剩余类环 上的多项式环及因式分解和可约性毕业论文.doc

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1、 20142014 届本科毕业生毕业论文届本科毕业生毕业论文 题目：题目：剩余类环剩余类环2z上的多项式环及因式分上的多项式环及因式分解和可约性解和可约性 学学 院：院：专业班级专业班级 学生姓名：学生姓名：指导教师：指导教师：答辩日期：答辩日期：大学教务处大学教务处 目目 录录 1 引言.1 2 群，环的相关理论.错误错误!未定义书签。未定义书签。2.1 交换群，环的定义.错误错误!未定义书签。未定义书签。2.2 多项式环.2 2.3 剩余类环和模为 2 的剩余类环的证明.3 2.4 剩余类环上的多项式环.5 3 剩余类环上的因式分解及可约性.5 3.1 模为 2 的剩余类环上多项式环的的因

2、式分解，可约不可约性.5 4 结论.10 附录.11 参考文献.11 致 谢.12 剩余类环剩余类环2z上的多项式环及因式分解和可约性上的多项式环及因式分解和可约性 摘要：摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环2z为环，构造剩余类环2z上的多项式环，给出剩余类环2z上的多项式环的因式分解及判断可约性。关键字：关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。Factorization of polynomial ring and the residue class ring 2zdecomposition and reducibility A

3、bstract:This paper presents group,abelian groups,rings,determination of invertible elements;prove the residue class ring ring,polynomial ring over residue class rings,given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility.Keywords:Keywords:ring；residue class ri

4、ng；polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization；polynomial ring reducibility.1 1 引言引言 19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著Moderne Algebra(近世代数)1。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模

5、n的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位,也在解决生活实际问题时有一定的应用,学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模n剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。模n的剩余类环为有限可换环，整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为2剩余类环，模为2的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。2 2 群，环的相关理群，环的相关理论论 2.1 2.1 交换群，环的定义，可逆的判定交换群，环的定义，可逆的判定 2.1.1 2

6、.1.1 群，交换群群，交换群 定义定义 4 42 设G是非空集合，在G上有一个代数运算，叫做乘法，对G的任意两个元,a b，其运算的结果称为a与b的积，记为abc,如果还满足 1.结合律:cabbca,Gcba,.2.有单位元单位元e,使得aaeea,Ga 3.对每个Ga,有Gb,使ebaab,b称为a的一个逆元逆元.则称G为一个群群.当群G的运算满足交换律时，成G为交换群交换群，这时也常把其运算记成加法，并称它是一个加（法）群（注意注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元）2。2.1.2 2.1.2 环的定义环的定义 定义定义3 一个集合R叫做一个环环.假如 1.

7、R是一个加群，换句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律；cabbca 不管cba,是R的哪三个元；4.两个分配律成立：a bcabacbc abaca 不管cba,是R的哪三个元.2.2 2.2 多项式环多项式环 假定0R是一个有单位元的交换环，R是0R的子环，并且包括0R的单位元。我们在0R里取出一个元x来，那么 nnnnxaaxaxax.a01100 iaR 定义定义5 一个可以写成nnxaaa.10,0iaR n 形式的表达式，称为R上的x的一个多项式多项式。ia叫做多项式的系数系数。现在我们把所有的R

8、上的 x的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我们用 R x来表示.我们要注意，对于mn，100a.0.0mmmnmma xaa xxx 所以当我们只看 R x的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都是一样的。因此，R x的两个元相加相乘适合以下公式：0000a.nnnnnnna xbb xababx 000a.b.mnm nmnm na xb xccx 这里 kjijikkkkbabababa0110.c 这两个式子告诉我们，R x对于加法和乘法来说都是闭的。由于我们也有 -00a.nnnna xaa xR x 所以 R x是一个环。R x显然是0R包括R和x的最小子环。定义定义5

9、 R x叫做R上的x的多项式环。2.3 2.3 剩余类环的定义和模为剩余类环的定义和模为2的剩余类环的证明的剩余类环的证明 2.3.1 2.3.1 剩余类环的定义剩余类环的定义 本小节给出了剩余类环的定义，为证明模2的剩余类2Z为环提供了理论基础。给了一个环R和R的一个理想附录 若我们只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集,cba作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模的剩余类。剩余类。这个分类相当于R的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号)(ba 来表示9。定理定理 1 19 假定R是一个环，是它的一个理想，R是所有模的剩余类做成的集合。那么R本身也是一个环，并

