数学专业毕业论文—浅析解析函数与实二元函数之间的关系07041.doc

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1、+学校代码 学号 分 类 号 密级 本科毕业论文 题 目 ：浅析解析函数与实二元函数之间的关系 (中、英文)The Analysis of relationship between Analytic function and Real Dual function 作 者 姓 名 专 业 名 称 学 科 门 类 指 导 教 师 提交论文时间 成绩等级评定 摘 要 了解解析函数与实二元函数之间的关系有便于判断、构造解析函数.解析函数又是复变函数研究的重要对象,所以理解它们之间的关系也是非常重要的.本文主要分为四个部分,首先给出了解析函数的概念,在阐述了解析函数与某些实二元函数之间的关系主要是判断函

2、数的解析性,证明解析函数的实虚部为调和函数说明了解析函数由实二元函数构成,在给出了调和函数确定解析函数的一些方法,最后阐述了解析函数与实二元函数关系的物理意义. 关键字：解析函数；实二元函数；调和函数；柯西-黎曼方程. Abstract Having a good knowledge of understanding the relationship between analytic functions and real binary function can contribute to determine and structure of analytic functions. Howeve

3、r, analytic function is an important object of study of complex function, so it is very important to understand the relationship between them. This article mainly is divided into four parts: First of all, it gives the concept of analytic function; The second section elaborated the analytic function

4、and some real equivalence relation between binary function, it mainly talks about the analytic judgment function, and proves real imaginary part of analytic function for harmonic functions illustrate analytic function consists of real dual function; Next gives the harmonic function to determine some

5、 of the methods of analytic functions, and finally elaborated analytic functions with real dual function of the physical meaning.Key word: analytic function；real dual function ;harmonic function;Cauchy-Riemann equations. 目 录摘 要IAbstractII目 录III引言11.解析函数的相关概念12.解析函数与实二元函数之间的关系13.解析函数与调和函数的关系43.1 调和函数

6、43.2 证明解析函数的实部虚部为调和函数53.3由调和函数确定解析函数63.4 解析函数与调和函数之间的等价关系83.5利用解析函数求调和函数的稳定点94.解析函数与实二元函数关系在物理上的意义94.1 平面流速场的复势94.2 平面静电场的复势10参考文献12谢 辞13引言：利用实二元函数可以比较容易的判别、构造解析函数，然而解析函数在求实函数的积分、n阶导数、实函数在某区间根的个数和调和函数的最大值问题上都有着重要的应用，所以了解解析函数与实二元函数之间的关系是非常重要的.本文从解析函数的概念，解析函数与具有一定约束条件实二元函数之间的关系，解析函数与调和函数之间的关系以及他们在物理上的

7、意义四个方面进行了阐述，但重点介绍了解析函数与具有一定约束条件的实二元函数、调和函数之间的关系，要了解它们之间的关系，首先我们来了解一下什么是解析函数.1.解析函数的相关概念 如果函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数，或称函数在区域内解析.函数在某点解析，是指函数在该点的某一邻域内解析；函数在某闭域上解析，是指函数在包含该闭域的某区域内解析. 解析函数，其中、满足C-R方程. 解析函数的映射特征:对于解析函数（）来说，它将的实部映射为，将的虚部映射为Ary；对于解析函数来说它将映射为的实部，将Ary映射到的虚部.2.解析函数与实二元函数之间的关系我们从上面给出的解析函数的相关概念可知，要通

8、过概念来判别一个复变函数是否为一解析函数是相当困难的，那么我们能否找到判别解析函数的简便方法呢？现在我们就来介绍一下用实二元函数判别解析函数的几种简便方法.定理1 设函数定义在区域内，则函数在区域内解析函数的充要条件是：二元函数、在区域内可微； 、在区域内满足柯西-黎曼方程. 证明:必要性 对任意的，我们都记， 因为函数在区域内解析，所以有=，由此可得 .从而有其中.得，.由实二元函数可微定义知，在由的任意性知，、在区域内可微.现在选择两个方向求的值.当时，有.当时,有.比较两式可得.充分性 对,由、在内可微，其中.记由C-R方程得.给等式两边同除以得， 又因为，所以有.又由的任意性得在内解析

9、该定理给出了一种判断解析函数的方法，就要看实二元函数是否在某区域内可微性并是否在该区域内满足柯西黎曼方程. 定理2 设函数定义在区域内，则函数在区域内解析的充要条件是：在区域内连续；、在内满足柯西黎曼方程. 证明：必要性 因为在区域内是解析的，在根据解析函数的无穷可微性可以得到，在区域D内连续，由此可以得到在区域D内连续的，然后再根据上个定理的必要性的证明，我们就可以知道、满足C.-R.方程成立的. 充分性 因为在区域D内是连续的，在根据二元函数可微性的充分条件我们可以知道，实二元函数在区域D内是可微的，又知、满足C-R方程，再根据上一定理的充分性知，函数在区域D内解析.该定理主要是判断函数的

