,0,0,c,c,?,?,2,5,2,2,0,2!,2!,c,c,?,?,2,2,5,2,c,c,?,?,2,5,8,11,c,c,c,c,2,2,2,5,8,2,2,2,11,1,1,(,),2!,2,5!,4,8!,c,c,c,f,?,?,?,?,

25、?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由,时,，得,，等等。赛比西,(Cebeci),等采用龙格,-,库塔法求解了同样问题，霍沃思,(Howarth),给,出了更高精度的数值解，表,7-l,是其部分结果。,?,由表,7-1,可知，,=5.0,时,，通常边界层外缘处速,度取，即,?,(7-3-19),?,(7-3-20),?,?,?,1,f,?,2,5,0.332,0.055,c,c,?,?,?,0.99155,u,f,U,?,?,?,5.0,vx,U,?,?,?,1,2,5.0,Re,x,x,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,7-3,层流边界层流动和换热

26、的相似解,?,获得速度分布后，可以进一步得到壁面处的粘性剪应力,w,：,?,(7-3-21),?,由表,7-1,知，,，故,?,(7-3-22),?,引入局部摩擦系数,?,(7-3-23),?,对应于整个平板长度,L,的平均摩擦系数为,?,(7-3-24),3,2,0,0,2,(,),(,),(0),w,y,y,U,u,f,y,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(0),0.332,f,?,3,2,0.332,0.332,Re,w,x,U,U,x,?,?,?,?,?,?,?,1,2,2,0.664Re,1,2,w,f,x,C,U,?,?,?,?,?,?,1,2

27、,0,1,1.328Re,L,f,m,f,L,C,C,dx,L,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,2.,波尔豪森解,?,常物性流体以均匀流速,U,和均匀温度,t,外掠平壁，平壁壁面温度,为,t,w,，流体与壁面间的换热使得在壁面上形成温度边界层。根据,前面的边界层分析，对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的,二维稳态流动，其边界层能量方程即式,(7-3-20),为,?,y=0,t=t,w,(7-3-25),?,y,t=t,w,(7-3-26),?,引入无量纲温度,?,(7-3-27),?,上述边界层能量方程变为,?,(7-3-28),2,2,t,t,t,u,v,a,x,y,

28、y,?,?,?,?,?,?,?,?,w,w,t,t,t,t,?,?,?,?,?,2,2,u,v,a,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,与动量方程相似解方法类似，引入相似变量,有,?,(7-3-29),?,(7-3-30),?,(7-3-31),1,2,Re,(,),x,U,y,y,y,x,x,vx,?,?,?,?,?,?,1,1,1,(,)(,),(,),2,2,U,y,vx,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),U,y,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

29、,?,2,2,(,),U,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,将式,(7-3-29),(7-3-31),和流函数表示的速度代入边界层能量方程,(7-3-28),，可以得到,?,(7-3-32),?,相应的边界条件是,?,(7-3-33),?,波尔豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分离变量积分方,法，由式,(7-3-32),可得,?,(7-3-34),?,进一步积分得,?,(7-3-35),1,Pr,0,2,f,?,?,?,?,0,0,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,和,0,Pr,(,),(0)exp,(,),2,f,d,?,?,?,?,?

30、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,Pr,(,),2,f,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,（,）,=,（,0,）,exp,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由边界条件式,(7-3-33),得,?,(7-3-36),?,显然，局部对流表面传热系数为,?,(7-3-37),?,因此,?,(7-3-38),?,式,(7-3-36),已表明,是,Pr,数的函数，波尔豪森给出了一系列,的数值。表,7-2,给出了不同,Pr,数时外掠平壁的,的数值。可以,发现，在,Pr=0.6,15,的范围内，,可以十分精确地用,表示，即得,1,0,Pr,(

31、,),2,f,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,0,（,0,）,=,exp,-,1,2,Re,x,x,h,x,?,?,?,（,0,）,1,2,Re,x,?,?,x,Nu,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,1,3,0.332Pr,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,(7-3-38),?,对于,Pr 0.6,的低普朗数流体，其导热性能很好，前面边界层分析,已说明，当,1,时速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可以,近似认为温度边界层内速度为主流速度,U,，即,f,

