关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨数学毕业论文.doc
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1、 关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要:矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。关键词:逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容,也是处理实际问题的重要工具,而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义,就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。定义1 n级方阵A称为可逆的,如果n级方阵B,使得 AB=BA=E (1) 这里E是n级单位矩阵。定义2 如果B适合(1),那么B就称为A的逆矩阵,记作。定理1 如果A有逆矩阵,则逆矩阵是唯一的。逆矩阵的基本性质:性质1 当A为
2、可逆阵,则.性质2 若A为可逆阵,则为任意一个非零的数都是可逆阵,且 .性质3 ,其中A,B均为n阶可逆阵.性质4 .由性质3有定理2 若是同阶可逆阵,则是可逆阵,且下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法:方法一 定义法 利用定义1,即找一个矩阵B,使AB=E,则A可逆,并且。方法二 伴随矩阵法 定义3 设是n级方阵,用表示A的元的代数余子式,矩阵称为A的伴随矩阵,记作A*。定理3 矩阵A可逆的充分必要条件是,并且当A可逆时,有。定理证明见1.定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法,并且给出了求逆矩阵的一种方法,但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形,如果阶数较大,那
3、么使用此方法计算量太大。由定理3逆矩阵判定的方法还有:推论3.1 n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。推论3.2 矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。推论3.3 n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。方法三 初等变换法 定义4 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换: 交换矩阵的两行列;以一个非零的数乘矩阵的某一行列; 把矩阵的某一行(列的倍加到另一行列。 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 具体方法是:欲求A的逆矩阵时,首先由A作出一个矩阵,即,其次对这个矩阵施以行初等变换且只能用行初等变换,将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵
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