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1、本科毕业设计（论文）外文翻译译文学生姓名： 院 （系）： 理学院 专业班级： 光学0801 指导教师： 完成日期： 2012年 3 月 26日 由振动引起的法布里-珀罗腔的弹性形变Lisheng Chen,John L.Hall,and Jun Ye起止页码：053801-1053801-13出版日期（期刊号）：PHYSICAL REVIEW A 74, 053801 _2006_出版单位：The American Physical Society我们对最先进的稳定激光器的法布里-珀罗腔进行了详细的数值分析。使用有限元分析法定量的分析各种形状和安装方法的法布里-珀罗腔的弹性形变。我们证明，选择

2、合适的安装方案，尽量减少谐振长度敏感性的振动扰动是可行的。这项调查提供了稳定光腔的详细信息，这可能有利于超稳定光学局部振荡器在光学原子钟和精密测量探测物理学基本规律方面的发展。. 导言频谱纯度高和长期稳定性好的激光辐射在许多领域具有重要的应用，如高精度激光光谱，光频测量和基本物理假设的测试。高精细度的法布里-珀罗腔广泛应用于频率稳定的各种激光系统。其中的反馈控制是用来引导空腔共振中的线宽的部分激光频率，消除激光的固有噪声并使它们变成与测量法布里-珀罗腔空腔共振相关的噪声。精细度约50000共振线宽为30千赫的腔很容易获得。这种共振频率在有限散粒噪声背景下可以有很大的对比度和不饱和功率，特别是具

3、有易获得高信噪比（S/N）的特征。此外，当腔的反射场采用误差信号时，频率控制带宽不由腔线宽限制。已经有人对实现长相干时间的激光辐射的可能性做了研究。这方面的研究已取得长足的发展，并且光谱分辨率也在不断地提高。特别是，对于预期频率精度达到10的光学时钟，稳定的激光振荡器是不可或缺的组成部分。在这些共振品质因数（Q）10的光学时钟中，多普勒加宽和碰撞引起的频移可以被受限信号单离子或在兰姆凹陷线型中的中性原子限制。另一方面，基于飞秒锁模激光器的“光飞轮”提供时钟机构并且建立一个与射频频率有关的相干相位标准。上述标准使得在超稳探测激光器的发展能够鉴别在离子和中性原子中的时钟跃迁方面，有了令人鼓舞的突破

4、进展。超精细耦合或外磁场的诱导，使这些几乎禁止的时钟跃迁可以保存很长时间，大约有1-1000s 。为了获得谱线中心信息的预测精度，激光探针的频率特性应与时钟跃迁相关的极窄线宽不矛盾。为了实现这一目标，对主要问题（影响短期或长期的用于激光稳频的法布里珀罗无源腔的稳定性）的深入研究至关重要。环境振动是其中的一个主要的噪声源。振动扰动降低了腔的两个镜子之间距离的稳定性。支撑结构将地震振动传到腔的间隔区。如果没有适当的隔离，空气压力直接作用于腔。这些振动引起的瞬时弹性形变的方向是随机的，其效果是通过一个非零的泊松比耦合到其他方向上。长度随机波动，然后作为一个宽带噪声源，其傅立叶频谱调制激光载波频率，导

5、致线宽展宽。在空气中传播的声波扰动可以被腔的外壳有效的衰减疏散，可以应对地震振动带来的技术挑战。有了精心制作的振动隔离系统，贝格斯小组在NIST利用法布里珀罗腔实现了微赫兹激光系统（10赫兹）。已证明掺钕：钇铝石榴石激光器和激光二极管通过被动或主动的隔振系统可以稳定腔。目前，被动或主动隔离系统可以实现振动衰减到傅里叶频率大于或等于1赫兹。构建固有频率低的隔振系统变得更加困难和昂贵，而且在此频率下保持足够的阻尼，会出现使人苦恼的共振态。一种可供选择的方法是跟踪强的抗振动信号。通过支持垂直腔附近平面，微赫兹线宽的小型激光系统已被实验证明。安装在一个特定的结构上如此以至于临界尺寸对振动引起的变形不敏

6、感，而不是重点针对振动衰减，从而减轻技术难度降低了成本，效率经常与振动衰减有关。我们注意到，贝格斯小组和PTB小组也在追求改进安装策略来减小法布里-珀罗腔的振动灵敏度。此外，通过改进的安装方法也在参考文献中提到了。这些想法激发了人们寻找对振动衰减要求不严格的腔配置的兴趣。在本文中，我们探索了各种形状和结构的法布里-珀罗腔的支撑结构，寻找降低腔长度对环境振动扰动的灵敏度的设计方案。法布里-珀罗腔的弹性变形的定量分析对腔的设计提供了宝贵的指导。然而，据我们所知，一项全面的调查显示：在文献中现代精密水平的法布里-珀罗腔的弹性形变尽量被减少了。在这里，我们使用有限元分析法（FEA）对各种法布里-珀罗腔