32、=,。代入,方程,(7-3-32),得,?,(7-3-40),?,当,Pr 0,时，上式的解为,?,(7-3-41),?,(7-3-42),?,则,(7-3-43),1,2,1,3,0.332Re,Pr,Pr,0.6,15,x,x,Nu,?,?,1,f,?,Pr,(,),2,d,f,d,?,?,?,?,?,1,2,(,),(,),Pr,2,erf,?,?,?,?,1,2,Pr,(0),(,),?,?,?,1,2,1,3,0.564Re,Pr,Pr,0,x,x,Nu,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,整个平板长度,L,的平均对流表面传热系数可以由下式计算获得：,?,得到,?,(7

33、-3-44),?,(7-3-45),?,在整个,Pr,数范围内，可以整理出,?,(7-3-46),?,需要注意的是，在边界层前缘,(x0),，边界层的基本假设不再成立，,因此边界层微分方程不适用。否则，此处的局部对流表面传热系,数将无限大，与实际不符。因此，边界层分析主要用于高,Re,数范,围。,0,1,L,x,h,h,dx,L,?,?,1,2,1,3,0.664Re,Pr,Pr,0.6,15,x,Nu,?,?,?,1,2,1,3,Re,Pr,Pr,0.6,x,Nu,?,?,1,2,1,3,1,4,0.928Re,Pr,1,x,Nu,?,?,?,?,?,?,2,3,（,0.0207,Pr,）,

34、7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,7-3-2,外掠楔状体层流边界层流动与换热的相似解,?,不仅外掠平壁层流边界层流动与换热可以获得相似解，法尔克钠,(Falkner),等发现了一系列存在相似解的情况。主流速度,U,沿固体,表面不随距离,x,变化的情形只能出现在平板或管流中，通常主流速,度,U,与流动方向的坐标,x,有关。,?,作为相似解的另一个例子是，边界层外主流速度,U,与流动方向坐,标,x,的幂函数成正比，即,?,U,=c,x,m,(7-3-47),?,流体流过一个楔形物的速度变化满足式,(7-3-47),，如图,7-5,所示。,若表面与流动方向成,/2,角，指数,m,与夹角,的关

35、系是,?,(7-3-,48),2,m,?,?,?,?,?,?,?,2m,或,=,m+1,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,图,7-5,流过楔形物,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,引入伯努利方程，可以得到,?,(7-3-49),?,代入边界层动量微分方程，得到,?,(7-3-50),?,采用与前面类似的相似变换，得到,?,(7-3-51),?,局部摩擦系数为,?,(7-3-52),?,的数值与,有关。,1,dP,dU,U,dx,dx,?,?,?,?,?,?,2,2,2,u,u,m,u,u,v,U,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,m,2,1,(,)

36、,0,f,ff,m,f,?,?,?,?,?,?,?,?,（,+1),1,2,2,(0)Re,f,x,x,C,f,?,?,(0),f,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,传热相似解与波尔豪森解类似，得到常微分方程,?,(7-3-53),?,从哈里斯用数值方法得到的结果分析可知：,(l)=0,，即,m=0,，对,应的是,U,=,常数，即前面讨论的外掠平壁的层流边界层流动。,(2),0,，即,m,0,是外掠楔形物的边界层层流流动，在,x=0,处主流速,度为零，沿流动方向速度加速，在壁面上边界层内速度分布的斜,率较外掠平壁时大。随,的增大，速度分布的斜率更大，边界层愈,薄。,(3),描述的是面对

