小波分析在信号处理中的应用毕业设计.doc
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1、小波分析在信号处理中的应用摘 要小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。小波变换在于音频信号图像信号的处理中具有重要的意义。在传统的傅立叶分析中,信号完全是在频域展开的,不包含任何时频的信息,这对于某些应用来说是很恰当的,因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷,具有多分辨率分析的特点,在时域和频域都有表征信号局部信息的能力。而在于信号之中图像是一种重要的信息源,通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。本文简述了小波包分析的原理,并基于MATLAB实现了对二维图像信号进行消噪。对常用的几种阈值
2、去噪方法进行了分析比较和仿真实现。最后结合理论分析和实验结果,讨论了去噪过程中影响去噪性能的各种因素。为在实际的图像处理中,小波包阈值去噪法的选择和改进提供了数据参考和依据关键词:信号;图像锐化;图像去噪;小波分析 CC版权所有仅供参考!The application of wavelet analysis in signal processingABSTRACTWavelet analysis is pure mathematics, applied mathematics and engineering the perfect combination. Wavelet transform
3、is the audio signal processing of the image signal has an important significance.In conventional Fourier analysis, the signal is completely expanded in the frequency domain, the frequency does not contain any information, which for some applications is very appropriate because of its frequency of th
4、e signal information is very important. But its time-domain information may be discarded for certain applications is also very important.The wavelet analysis is to overcome the short-time Fourier transform in a single resolution of defects, with the multi-resolution analysis of the characteristics o
5、f the time domain and frequency domain signals are characterized by the ability of local information. But rather among the image signal is an important source of information, through image processing can help people understand the information content. This paper describes the principle of wavelet pa
6、cket analysis, and based on MATLAB realization of two-dimensional image signal de-noising. Several commonly used thresholding methods were analyzed and compared and Simulation. Finally, theoretical analysis and experimental results are discussed denoising process a variety of factors affect the perf
7、ormance of de-noising. As in the actual image processing, wavelet packet thresholding method selection and improvement of a data reference and basis.Keywords: signal;Image sharpening; image denoising; wavelet analysis目录第一章 概述11.1 小波分析的发展与应用11.2 本文主要意义内容2第二章 相关技术原理32.1小波分析的基本原理32.2几种常用小波42.3傅立叶变换与小波变
8、换62.3.1傅立叶变换与小波变换历史62.3.2 傅里叶变换72.3.3小波变换82.4 小波包定义性质112.4.1 小波包定义122.4.2 小波包的性质132.4.3 小波包算法13第三章 小波变换在信号处理中的应用143.1调试环境-MATLAB开发平台143.2 小波分析用于图像压缩143.3 小波包变换的图像压缩163.4 小波分析用于图像去噪173.4.1 图像噪声分类183.4.2 图像噪声处理193.5 小波分析用于图像增强213.6 图像锐化21第四章 图片降噪中主要应用的函数阈值选取224.1 二维小波包分解函数234.2 图像的小波包重构函数234.3 阈值选取244
9、.4 小波基对系统的影响分析24第五章 结论255.1 总结25参考文献26致 谢27附录 图像压缩去噪增强锐化原程序28第一章 概述1.1 小波分析的发展与应用众所周知,由于图像在采集、数字化和传输过程中常受到各种噪声的干扰,从而使数字图像中包含了大量的噪声。能否从受扰信号中获得去噪的信息,不仅与干扰的性质和信号形式有关,也与信号的处理方式有关。在实际应用中,针对不同性质的信号和干扰,寻找最佳的处理方法降低噪声,一直是信号处理领域广泛讨论的重要问题。目前有很多方法可用于信号降噪,如中值滤波,低通滤波,傅立叶变换等,但它们都滤掉了信号细节中的有用部分。传统的信号去噪方法以信号的平稳性为前提,仅
10、从时域或频域分别给出统计平均结果。根据有效信号的时域或频域特性去除噪声,而不能同时兼顾信号在时域和频域的局部和全貌。更多的实践证明,经典的方法基于傅里叶变换的滤波,并不能对非平稳信号进行有效的分析和处理,去噪效果已不能很好地满足工程应用发展的要求。近几年来,许多文献介绍了非平稳信号去噪的小波阈值方法。Donoho和Johnstone提出了通过阈值化小波系数对染有高斯噪声的信号进行去噪的方法。常用的硬阈值法则和软阈值法则采用设置高频小波系数为零的方法从信号中滤除噪声。实践证明,这些小波阈值去噪方法具有近似优化特性,在非平稳信号领域中具有良好表现。阈值法则主要依赖于参数的选择。例如,硬阈值和软阈值
11、依赖于单个参数的选择全局阈值,然而由于小波变换的非线性,的调整显得至关重要。阈值太小或太大,都会直接关系到信号去噪效果的优劣。当阈值依赖于多个参数时,问题将会变得更加复杂。实际上,比较有效的阈值去噪方法往往根据小波分解的不同层次确定不同的阈值参数,进而确定相应的阈值法则。与一般的小波分析相对比,小波包分析(Wavelet Packet Analysis)能够为信号提供一种更加精细的分析方法,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解,并能够根据被分析信号的特征,自适应地选择相应频带,使之与信号频谱相匹配,从而提高了时-频分辨率。小波包变换是小波变换的推广,它在表示信号时具
12、有比小波变换更强的灵活性。利用小波包变换给信号作分解时,低频部分和高频部分都被进一步分解。因此小波包与信号去噪的阈值方法相结合具有更加良好的应用价值。1.2 本文主要意义内容 在传统的傅立叶分析中,信号完全是在频域展开的,不包含任何时频的信息,这对于某些应用来说是很恰当的,因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要,所以人们对傅立叶分析进行了推广,提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法,如短时傅立叶变换,Gabor变换,时频分析,小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试,其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的,那