10、解析性和不解析性，就是要看实二元函数、的一阶偏导数是否存在且连续，并且两个二元函数是否满足柯西黎曼方程这个定理的提出使解析函数的判别变的非常的容易，现在我们就来看几道用该定理判别解析函数的例子.例1.讨论下列函数的解析性 解： 这几个偏导数在平面上处处连续，但是它们只在上满足柯西黎曼方程所以在平面上处处不解析 这几个偏导数在平面上处处连续，且在整个平面上满足柯西黎曼方程所以在整个平面上处处解析 这几个偏导数在平面上处处连续，且在整个平面上满足柯西黎曼方程所以在整个平面上处处解析例2.设是区域内的解析函数，试求是否也是一解析函数 解：因为是区域内的解析函数. 所以、在区域上可微，且满足柯西-黎曼

11、方程，即若是也内的解析函数，则也应满足、在上可微，且满足柯西黎曼方程，即 若式成立，则有，即就是常数，那么也就为一常数 所以只有当、为常数时，才为解析函数例3.已知函数为解析函数，则求 . 解：函数的实部 虚部 因为为解析函数，所以有 所以 定理3 解析函数具有无穷阶可微性，这就使得它的实、虚部的二元函数均在某区域D内具有任意阶导数，且导数之间应满足一定的关系.证明：由解析函数的无穷可微性知，函数在区域D内具有各阶导数，并且它们也都在D内解析.从而知道解析函数的实、虚部也在区域D内具有任意阶的导数，再根据定理1、2、5可知，解析函数实、虚部的导数之间也应满足柯西黎黎曼方程且虚部为实部的共轭调和

12、函数.上面3个定理阐述了解析函数与实二元函数之间的一些关系，定理1、2说明了要探讨复变函数的解析问题可以转化为探讨复变函数实部虚部的两个实二元函数、可微性（偏导数连续）是否满足柯西黎曼方程的问题.定理3说明了解析函数的实、虚部存在着任意阶的导数并且它们的导数之间存在着一定的关系.了解了它们之间的这3种关系后，我们来了解一下解析函数与特殊实二元函数（调和函数）之间的关系.3.解析函数与调和函数的关系 前一章节说明解析函数对应的两个实二元函数均为无穷阶可微函数且之间还满足C-R方程.那么若两个实二元函数均为可微函数，构成的函数是否为解析函数呢？本章我们来讨论这一问题.3.1 调和函数 若二元实函数

13、在区域内具有二阶连续的偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数.例4.判断函数 是否为调和函数. 解： 在平面上处处连续，并且. 由调和函数的定义知，是平面上的调和函数.3.2 证明解析函数的实部虚部为调和函数 定理4 若函数为区域内的解析函数，则函数的实部、虚部都为调和函数. 证明：因为函数为区域内的解析函数，所以、在区域内满足柯西-黎曼方程，即 ,并且、 存在任意阶偏导数. 现对式中的两个式子分别求y和x 的偏导数,得 ，又因为，所以有. 同理有: .所以函数的实部u、虚部 v 都为区域D内的调和函数. 该定理证明了解析函数的实部和虚部一定都为调和函数，那么当某函数的实部虚部为调

14、和函数时，该函数是否一定为解析函数呢？答案是否定的.例5.判断函数是否为解析函数，其中 ， . 解： 由上式可得，；当 时，则知，u为平面z上的调和函数，v为除原点以外的z平面上的调和函数.但由，得到，不满足柯西黎-曼方程所以不是解析函数3.3由调和函数确定解析函数 定理5 如果是区域E中的调和函数，则存在一个v(x,y)使得u+iv在区域E内解析.证明：因为u(x,y)是区域E内的调和函数所以有或 由二元实函数全微分的判别准则得知是二元实函数u(x,y)的全微分，则有由此可知， 式中的是区域E中的一个定点，是区域E中任意一点，C为任意的实常数，积分与路径无关另外 比较与式可得， 即满足柯西-

15、黎曼方程.所以在区域E上是解析的.该定理说明只要给出一个调和函数我们就可以通过解析函数的实部和虚部之间的关系构造出一个对应的解析函数，下面就给出了求以一调和函数为实部（虚部）的解析函数的几种方法.例6.求以调和函数为实部的解析函数 解： 由C-R条件得, 方法一：（凑全微分法） 所以 = =方法二：（偏积分法） = 所以得 有 所以所求解析函数 方法三：（线积分法） 所以所求解析函数 例7.求以调和函数为实部且的解析函数. 解：方法一：（C-R条件法） 因为为解析函数， 所以u、v 满足C-R条件，则有 . 由此可得， ， 故，从而得到 = = 再由，得. 方法二：（曲线积分法） 故 =再由，