37、平壁的流动，称为滞止流动。,(4),0,表明，边界层主流速度在,x=0,处为无穷大，沿流动方向减少，夹角,是负值。,?,通过在平壁吸气使边界层消失，保证主流速度恒定，进入扩充段，,主流速度将沿流动方向减少。在,0.1988,时，速度分布呈,S,形，,在壁面处,(y=0),速度梯度为零。当,0.1988,时，流动边界层从壁,面脱离并在贴壁处产生回流，因而,0.1988,称为脱体的临界角。,1,Pr(,1),0,2,m,f,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,7-4-1,边界层动量积分方程,?,如果边界层外主流速度不遵循式,(7-3-47),的规律，即,U,=c,x,m,(m,不

38、,是常数,),，则不能获得相似解，边界层方程不能简化为常微分方程，,只能采用近似的方法求解边界层方程。边界层积分方程方法是一,种近似方法。,?,边界层积分方程可以通过质量、动量和能量守恒应用于包含边界,层的控制体获得，也可以对边界层微分方程直接积分得到。,?,考虑二维常物性不可压缩流体边界层稳态流动，连续性方程和动,量方程，即,?,(1),?,(2),0,du,dv,dx,dy,?,?,2,2,dU,u,v,u,u,v,U,x,y,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,连续性方程乘以,u,并与动量方程相加，得到,?,(7-4-l),?,考虑

39、,U,只是,x,的函数，与,y,无关，连续性方程可演变为,?,(7-4-2),?,式,(7-4-2),减式,(7-4-l),，得到,?,(7-4-3),2,2,(,),(,),dU,uu,uv,u,U,x,y,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),(,),uU,vU,dU,u,x,y,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,(,),(,),(,),dU,u,u,U,u,v,U,u,U,u,x,y,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,将上式在,y,方向对整个边界层

40、厚度积分，可得,?,(7-4-4),?,其中速度,u(x,y),是,x,、,y,的函数，,只是,x,的函数。利用微分法则可,知,?,(7-4-5),?,因壁面处,y=0,，,v=0,；边界层外缘处,y=,，,u=U,，,，式,(7-4-,4),可简化为,?,(7-4-6),?,上式称为边界层动量积分方程。,?,?,0,0,0,0,(,),(,),(,),dU,u,u,U,u,dy,v,U,u,U,u,dy,x,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,(,),(,),(,),d,d,u,U,u,dy,U,u,dy,u,

41、U,u,x,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,u,y,?,?,?,?,0,0,0,(,),(,),y,dU,d,u,U,u,dy,U,u,dy,dx,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,1.,边界层位移厚度,1,?,(7-4-7),?,因壁面对粘性流体的阻力，边界层内速度由边界层外缘主流速度,U,逐步减少到壁面处为零，流体不断被排挤出边界层，流线被抬,高的距离称为边界层位移,(,或排挤,),厚度,1,。,?,2.,边界层动量损失厚度,2,?,(7-4-8),?,由于边界层内流体

42、速度和流量的减少，导致边界层动量损失，,2,是动量减少的尺度，称为边界层动量损失厚度。,?,边界层动量积分方程也可以用边界层位移厚度,1,和动量损失厚度,2,表示：,?,(7-4-9),1,0,(1,),u,dy,U,?,?,?,?,?,?,2,0,(1,),u,u,dy,U,U,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,(,),w,dU,d,U,U,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,7-4-2,边界层能量积分方程,?,用得到边界层动量积分方程类似的方法，可以导出边界层能量积,分方程。考虑常物性不可压缩流体，忽略粘性耗散，二维的边界,层能量微分

43、方程可表示为,?,同样，上式在,y,方向上对整个温度边界层厚度积分，得,?,(7-4-10),?,进一步可写为,?,(7-4-11),2,2,t,t,d,t,u,v,a,x,y,dy,?,?,?,?,?,?,1,1,2,2,0,0,0,t,t,t,u,dy,v,dy,a,v,dy,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,0,0,0,0,0,y,d,u,v,t,utdy,t,dy,vt,t,dy,a,dx,y,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,由连续性方程知,，,代入式

44、,(7-4-11),，得,?,(7-4-12),?,整理得,?,(7-4-13),?,取过余温度，上式变为,?,(7-4-14),?,式,(7-4-14),称为边界层能量积分方程。,v,u,y,x,?,?,?,?,?,?,1,1,0,y,u,v,dy,x,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,0,0,0,0,0,y,d,u,u,u,t,utdy,t,dy,t,dy,t,dy,a,dx,x,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,0,(,),y,d,t,u,t,t,dy,a,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?

