对矩阵分解方法的探究 毕业论文.doc

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1、滨州学院毕业设计（论文）题 目对矩阵分解方法的探究系 （院）数学系专 业数学与应用数学班 级2010级1班学生姓名 学 号2009010447指导教师职 称 二一四年六月十日独 创 声 明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 二一四年 月 日 毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用

2、毕业设计（论文）的规定。本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名： 二一四年 月 日对矩阵分解方法的探究摘 要矩阵是线性代数中最为重要的核心内容，很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵分解来解决.矩阵分解是实现大规模数据处理和分析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义.矩阵分解主要分为两种：一种是将一个矩阵分解为两个或两个以上矩阵和的形

3、式；另一种是将一个矩阵分解为一些矩阵的乘积的形式.本文就此对矩阵的分解方法做了进一步的探究.第一章，介绍了矩阵的研究背景和基本概念；第二章，对矩阵的和式分解及其应用进行了研究，并得到了三个定理；第三章，着手探究了矩阵的分解、矩阵的分解、矩阵的谱分解、矩阵的奇异值分解以及其它分解方法的应用.这些分解在数值代数和解决最优化问题中都扮演着十分重要的角色并且在其它领域也起着非常重要的作用.关键词：矩阵和式分解；矩阵乘积分解；矩阵分解；矩阵分解；矩阵谱分解Explore on the Methods of Matrix Decomposition AbstractMatrix is the most i

4、mportant core content in linear algebra. Many problems can be attributed to matrix and ultimately be solved by matrix decomposition. Matrix decomposition is an effective tool to achieve large-scale data processing and analysis. It has the important practical significance in the engineering calculati

5、on. Matrix decomposition is mainly divided into two kinds. One kind is a form which decompose matrix into two or more than two matrices. Another kind is a form which decompose matrix into some matrix product. The paper has been explored on the matrix decomposition methods. The first chapter introduc

6、es the research background and the basic concepts of matrix. The second chapter, do some research on the matrix and sum decomposition and its application, and three theorems are obtained. In the third chapter, we study thedecomposition of matrix, thedecomposition of matrix, spectral decomposition of

7、 matrix, singular value decomposition of matrix and the application of decomposition method. These decomposition solving plays a very important role in numerical algebra and optimization problem and also plays an essential role in other areas.Key Words: the sum decomposition of matrix；the product de

8、composition of matrix；decomposition of matrix；decomposition of matrix；spectral decomposition of matrix 目 录第一章 矩阵分解的概述11.1研究背景11.2基本概念介绍1第二章 矩阵的和式分解及应用32.1矩阵的和式分解32.2矩阵和式分解的应用5第三章 矩阵的乘积分解及应用73.1矩阵的分解及应用73.2矩阵的分解及应用103.3矩阵的谱分解及应用133.4矩阵的奇异值分解及应用173.5矩阵乘积的其它分解及应用19小结22参考文献23谢辞24 第一章 矩阵分解的概述1.1 矩阵分解的研究背

9、景自20世纪50年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展，矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的重要工具，矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视.在数值线性代数中，我们常常需要将数域P上的某个已知矩阵写成若干个满足一定条件的特殊类型矩阵之和或矩阵之积的形式，并把这种矩阵表示称为矩阵分解.刘轩黄在文献1中探究了关于矩阵的满秩分解及其应用，并应用矩阵的满秩分解，给出了多种广义逆矩阵以及线性方程组的极小范数解，极小最小二乘解和极小范数最小二乘解的算法.王卿文在文献2中探究了高等代数中幂零矩阵的性质及其应用，幂零矩阵是一种特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的作用，它具有很多良好的

10、性质与此同时，从矩阵的各个角度深入挖掘其性质，并用不同的方法进行分析论证，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处.邹红星在文献3中探究了矩阵QR分解的途径，并给出四种求矩阵QR分解的方法，以加强对QR分解思想及方法的深刻理解.此外，在文献4-6中探究了矩阵分解的方法，并给出了矩阵分解的两种形式，即和与乘积的形式，分别介绍了不同的分解方法：LU分解、QR分解、满秩分解等方法综合上述对矩阵分解的探究，对于矩阵分解的不同方法给出了相应的应用例题，与此同时，本文在已有的矩阵分解方法的基础上，还给出了在一定条件下的矩阵分解的其它形式掌握矩阵分解的各种方法，不仅可以简化计算，而且可以简便快

11、捷的解决问题，并对于我们解决实际问题也有着重要的作用.1.2 矩阵分解中基本概念的介绍定义1.1 设，是两个矩阵，则矩阵 =，称为和的和，记为矩阵的和式分解就是将一个矩阵写成上述的形式当然分解后的矩阵与原矩阵是同型矩阵.定义1.2 设，那么矩阵，其中，称为与的乘积，记为从上述定义中可以观察到，矩阵与矩阵的乘积的第行第列的元素等于矩阵的第行和矩阵的第列对应元素乘积的和.那么，在上述矩阵乘积的定义中，我们要求矩阵的行数与矩阵的列数相等.第二章 矩阵的和式分解及应用2.1 矩阵的和式分解矩阵的和式分解问题在计算数学及线性代数中都有非常广泛的应用,本章将从矩阵入手，主要介绍矩阵和式分解的一般形式，即将