10、且R与R同态。定义定义9 R叫做环R的模的剩余类环。这个环我们用/R来表示。2.3.2 2.3.2 证明模证明模2的剩余类的剩余类2Z是环是环 证明：证明：已知模2的剩余类由2Z=0,1构成的一个集合.2Z对加法和乘法满足 下列运算表：为方便记：00,11，0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 对2,Zcba 2Zcba 成立 (对加法是封闭的）对2,Zcba cbacba成立 (对加法满足结合律）对2,Zcba 20Zba成立 （存在零元）对2,Zcba abba （对加法满足交换律）由可知2Z对加法满足交环群.对2,Zcba 2Zcba （对乘法的代数运算是封

11、闭的）对2,Zcba cabbca （对乘法满足结合律）对2,Zcba cabaacbacabcba （对乘法满足两个结合律）由可知2Z是环。2.4 2.4 剩余类环上的多项式环剩余类环上的多项式环 我们已得出2Z是环而且是交换环。定义定义2 R为交换环，交换环0a,.,.,.,10100inRaaaaaR且只有限个正是 10.nnnR xa xaa n为非负数，Raan0,.，称为R上的多项式环。所以可知，模为2的剩余类环2Z上的多项式环的形式为：01.xaaxaZnnnn 为非负数,20,.Zaan,1,02Z.3 3 剩余类环上的因式分解剩余类环上的因式分解及可约性及可约性 3.1 3.

12、1 模为模为 2 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性 设 0,)(cFcxFxf，有)()(,)(xfxcfxfc，所以我们有以下面定义.定义定义 2.5.12.5.14 设 0,)(cFcxFxf，我们称c与)(xcf为多项式)(xf的平凡因式.定义定义 2.5.2 2.5.2 4设 xFxf)(，如果 xf在 xF中有非平凡因式，则称 xf在 xF中可约，否则称 xf在 xF中不可约.定理定理 2.4.3 2.4.3 7 0,0,f xF xf xn xf在 xF中都可以分解为不可约多项式的乘积.证证 若 xf在 xF中不可约，则结论成立。

13、若 xf在 xF中可约，则 ”且“xfxfxfxfxfxFxfxf201021210,此时迹有 xfxf0200.若 xfxf21,都不可约，则结论成立.若 xfxf21或都不可约，则继续分解。因为分解后的因式的次数降低，而一次多项式不可约，所以分解必会终止。即 xpkrxpxpxpxfrk,.,2,1,.21 不可约.故结论成立.上节我们已给出模为2的剩余类环2Z上的多项式环的形式 210f(x).nnnZxa xaan 为非负数,20,.Zaan,1,02Z，模为2。接下来我们讨论它的因式分解及可约性。1.1.当x 的最高次方为0时，)(f x=0,)(f x=1 为常数多项式。它为不可约

14、多项式 10。2.2.当x的最高次方为1时：)(f x=x ,)(f x=1x 最高次方为一时，该多项式不可约。3.3.当x的最高次方为2时，共有4个多项式：（1）)(f x=xxx2 为可约多项式。（2）)(f x=111122xxxx 为可约多项式。（3）)(f x=12xxxx 为可约多项式。（4）)(f x=12 xx 为不可约多项式。4.4.当x的最高次方为3时，共有8个多项式：（1）)(f x=xxxx3 为可约多项式。（2）)(f x=1111233xxxxx 为可约多项式。（3）)(f x=113xxxxx 为可约多项式。（4）)(f x=13 xx 为不可约多项式。（5）)(

15、f x=123xxxxx 为可约多项式。（6）)(f x=123xx 为不可约多项式。（7）)(f x=1223xxxxxx 为可约多项式。（8）)(f x=111123xxxxxx 为可约多项式。5.5.当x的最高次方为4时，总有16个多项式：（1）)(f x=xxxxx4 为可约多项式。（2）)(f x=11111144xxxxxx 为可约多项式。（3）)(f x=1124xxxxxx 为可约多项式。（4）)(f x=14 xx 为不可约多项式。（5）)(f x=1124xxxxxx 为可约多项式。（6）)(f x=124xx 为不可约多项式。（7）)(f x=1324xxxxxx 为可约

16、多项式。（8）)(f x=111224xxxxxx 为可约多项式。（9）)(f x=134xxxxxx 为可约多项式。（10）)(f x=134xx 为不可约多项式。（11）)(f x=12334xxxxxx 为可约多项式。（12）)(f x=1111234xxxxxxx 为可约多项式。（13）)(f x=12234xxxxxxx 为可约多项式。（14）)(f x=1113234xxxxxx 为可约多项式。（15）)(f x=111234xxxxxxxx 为可约多项式。（16）)(f x=1234xxxx 为不可约多项式。6.6.当x的最高次方为5时，总有32个多项式：（1）)(f xxxxx