45、,1,0,0,(,),y,d,u,U,u,dy,a,dx,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-4,层流边界层的积分方程,?,1.,边界层能量损失厚度,3,?,(7-4-15),?,它反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于通过厚度,为,3,的主流区流体具有的动能。,?,2.,焓厚度,2,?,为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为,?,(7-4-16),?,式中：,h,是流体流过控制体时热流量的净变化率，即相对滞止焓；,h,w,指通过壁面导热参加换热的结果，即壁面处的相对滞止焓。在,无相变的常物性流体低速流动的情况下，有,2,3,2,0,(1,),t,u,u,dy,U,U,?

46、,?,?,?,?,?,?,0,2,w,uh,dy,U,h,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),(,),p,w,w,p,w,h,c,t,t,h,c,t,t,?,?,?,?,?,?,?,和,7-4,层流边界层的积分方程,?,将以上焓的表达式代入式,(7-4-16),得到,?,(7-4-17),?,焓厚度是壁面参与换热的量度。,?,3.,换热厚度,4,?,边界层换热厚度是指流体的导热系数和对流表面传热系数之比，,即,?,(7-4-18),?,它是温差,t,w,t,与壁面处温度梯度的比值。,?,一些著作中采用焓厚度,2,和换热厚度,4,讨论边界层能量积分方程。,0,2,(,),(,),u,

47、t,t,dy,U,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,0,(,),(,),(,),w,w,w,y,t,t,t,t,h,q,t,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,7-5-l,具有未加热初始段的对流换热,?,1.,动量积分方程式,?,以外掠平板的流动和换热为例，设边界层外主流速度,U,=,常数，,壁面处无喷注，法向速度为零。通常的办法是假设边界层内速度,分布为三次方多项式，即,?,(7-5-1),?,代入式,(7-4-7),、,(7-4-8),，得到边界层位移厚度和动量损失厚度,?,(7-5-2),?,(7-5-3),?

48、,以及壁面处摩擦力,?,(7-5-4),3,3,1,2,2,u,y,y,U,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,3,(1,),8,u,dy,U,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,39,(1,),280,u,u,dy,U,U,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,3,2,w,y,U,u,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,这样，动量积分方程,(7-4-10),变形为,?,(7-5-5),?,由式,(7-5-4),、,(7-5-5),?,(7-5-6),?,得到,?,(7-5-7a),?,边界层厚度与流动距离,x,的平方根成正

49、比。,2,2,39,280,w,d,d,U,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,140,13,d,dx,U,?,?,?,?,?,1,2,4.64,Re,x,x,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,由壁面局部阻力系数,?,得到,?,(7-5-7b),?,沿平板长度，壁面切应力逐渐减少，因边界层厚度的增加，减小,了壁面处的速度梯度。,?,与相似解相比，积分方程方法是十分简便的，其精度只相差,3,左,右。,2,2,f,w,C,U,?,?,?,?,2,39,2,280,f,w,C,d,U,dx,?,?,?,?,?,?,1,2,0.323Re,2,f,x,C,?,?,7-5,层流边界

50、层积分方程的近似解,?,2.,能量积分方程式,?,与动量积分方程的求解方法类似，根据能量积分方程式可以得到,壁面处的温度梯度,(,进而可得到热流密度,),和对流表面传热系数。温,度边界层内的温度分布与动量边界层内的速度分布类似，取为三,次方多项式，由边界条件得到,?,(7-5-8),?,考虑温度边界层外,1,0,，代入焓厚度，积分得,?,(7-5-9),?,若假设,，略去高阶项,3,，有,?,(7-5-10),?,(7-5-11),3,3,1,1,(,),2,2,w,t,t,t,t,y,y,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,2,0,3,1,(1,),(,),20,14,t