16、得 方法三：（不定积分法） 因为 再由得，.3.4 解析函数与调和函数之间的等价关系定理6 设函数定义在区域D内，则函数在区域D内解析的充要条件是在区域D内是的共轭调和函数.证明：必要性 已知在区域D解析，则再由C-R方程可得到 因为 与 在区域D内解析，则有 ， 故在D内有，同理可知 在区域D内有，即就是与 在区域D内满足拉普拉斯方程. 因实二元函数、在区域D内存在二阶连续偏导数且都满足拉普拉斯方程，所以说、为区域D内的调和函数 又因在区域D内u、v满足C-R方程，所以 是在区域D内的共轭调和函数.充分性 因为在区域D内是的共轭调和函数.所以有u、v为D内的调和函数，则满足拉普拉斯方程，即

17、连续，再由u、v在D上满足C-R方程可知，在区域D内解析. 该定理给出了解析函数与调和函数之间的关系，它也是判别解析函数的一种方法.这个命题也说明了任意的一个调和函数都可以作为某个解析函数的实部（虚部），则虚部（实部）可通过柯西-黎曼方程求得.3.5利用解析函数求调和函数的稳定点设为单连域D上的调和函数,根据共轭调和函数定义可求出的共轭调和函数,由此可知为一解析函数且u、v满足C-R方程.现设是的稳定点，而.令，从而知为的稳定点就等价于.那么我们就可以把求稳定点的问题转化为求的根的问题.根据C-R方程 ， 有.例8. 求的稳定点. 解： 则有 从而知为一调和函数.因为 ，所以及其共轭调和函数

18、构成的函数的导函数.令，则.所以知二元函数有唯一稳定点. 4.解析函数与实二元函数关系在物理上的意义 4.1 平面流速场的复势 如果向量场是单连通区域B内的无源无旋场,那么存在二元函数、满足，并且， ， 这四个式子将同时成立，整理有 ， （函数称为场的流函数，称为流线；函数称为场的势函数，称为等势线.）那么在单连通区域B内我们就可构造一解析函数 该函数称为流速场的复势.例9.已知平面流速场的复势为 求流函数、流线方程、势函数和等势线方程. 解： 流函数： 流线方程： 势函数： 等势线方程： 流函数： 流线方程： 势函数： 等势线方程： = = 流函数： 流线方程： 势函数： 等势线方程：4.2

19、 平面静电场的复势 如果是单连通区域B内的无源无旋场，那么存在二元函数、满足， 并且，整 理 得 ，（称为场的力函数，称为电力线;称为场的势函数，称为等势线），那么在单连通区域B 内我们就可以构造一解析函数 该函数称为静电场的复势.例10. 已知平面静电场的复势为： （2） （3） 解： 力函数： 电力线： 势函数： 等势线： （2） 力函数： 电力线： 势函数： 等势线： 力函数： 电力场： 势函数： 等势线： 参考文献 钟玉泉. 复变函数论. 高等教育出版社.2003.6. 肖荫庵. 复变函数论. 东北师范大学出版社.1987.12 . 白艳萍. 雷英杰. 杨明. 复变函数与积分变换. 国

20、防工业出版社 .2004.8. 王见定. 半解析函数、共轭解析函数及其在力学中的初步应用叨力学进展. 余家荣. 复变函数. 北京高等教育出版社. 2007. 高宗升. 滕岩梅.复变函数与积分变换. 北京航空航天大学出版社. 2006.4. 晏平. 复变函数引论. 清华大学出版社. 2011.2. 方企勤. 复变函数教程. 北京大学出版社. 1996.12. 林长胜. 复变函数. 四川大学出版社. 2004.12. 黄祖瑞. 张冠卿. 陈亭亭. 高宗升. 复变函数. 河南大学出版社. 1990.12. 杨绛龙. 杨帆. 复变函数与积分变换. 科学出版社. 2011.7. 盖云英. 包格军. 复变函数与积分变换.科学出版社. 2004.3. 谢 辞 值此论文完成之际，首先我要感谢我的导师. 从一开始论文方向的选定，到整篇论文的完成，老师都非常耐心的给我指导.他不但给我提供了大量的数据资料和建议，告诉我应该注意哪些细节问题，而且还细心的给我指出错误，修改论文. 老师不仅对复变函数有深入研究，而且对该课题有深刻的见解，使我受益匪浅. 老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格，令我终生受益，是我毕生学习的典范. 在此，谨向导师致以崇高的敬意和衷心的感谢！