数学专业毕业论文广义逆矩阵的求法探讨.doc

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1、广义逆矩阵的求法探讨the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrix 专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一 摘 要本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.关键词: 广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法 Abstract This article discusses the system of generalized Inverse matrices d

2、efined, discussed by the Moore-Penrose equation is defined by the nature of the various Generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular generalized inverse matrix calculatio.Keywords: Generalized inverse matrix; full r

3、ank decomposition; elimination; elementary transformation目录摘 要IAbstractII0 引言11 广义逆矩阵的概念与定理82 广义逆矩阵的计算方法82.1 广义逆矩阵的奇异值分解法82.2 广义逆矩阵的最大值秩分解法92.2极限法求广义逆矩阵92.3广义逆矩阵的满秩分解法112.4 初等变换法求广义逆矩阵15参考文献210 引言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义. 但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。 因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其

4、计算方法。1 广义逆矩阵的概念与定理定义1.1 设是的矩阵，若的矩阵满足如下四个方程的全部或者一部分，则称为的广义逆矩阵，简称广义逆. (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 则称是的逆，记为.如果某个只满足（1.1）式，为的1广义逆，记为G1；如果另一个满足（1.1），（1.2）式，则称为的1,2广义逆，记为1，2；如果1，2，3，4，则是逆等.下面介绍常用的5种1,1, 2，1, 3,1,4,1,2,3,4每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：（1） 1中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为；（2） 1,2中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为；（3）

5、1,3中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；（4） 1,4中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；（5） 1,2,3,4：唯一一个，称作加号逆，或，记为.定义1.2 设是的矩阵（, 当时，可以讨论），若有一个的矩阵（记为）存在，使下式成立，则称为的减号广义逆或者逆： (1.5)当存在时，显然满足上式，可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广；另外，由得可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆. 定义1.3 设 的特征值为则称为矩阵的正奇异值，简称奇异值.定义1.4 设矩阵，如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行

6、满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.定义1.5 设是矩阵, 若有矩阵满足(或), 则称为的右逆(或左逆), 记为(或).定理1.1 设是的矩阵，则的逆存在且唯一. 证明 先证的存在性. 设的奇异值分解其中，是的非零奇异值，与是酉矩阵.令容易验证满足四个方程，因此存在. 下面证的唯一性. 假定也是满足4个方程，则 因此, 说明是唯一的，且若是非奇异矩阵，容易验证满足4个方程，此时.由此可见逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）.定理1.2 设，存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵，使则阶矩阵使得的充分必要条件是其中分别是阶任意矩阵.证明 先证必要性，由条件有阶及阶可逆矩阵，使那么 根据应满足的

7、, 有再令 分块如题设要求，代入上式所以,于是有得到再证充分性，由于则 引理1.1 对于任意的矩阵，它的减号逆总存在，但不唯一，并且是的一个减号逆【1，2】.引理1.2 对于任意的矩阵，它的极小范数总存在，但不唯一，并且是的一个极小范数逆【12】.引理1.3 对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在 ,但不唯一,并且它是的一个最小二乘逆【1，2】.引理1.4 对于任意矩阵,它的加号逆总存在，并且唯一. 其中这里是的满秩分解式【1，2，3】.定理1.3 是 矩阵 , 若是行满秩矩阵 ,则总有；是列满秩矩阵，则总有；，则总有，其中是 的满秩分解式.定理1.4 设则可将做满秩分解（或的最大秩分解）其中是阶

8、矩阵，且. 将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解. 在各种广义逆的直接计算方法中, 几乎都要对矩阵进行满秩分解, 例如分解等等. 但当计算某些广义逆时,分解将带来大量非必要的计算, 因而有必要对满秩分解的方法进行简化, 为此, 我们首先用构造性方法证明下述定理. 定理1.5 对任意矩阵, 总存在着矩阵和矩阵，使得成立. 证明 设，则必有一个最大线性无关列，故令=，于是有非奇异矩阵，使, 亦即有 (1.6)成立，其中为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵便有, 于是由（1）知， = (1.7)其中, 且显然有，. 类似地可证存在着和，使有, 成立，倘令 (1