7、配置的有限元进行详细的数值分析，并确定最佳的设计具有改进的振动抵抗能力。我们演示的是，这种优化的腔垂直或横向的安装。此外，一个复合腔水平安装是为了测试洛伦兹不变性。为了获得法布里一珀罗腔的极限性能，针对各种稳定性问题已经做出了相当大的努力。值得注意的是，沼田等人建议，目前最先进的光腔的长度稳定性开始受到腔间隔和镜子基板以及在镜子涂层的热噪声的影响。腔性能热噪声的影响已经被评估 和实验确认。腔材料低机械损失和一个适当的低损耗镜子涂层的设计可以帮助降低这种噪声。此外，低温冷却腔可以以温度的平方根次减少热噪声，但增加了技术的复杂性。受到目前可利用的镜子涂层、腔材料和镜子基板的限制，优化腔几何形状已成

8、为权衡振动敏感度和其它物理因素，对于一个更长的腔的影响重要标准。事实上，一个较短的腔最好在振动阻力下。不过，频率波动引起镜子涂层的双折射和腔热噪声随着腔长度的减小成比例增大。此外，一个较长的腔有一个较小的模式，因此，对于给定的谐振腔精细度应具有比较窄的共振线宽。一个关于腔的几何和支撑结构的适当的设计重要的是允许实现免除振动的要求，同时有一个相当长的腔。图1、（彩色线）腔变形的静态分析。（a）一个腔垫片垂直地支撑在腔一端的底部，重力作用在它上。支撑结构是固定的（用多箭头的线表示）。（b）在低频率下，腔和支撑结构以一个恒定的加速度运动可以分析受振动扰动的腔变形。本文的内容如下安排。首先，我们介绍数

9、值模型中使用的静态分析法，解释通过静态分析可以降低振动扰动的动态问题（在部分）。接着，我们介绍各种形状和安装方法的腔的振动敏感度（在部分）。首先，讨论水平安装的圆柱形的腔（A部分）。其次，详细的分析了垂直安装的锥形腔（B部分）。然后我们返回的水平配置，显示了腔横向安装也可以减少振动灵敏度（C部分）。作为对实验实现各种安装方案的一个不可或缺的步骤，我们还检查了模拟数值的准确性和这些腔设计的稳定性（部分）。最后，摘要和结论。.静态分析振动导致形变在本节中我们首先给出一个圆柱形谐振腔弹性变形的简单计算，作为一个我们分析腔形变的背景。我们介绍了用于数值模拟的静态分析法。此外，与数值计算和所附的讨论相关

10、的术语，在本节中定义并解释。A .弹性形变图1（a）显示了一个圆柱谐振腔的长度为L，被重力垂直压缩。目前我们忽略由非零泊松比造成的不同方向的耦合。腔长度变化率是 (1) 其中g是重力加速度，和E分别是腔材料的质量密度和弹性模量。对于一个由ULE组成的10厘米的腔，由（部分的）重力引起的腔光学长度的改变，导致了532nm的光频率变化约10MHz/g。显然，腔越短，对振动扰动越敏感。图2、一维简谐振子链。在低频率下，所有的质点几乎做相同的运动，所有的弹簧都同样地压缩或拉伸。m和分别是质量和弹性系数。在低的振动频率下，弹性形变能分析腔和支撑结构以恒定加速度a运动，如图1（b）所示。此外，这种静加速度

11、可以被一个作用在腔和支撑结构上类似于重力的力（-ma）取代，然后固定。因此，动态问题归结为静态分析。以下部分讨论这种静态分析的有效性。B . 静态分析由于支撑物振动的激发，各种频率的声波在腔内沿着各个方向传播。这些低频率的声波的波长可以比腔尺寸长许多，这意味着所有粒子以固有模式做相同的运动。因此，瞬时应变（压缩或拉伸单位体积每单位长度）分布在腔内，类似于这些是由静态力模拟在那一刻随机加速度冻结所产生的。为了使这些看得更清楚，考虑一个弹性棒仅沿其轴线发生形变。弹性棒的微观模型可以简化为一维（1D）简谐振子(SHO)，如图2所示。在低频率下，当一个驱动力作用于质点中的一个时，所有的质点在SHO链上