17、xx5 为可约多项式。（2）)(f x1112345xxxxxx 为可约多项式。（3）)1)(1)(1)(1()(f5xxxxxxxx 为可约多项式。（4）1f5xxx 为不可约多项式。（5）)1)(1(f225xxxxxxxx 为可约多项式。（6）1)(f25xxx 为不可约多项式。（7）)1()(f425xxxxxxx 为可约多项式。（8）)1)(1)(1(1)(f325xxxxxxxx为可约多项式。（9）)1)(1()(f35xxxxxxxx 为可约多项式。（10）1)(f35xxx 为不可约多项式。（11）)1()(f2435xxxxxxx 为可约多项式。（12）)1)(1(1)(f3

18、435xxxxxxx 为可约多项式。（13）)1()(f3235xxxxxxxx 为可约多项式。（14）)1)(1)(1(11)(f2235xxxxxxxxx）（为可约多项式。（15）)1)(1()(f23235xxxxxxxxx为可约多项式。（16）1)(f235xxxxx 为不可约多项式。（17）)1()(f45xxxxxxxx 为可约多项式。（18）1)(f45xxx 为不可约多项式。（19）)1()(f3445xxxxxxx 为可约多项式。（20）)1)(1)(1)(1)(1(1)(f45xxxxxxxxx为可约多项式。（21）)1()(f23245xxxxxxxx 为可约多项式。（2

19、2）)1)(1(1)(f4245xxxxxxx 为可约多项式。（23）)1)(1)(1()(f2245xxxxxxxxxx 为可约多项式。（24）1)(f245xxxxx 为不可约多项式。（25）)1()(f2345xxxxxxxxx 为可约多项式。（26）)1)(1)(1(1)(f23345xxxxxxxx 为可约多项式。（27）)1)(1()(f3345xxxxxxxxx为可约多项式。（28）1)(f345xxxxx 为不可约多项式。（29）)1)(1)(1()(f2345xxxxxxxxxx 为可约多项式。（30）1)(f2345xxxxx 不可约多项式。（31）)1()(f234234

20、5xxxxxxxxxxx为可约多项式。（32）)1(11)(f242345xxxxxxxxx）（为可约多项式。4 4 结论结论 我们已给出了剩余类环和模为 2 的剩余类环的证明，模为 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性，显然，我们可发现，模为 2 的剩余类环上多项式环因式分解后，它的可约不可约性有以下的几个规律：（1）多项式的最高次数低于二次（不包含二次）的多项式一律不可约。（2）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，当多项式的项的个数为奇数且含有常数项时，该多项式不可约。（3）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，在多项式的最高次方为奇数的，包含常数项的情况下，多项式缺项（

21、项的系数为零）时，该多项式不可约，反而不缺项时，该多项式都可约。（4）多项式的最高次方为n时，多项式的最多项数为1n。我们有了以上的规律后，以后碰到模为2的剩余类环上多项式环中的高次多项式的时候都可以判断各种多项式的可约不可约性。附录附录 定义定义10 环R的一个非空自己叫做一个理想子环，简称理想理想，假若 )(i baba,）（ii arraRra,参考文献：参考文献：1近世代数 研传:科学出版社 2010 年 9 月第一版,前言(ii).2近世代数初步（第二版）石生明：高等教育出版社，2002 年 7 月第一版，第 4 页.3近世代数基础（修订本）张禾瑞:高等教育出版社，2012 年 5

22、月第 49 出版，第 82 页.4高等代数 高孝忠:清华大学出版社，2013 年 4 月第一版,第 30 页.5近世代数基础（修订本）张禾瑞:高等教育出版社，2012 年 5 月第 49 出版，第 102 页.6近世代数 赵淼清：浙江大学出版社 2005 年 8 月第一版，第 131 页.7高等代数 张志让，刘启宽：高等教育出版社 2008 年 1 月第一版，第 129 页.8抽象代数 I 陈良云：科学出版社，2010 年 1 月第一版，第 49 页.9近世代数初步 石生明：高等教育出版社，2006 年 3 月第一版，第 93 页.10高等代数 熊全淹主审：高等教育出版社，2000 年 7 月

23、第 14 版，第 21 页.致致 谢谢 大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实。当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。首先我非常感谢我的论文导师曾吉文老师。导师润博专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标，掌握了基本研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师的大量心血。在此向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！感谢四年中陪伴在我身边的老师，同学，宿友，朋友们，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持，鼓励和帮助，我才能度过了四年的学习生活。