9、.8) (1.9)同样有.特别，若A为行满秩或者列满秩，则与中之一为单位阵，定理依然成立.定理1.6 对任何的矩阵，都有性质1.1 (1)的充分必要条件是，此时, 称为的一个左逆，记为.(2) 的充分必要条件是，此时=称为的一个右逆，记为.证明 (1)充分性，若则所以 必要性，若，则存在阶及阶可逆矩阵,使 或 由定理1.2可得, 则有即，于是有由于所以是可逆阵，那么所以，可取(2)同理可证性质(2)，可逆，有所以，可取2 广义逆矩阵的计算方法2.1广义逆矩阵A+的奇异值分解法设矩阵，由定理1.1知存在并且唯一，当时，则有奇异值分解：其中， ，为的奇异值，则具有如下形式：.例1 用奇异值分解求，

10、其中.解 的奇异值分解为,所以=. 例2 设用奇异值分解法求.解 因此特征值求出对应于所以 =2.2 广义逆矩阵的最大秩分解法的矩阵的秩，的最大秩分解为其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，则 (2.1)特别当时（行满秩阵） (2.2)当时（列满秩阵） (2.3)例3 求矩阵的逆.解 首先求得的满秩分解为，故 = =.2.3极限法求广义逆矩阵设是阶矩阵，则 (2.4) 证明 因为 由定理1.6得 例4 设用极限法求.解 因为因此 2.4 广义逆矩阵的满秩分解法对任意矩阵，由定理1.5知，其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，再由性质1.1可得如果A是实矩阵，有 设为矩阵的最大秩分解 ,则的广义逆矩阵的一般形式为.

11、例5 设，求其广义逆矩阵.解首先对 进行最大秩分解 ,对作行初等变换如下:所以的最大秩分解为=由定理1.3知，这里为3阶可逆方阵，故为行满秩矩阵，故可取=从而=例6 设矩阵 = 求.解 有满秩分解为取= ，从而 = ，得 取,得 得在依据性质1.1的(1.5)及(1.6)可分别求出于是得到2.4 初等变换法求广义逆矩阵 方法和步骤：经过一系列的初等行或初等列变换总可以将写成式的形式, 这里分别是m和矩阵，由定理1.2，则的全部广义逆为这里、分别是任意的例7.解由上述定理 ,首先要将 写成式的形式. 为此 , 将作初等变换得= 设, , , 则,从而，有=例8 设,求广义逆. 解 =于是 , .

12、所以的减号广义逆为,其中 .以上介绍了的初等变换法，那么我们现在给定一个矩阵, 总有，有定理1.3知当时，有，当时，有, 当时，有，其中是的满秩分解式. 我们可以看出要求矩阵的任何一种广义逆矩阵 , 关键是求出一个.那么下给出了利用初等变换法求出的具体方法.设, (不必限制 )则存在阶可逆矩阵 使得则，令由于所以是的一个广义逆矩阵(. 据此，我们对下面分块矩阵进行初等变换： =因此, .同理，对下面的分块矩阵施行初等变换： = 因此，.这里、均指可逆矩阵.例9 设= ，求的最小二乘逆.解 因为，所以. 对下列矩阵施行初等行变换有所以=.例10 设，求最小范数逆.解 因为=，所以=, 对下列矩阵

13、施行初等变换有 所以.上述例题给出的求广义逆矩阵和的方法 , 简便易行且使各种广义逆矩阵的计算得到了彻底解决. 致谢 本文是在 的指导下完成的，在此衷心的感谢周教授的细心的指导，才能顺利完成本论文.参考文献1李宗铎.求逆矩阵的一个方法J数学通报，1983（11）：1516.2南京大学数学系计算数学专业.线性代数M.北京：科学出版社，1978：97.3任晓红.球广义逆矩阵A的初等变换法J.西北轻工业学院学报，2000（2）：105106.4周琳.介绍广义逆矩阵及其计算方法J.本溪冶金高等专科学校学报，2001（2）：4345.5北京大学数学力学系.高等代数M.北京高等教育出版社，1978：187

14、.6杨明，刘先忠.矩阵论M.华中科技大学出版社，2005：9598.7刘丁酉.矩阵分析M.武汉大学出版社，2004：241241.8苏育才，姜翠波等.矩阵理论M.科学出版社，2003：192. 9 吴强.基于矩阵初等变换的矩阵分解法J.数学理论与应用，2000，20（4）.9刘宣黄.广义逆矩阵的计算方法J.江西电力职业技术学院学报，2008，21（1）：4447.10 Fuzhen zhang，Matrix Theory，Springer，1999.11 Horn R A，Johnson C R.1989.Matrix Analysis（矩阵分析）.杨奇.天津：天津大学出版社.12 D J Field What is the goal of sensory coding? 1994(4) M Heiler.C Schnorr Learning sparse.13 P O Hoyer Non-negative rnatrix factorization with sparseness constraints 2004(9)