凸函数的性质及其在最优化理论中的应用毕业论文.doc

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1、凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘要给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用关键词凸函数；非线性规划；梯度；凸规划 The Property of Convex Function and Its Application in OptimizationAbstract：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and its calculation characte

2、rs.Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examplesKeywords：Convex function；Nonlinear programming；Gradient；Convex programming1 前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论

3、中处理某些问题时常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题2 预备知识2.11 一般非线性规划的数学模型 (1)(1)式中是维向量都是的映射（即自变量是维向量，因变量是实数的函数关系）与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记称为

4、可行域因此模型(1)式有时可简记为2.22 凸集设是维欧式空间的一点集，若任意两点的连线上的所有点满足，则称为凸集2.33 水平集设函数定义在集合上，则称集合且为在集合上关于数的水平集其中是一个数，这里水平集，指的是满足的那部分的集合，即为的一个子集如下图1-1所示：Hs（f，）xf(x)0 图1-12.43 梯度设多元函数，若在点处对于自变量的各分量的偏导数都存在，则称函数在点处一阶可导，并称向量是在点处的梯度或一阶导数2.53 海塞矩阵设，若在点处对于自变量的各分量的二阶偏导数都存在，则称函数在点处二阶可导，并称矩阵为在点处的二阶导数或海塞矩阵3 凸函数的定义及性质3.1 凸函数的两个定义

5、凸函数的定义有多种形式.一般数学分析中多采用分析性强的弦线法定义,而高等数学多采用几何直观性强的切线法定义分别见下面的定义1及定义2.定义14 设函数在区间上有定义，若对上任意两点和实数，总有成立，则称为区间上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称为区间上的严格凸函数定义25 设函数在区间上可导, 如果曲线在区间位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线在区间上为凸的，即为区间上的凸函数 类似的可定义凹函数.3.2 凸函数的性质性质15 若与均为凸集上的凸函数，则也是凸集上的凸函数证明 和，因,都是凸集上的凸函数,则,.两式相加便得：.由凸函数的定义知也是凸集上的凸函数性质25 若为定义在凸集上的凸

6、函数，则对任意实数，函数也是定义在上的凸函数证明由于，为上的凸函数，则对于和，有，上式两端均乘以，可得由凸函数的定义知是凸集上的凸函数推论 ，均为定义在凸集上的凸函数，则也是凸函数性质36 设是定义在凸集上的凸函数，则对任一个实数，水平集且也是一个凸集证明 ，则有，作因为，是凸集，因此有即都同属于，又因为是定义在上的凸函数，故有 即，则由凸集定义可知，也是一个凸集性质45 若为定义在凸集上的凸函数，则的任一个极小点就是它在上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集证明 设是的一个局部极小点，即在的领域内，所有都满足：，在中任取一点，连及，则存在一个，使记，则有 (2)又因为为定义在凸集上的凸函

7、数，所以有 (3)由(2)式及(3)式，有即 又因为，有因为是上的任意一点，则是在上的全局极小点若凸函数在上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集设为在上的一个极小点，为其极小值，记则由性质3，水平集：构成一个凸集，在凸集中的点有因此中的点必全是在中的极小点由水平集的定义，在中的极小点也全在水平集中，所以在中的极小点必构成凸集4 凸规划对于非线性规划(1)，当为凸函数，函数是凸函数，函数为线性函数时，规划(1)为一个凸规划 定理17 设为定义在凸集上的可微凸函数，若存在点，使对于所有的点，都有则是在凸集上的全局极小点证明 凸函数的一阶充要条件为因为，故有由于的任意性，故是在凸集上的全局极

8、小点定理27 若为定义在凸集上的可微凸函数一个平稳点，则也是在上的全局极小点证明 因为平稳点，即有即满足：都有则由定理1可知，也是在上的全局极小点引理18设是上的凸函数，并设有限，如果在可微，则对一切，均有定理38 假设函数和分别为上的凸函数和凹函数，并设为线性函数若存在向量、，其中满足(1)式，且成立,则为满足(1)式的整体最优点证明 设是满足(1)式的任一点于是 (4) 将引理1用于、和，并利用(4)得到 将上式重新排列，得到，所以得到5 应用例1 求下列函数的极小值点：解 先求平稳点，因为，令，即解此方程组，得到平稳点：又 ，因此有，所以是严格局部极小点例2 试分析下面线性规划目标函数的

9、最优解解 和的海塞矩阵的行列式分别是知为严格凸函数，为凹函数由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个凸规划问题在坐标系上做出的等值线是以为圆心的一族同心圆，可行域为凸集ABCD,（如图1-2）X2待添加的隐藏文字内容2BA 0 X1CD(2,0) 图1-2的等值线族与可行域ABCD的边界切于C点，则C点就是在可行域ABCD上的全局极小点可知点为其最优点，则全局最优解也在点处取得6 小结凸函数的应用非常广泛，特别是在最优化理论中的应用凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题凸规划的局部最优解就是全局最优解若目标函数时严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的这

10、实质上是定义在凸集上的凸函数的具体应用致谢在论文完成之际，特别感谢老师的悉心指导参考文献1阿佛里耳非线性规划M上海：上海科学技术出版社，1979,102运筹学教材编写组运筹学M北京：清华大学出版社，2005,08 3何坚勇最优化方法M北京：清华大学出版社，2007,104 华东师范大学数学系数学分析:上册 M ，北京：教育出版社 ，2001.5白景化凸函数的性质等价定义及应用J开封大学学报，2003, 2 (17): 1-2 6顾荣函数凸凹性定义的探讨J佳木斯教育学院学报，2010,06：35-367晏忠红凸函数的应用J湖南工业职业技术学院学报，2003,12:45-468王凤鸣关于凸函数的定

11、义J南阳师范学院学报，2002,08:21-229曹良干凸函数的定义及应用J. 阜阳师范学院学报, 1994, 02:1-210段锋凸函数的定义和性质J. 和田师范专科学校学报, 2008, 3 (28):1-211张勇. 凹凸函数定义探讨J. 牡丹江教育学院学报, 2009, 03: 1-2.12邹自德. 凸函数及应用J. 广州广播电视大学学报, 2008, 01: 2-3.13刘三阳凸函数的新发展J，西安电子科技大学学报，1990，01：45-48.14邱根胜拟凸函数的几个性质J，南昌航空工业学院学报，1998，02：36-39.15郝彦关于拟凸函数几个定义的讨论J，浙江海洋学院学报，2002，04：388-390.16杜江函数广义凸的充要条件J，江汉石油学院学报，1994，01：107-110.17刘校拟凸函数的连续性和可微性的讨论J，渝州大学学报，1996，03：82-86.18王兴国关于半连续性与拟凸函数的注记J，浙江师大学报，1999，02：14-18.19杨新民上半连续函数的拟凸性J，运筹学学报，2002，01：48-51.20杨泽高一类强伪凸函数的若干性质J，工程数学学报，1994，11：120-124.21杨益民函数强伪凸性与映射强伪单调性J，高等学校计算数学学报，2002，03：141-146.