13、么通过分割时间窗,在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息 ,但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗,对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之,短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确,存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷,具有多分辨率分析的特点,在时域和频域都有表征信号局部信息的能力,时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整,在一般情况下,在低频部分(信号较平稳)可以采用较低的时间分辨率,而提高频率的分辨率,在高频情况下(频率变化不大)可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定,小波分析可以探测正常信
14、号中的瞬态,并展示其频率成分,被称为数学显微镜,广泛应用于各个时频分析领域。本文介绍了小波变换的基本理论,并介绍了一些常用的小波函数,它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等,都做了简要的说明。在不同的应用场合,各个小波函数各有利弊。小波分析在图像处理中有非常重要的应用,包括图像压缩,图像去噪,图像融合,图像分解,图像增强等。文中给出了详细的程序范例,用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。由于文本性质决定故决定此次小波分析与信号处理将以图片分析与处理作为示例。本论文主要重点在于图片的降噪处理。第二章 相关技术原理2.1小波分析的基本原理 小波是函数空间中满足下述条件的一
15、个函数或者信号: (2.1.1)式中,表示非零实数全体,是的傅里叶变换,成为小波母函数。对于实数对,参数为非零实数,函数 (2.1.2)称为由小波母函数生成的依赖于参数对的连续小波函数,简称小波。其中:称为伸缩因子;称为平移因子。对信号的连续小波变换则定义为 (2.1.3)其逆变换(回复信号或重构信号)为 (2.1.4)信号的离散小波变换定义为 (2.1.5)其逆变换(恢复信号或重构信号)为 (2.1.6)其中,是一个与信号无关的常数。显然小波函数具有多样性。在MATLAB小波工具箱中提供了多种小波幻术,包括Harr小波,Daubecheies(dbN)小波系,Symlets(symN)小波系
16、,ReverseBior(rbio)小波系,Meyer(meyer)小波,Dmeyer(dmey)小波,Morlet(morl)小波,Complex Gaussian(cgau)小波系,Complex morlet(cmor)小波系,Lemarie(lem)小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。2.2几种常用小波(1)Haar小波A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下: (2.2.1)这是一种最简单的正交小波,即 (2.2.2)(2)Daubechies(dbN)小波系该小波是Daubechies从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波。一
17、般简写为dbN,N是小波的阶数。小波和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。的消失矩为N。除N1外(Haar小波),dbN不具对称性即非线性相位;dbN没有显式表达式(除N1外)。但的传递函数的模的平方有显式表达式。假设,其中,为二项式的系数,则有 (2.2.3)其中 (3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性,它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解,用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式: Nr=1 Nd=1,3,5 Nr=2 Nd=2,4,6
18、,8 Nr=3 Nd=1,3,5,7,9 (2.2.4) Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8其中,r表示重构,d表示分解。(4)Coiflet(coifN)小波系coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数,它具有coifN(N=1,2,3,4,5 )这一系列,coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看,coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度;从消失矩的数目来看,coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。(5)SymletsA(symN)小波系Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数,
19、它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN(N=2,3,8)的形式。(6)Morlet(morl)小波Morlet函数定义为,它的尺度函数不存在,且不具有正交性。(7)Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函数为 (2.2.5)它是Gauss函数的二阶导数,因为它像墨西哥帽的截面,所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化,并且满足由于它的尺度函数不存在,所以不具有正交性。(8)Meyer函数Meyer小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的,是具有紧支撑的正交小波。 (2.2.6)其中,为构造Meyer小波的辅
20、助函数,且有 (2.2.7)12.3傅立叶变换与小波变换2.3.1傅立叶变换与小波变换历史小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来,就一直与傅立叶分析密切相关。它的存在性证明,小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析,二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同:(1)傅立叶变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到以为正交基的空间上去;小波变换的实质是把能量有限信号分解到(j=1,2,J)和所构成的空间上去。(2)傅立叶变换用到基本函数只有,具有唯一性;小波分析用到的函数(即小波函数)则具有不唯一性,同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析
21、应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析研究的一个热点问题),目前往往是通过经验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择小波函数。(3)在频域中,傅立叶变换具有较好的局部化能力,特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号,傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。例如,但在时域中,傅立叶变换没有局部化能力,即无法从信号的傅立叶变换中看出在任一时间点附近的性态。事实上,是关于频率为的谐波分量的振幅,在傅立叶展开式中,它是由的整体性态所决定的。(4)在小波分析中,尺度a的值越大相当于傅立叶变换中的值越小。(5)在短时傅立叶变换中,变换系数主要依赖于信号在片段中的情况,时间宽度是(因为是
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