12、一个矩阵分解成两个矩阵或两个以上的矩阵和的形式.这对探究矩阵的结构以及矩阵的计算方法有着非常重要的作用.定理2.1 任意一个矩阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.证明 设为任意阶矩阵，构造矩阵 ，令 ，.因为，所以为对称矩阵，为反对称矩阵，并且，结论证得.定理2.2 秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和.证明 设是秩为的阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使,其中为的全部非零特征值，则 ，其中表示第行和第列的元素都为1，其余元素均为0的阶矩阵.，所以是对称矩阵.又因为秩，为可逆矩阵，故秩秩.所以，证得秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和. 下面这个定理则是在一定条件下矩

13、阵和式分解的形式定理2.3 证明任意复矩阵均可以分解为的形式，其中为幂零矩阵，相似于对角形矩阵，并且.证明 由题意知，存在可逆矩阵，使得，其中有 设 ,，则令，则,就是所求的矩阵2.2 矩阵和式分解的应用如果一个矩阵可以分解成两个或两个以上矩阵的和的形式，则可以用分解式的形式来计算与该矩阵可交换的矩阵，矩阵的方幂等. 例2.1 设，求所有与可交换的矩阵.解 令, 设与可交换,即 ,可得 ,则有 ,所以 ，因此为任意实数.例2.2 设，求.解 令，则，又，所以.因为 ,所以 .从上述例子可以看出，将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另一个矩阵和的形式，不仅可以简化计算，而且可以简便快捷的解决问题.第三

14、章 矩阵的乘积分解及应用3.1 矩阵的分解及应用分解 设是阶可逆矩阵，如果的对角线下（上）方的元素全为零，即当时，（当时，），则称矩阵为上（下）三角矩阵.上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.如果一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，使得，则称可以做三角分解.并且称为的三角分解或分解. 定理3.1 分解的定理 设是阶可逆矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵和上三角矩阵，使得的充分必要条件是的所有顺序主子式均非零，即 分解可以用直接法推导出的分解公式，将写成 ,比较等式两端的第行和第列元素，可得 ,上式利用了，从而.当时，从而 ，分解的初等变换消元法 设一可逆矩阵的个顺序主子式非零，则存在可逆矩阵，使,其

15、中是一系列初等行矩阵之积（对应于初等行变换），是下三角矩阵，是上三角矩阵，求可用下面做法 例3.1 求矩阵的分解.解 方法一 对矩阵作初等行变换，所以得，所以得 ，即 方法二 令,所以 由，得 由，得 由，得 由，得 由，得 由，得 所以得，,即 3.2 矩阵的分解及应用矩阵的分解（即正交三角分解）在解决最小二乘问题、特征值计算、广义逆矩阵的计算方面，都有着十分重要的作用.矩阵的分解 设是阶可逆实矩阵，则可唯一分解为，其中为正交矩阵（，或），是主对角元素都是正数的三角矩阵，称该分解为对的正交三角分解.设是矩阵，且为列满秩，即，则有，其中的个列向量是标准正交的，是正对角元的阶上三角矩阵.矩阵的分

16、解有很多种.常见的有Schmidt、Givens正交分解法Schmidt正交分解法 设可逆矩阵（或列满秩）的列向量是，用Schmidt标准正交化使得为正交组.则有先正交化再单位化 ，则得 因为是标准正交组，是正交矩阵.例3.2 用Schmidt正交化方法，求矩阵的分解.解 令 ，则，由Schmidt正交化公式，得，,， ，由公式，即3.3 矩阵的谱分解及应用3.3.1 单纯矩阵的谱分解阶单纯矩阵有个线性无关的特征向量,设是的个特征值，是的个线性无关的特征向量，而且有,令 ，则有,两边取转置得 ，这就表明也与对角矩阵相似.所以，设是的个线性无关的特征向量，即有 ,将上式两端取转置得 .由上式，则

17、称是的左特征向量，称是的右特征向量.由得，两边取转置，得,代入，得,则,此时有.比较上式两端上式表明，矩阵的左特征向量与右特征向量正交.把下边式子与式子,代入，得.令，则得.因此，称上式为单纯矩阵的谱分解.即分解成个矩阵之和的形式,其线性组合系数是的谱（即所有的特征值）.3.3.2 矩阵谱分解的定理定理3.2 设是阶单纯矩阵，是的个互不相同的特征值，则满足下面性质的谱分解（1）；（2）；（3）；（4）.证明 设对于的线性无关的右特征向量为,左特征向量为，将其代入，得，其中 ，根据,得,又由 ,得,.则所有的式子都得证.例3.3 求矩阵的谱分解.解 因为，所以的特征值为.对于由得其特征向量.对于

18、，由得其特征向量.所以得 ，并且有 ，取，,则3.4 矩阵的奇异值分解及应用3.4.1 矩阵的奇异值分解定义3.1 矩阵的奇异值分解 设，的特征值为，则称是矩阵的正奇异值，简称奇异值.也就是的特征值的非负平方根.当是零矩阵时，则的奇异值均为零.由上面的定义可以得出以下几个性质：（1）阶矩阵的奇异值的个数等于列数（因为的阶数是）；（2）的非零奇异值的个数等于（因为）3.4.2 矩阵奇异值分解定理 定理3.3 设，则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，使得 ,其中,而是的正奇异值，则称 是的奇异值分解.证明 由，则有并且是Hermite矩阵.设的特征值是，则有,所以有.记，其中代入上式得,则有,由令,又由 ，

19、最后得 . 例3.4 求矩阵的奇异值分解.解 因为，所以的特征值是3,1,0.则的奇异值是并且的正交单位特征向量分别是，令，则，所以的奇异值分解为3.5矩阵乘积的其它分解及应用例3.5 令为数域上秩为的矩阵，试证 存在秩为的矩阵和秩为的矩阵，使得证明 因为秩，则存在的可逆矩阵和的可逆矩阵，使得取 ，则,分别是秩为的矩阵与秩为的矩阵，并且有注 从上面的分析和证明中可看出，只要应用上面结论 ，同时给出适当的变化，就可以得到证明需要注意的是，上面的结论有时还可以写成 例3.6 复数域上的任意阶方阵，均等于两个对称矩阵的乘积，并且其中之一是非退化的证明 是复数域上的阶方阵，则存在阶可逆矩阵，使，其中,

20、作 ,与阶数相同，易知，令,则有 ，故令 ，则 令，则, 非退化，并且， .注 对于()阶若尔当块 ，则存在阶矩阵 ，使得 ，小 结矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具矩阵是线性代数中最为重要的核心内容，很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决. 我们通过对矩阵分解的探究可知，在近代数学、工程技术、信息处理、经济理论管理科学中，也大量涉及到矩阵理论的知识，矩阵分解是实现大规模数据处理和分析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义矩阵发展到今天已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富，形式多样矩阵分解是根据一定的原理用某种算法将

21、一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积或者一些矩阵之和，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了至关重要的作用本文探究了矩阵的两种主要分解形式，这对于与矩阵有关的数值计算和理论都有着非常重要的意义通过对所给矩阵进行不同的分解，既简化了计算，又可以快捷的完成所研究的内容，可见，矩阵的各种分解形式都有着其特别的用处因此，探究矩阵的不同分解方法，对于我们更深层次的研究数学有着很重要的作用参 考 文 献1 刘轩黄. 矩阵的满秩分解及其应用J. 江西电力职工大学学报，1999，12（4）：1-7.2 王卿文. 高等代数学综论M. 香港天马图书有限公司，2000.3 刘秀梅. 矩阵QR分解途径的研究J. 内江师

22、范学院学报，2007，22（4）：18-20.4 李建东. 矩阵QR分解的三种方法J. 吕梁高等专科学校学报，2009，25（1）：16-19.5 王群英. 矩阵分解方法的探究J. 长春工业大学学报(自然科学版)，2011，32（1）：97-101.6 房月华，陈萍. 矩阵的满秩分解及其方法J. 衡水学院学报，2011，13(4)：16-18.7 北京大学数学系. 高等代数（第三版）M. 高等教育出版社，2003.8 王瑜. 矩阵的和式分解与应用J. 苏州信息职业技术学院学报，2010，8: 239.9 罗小桂. 矩阵奇异值分解及其应用J. 井冈山学院学报，2005，12（4）：133-135

23、.10史荣昌，魏丰. 矩阵分析M. 北京：北京理工大学出版社，2005.11 张禾瑞，郝炳新. 高等代数（第四版）M. 北京大学出版社，2002.12 Y.Q.Guo,K.P.Shum and G.T.Xu. Linear AlgebraM.Science Press,2007.13 邹红星，王殿军，戴琼等. 行（或列）对称矩阵的QR分解J. 中国科学（A辑），2002，32 （9）：842-849.14 袁晖坪. 实行(列)对称矩阵的QR分解J. 哈尔滨工业大学学报，2009，41（9）：238-245.15 李师正. 高等代数解题方法与技巧M. 高等教育出版社，2004.16 方保镕，周继

24、东，李医民. 矩阵轮M.北京：清华大学出版社，2004.17 扬子胥. 高等代数习题解M. 山东科学技术出版社，2003. 谢 辞这次毕业论文能够得以顺利完成,是所有曾经指导过我的老师，帮助过我的同学，一直支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果我要在这里对他们表示深深的谢意！首先，感谢我的指导老师高丽老师高老师在我毕业论文的撰写过程中，给我提供了极大的帮助和指导从开始选题到中期修改，再到最终定稿，高老师给我提供了许多宝贵的建议高老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响高老师渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪其次，感谢滨州学院所有曾经为2008级数学与应用数学专业任课的老师，老师们教会我的不仅仅是专业知识，更多的是对待学习、对待生活的态度感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆此外，在论文写作过程中得到了许多同学和图书馆老师们的热心帮助，不论是在论文的资料查阅阶段、论文的撰写阶段还是论文的排版打印阶段，他们都给予了悉心的指导帮助，在此向他们表示衷心地感谢！