12、做近似于相同的振荡。因此，在每一时刻所有的弹簧同样压缩或伸长，它们对总长度的变化的贡献是相同的。低于特征频率时，利用静态分析方法计对一个无限长的SHO链可使用色散关系做出充足的估计。有波长的色散关系可以描述在SHO中每一个质点的集体运动： （2）其中，m，k和分别是质量，弹性系数和传播常数。讨论连续统一体的限制使固体材料有了密切的色散关系： （3）以ULE为例，式(3)表示对于，其中，L表示声音传播方向上材料的尺寸。这个推导公式只给出了特征频率的数量级上的估算，其精确值取决于腔的几何形状和联轴器在各个方向上的细节。然而，在分析振动灵敏度时只有傅里叶低频组件（100Hz）有用，这是因为高频率的组

13、件的振动灵敏度可以被传统隔振系统有效地减弱。在低频率下，静态分析是一种可靠的替代全部动态分析的方法。图3、（彩色线）有限元分析法（FEA）中的应变和位移。(a)外力作用下，物体发生形变和位移。应变测量部分长度极小距离的变化。点P的位移定义为。（b）被测点（实心圆点）在腔镜轴向横截面上。在每个镜子上的被测点跨越整个腔垫片中心光孔的直径，并且均匀分布。C. 应变，位移和有限元中的约束对于静态分析，动态问题一旦被减少，我们就用FEA定量的研究法布里-珀罗腔的弹性形变。在这里我们介绍在FEA和讨论数值结果中用到的专业术语。图3（a）中显示了物体在外力作用下的形变和位移。P和p分别代表质点在位移前图4.

14、 （彩色线）腔在V形槽上。（a）腔和支撑物体的三维视图。（b）腔的尺寸。（c）沿着z轴的轴向横截面上位移的分布。（d）镜子反射面上各个横向位置（沿y轴）位移。横轴的原点表示镜子的中心。长度变化率为/g，在532nm的波长下，相应的频移约为1MHz/g。和位移后的位置。沿着轴i，质点P的位移定义为： （4）其中，（X）表示在物体上的质点发生（或没发生）形变的坐标。为了测量在镜子表面一条轴的横截面上的位移，我们在两个镜子上放了两组质点，用固体点表示，如图3（b）。两个镜子之间的光学长度的改变由两组质点的位移差异决定。数值计算由有限元分析软件包COSMOSWORKS和ANSYS计算出。腔的材料由UL

15、E选择（质量密度为kg/m；弹性模量为N/m；泊松比为0.17）。在计算中，我们将在垂直面或水平面方向上的与重力等大反向的力作用在腔上。虽然加速度的大小可以任意选择因为形变是随着它线性变化的，但是我们在整篇文章中使用m/s为了方便直接比较各种配置。在这些分析中，无论是支撑结构还是腔的支撑表面都限制在一个特定的方式下防止机械结构平移和旋转运动。在数学建模中使用不同的网格来研究由有限元网格尺寸带来的潜在的错误。. 腔的各种形状和安装方法的结果本节介绍腔的各种形状和安装方法的数值结果。讨论分为三个部分。首先，我们研究应用广泛的腔水平支撑结构。然后，我们为一个锥形腔垂直支撑进行详细的计算。重力作用在垂

16、直方向或水平方向上会影响腔的长度的改变。对于垂直支撑的锥形腔的不同锥度的影响也在下文中讨论。在第三部分中，我们返回腔的水平安装方法，表明恰当地设计支撑结构，可以达到与垂直安装方法中观察到的振动不敏感类似的水平。A. 水平安装水平安装是一种常见的激光稳频实验装置安装方法。通常，一个圆柱形腔是由V形槽或两个U形支架。我们通过探讨这两种情况，来评价镜子位移造成的腔的弹性变形。类似的分析也被用于矩形截面的腔。在本节结束的部分还介绍了一个为测试洛伦兹不变性而设计的腔的例子。1. 在V形槽上的圆柱形腔图4显示了一个V形槽支撑的圆柱形腔，由有限元分析法FEA得到的数值结果。图中显示，重力从垂直方向作用于腔，

17、V形槽底部平面被固定了。图4（a）和4（b）分别给出了腔的三维视图和腔的尺寸。图4（c）给出了在轴向横截面内沿着光轴z分布的位移的平面图。图4（c）所示的弹性位移表明，重力作用时两面镜子会背向运动。为了求两面镜子之间的光学长度的变化值，我们将质点放在镜子的反射面上，如图3（b）所示。在每个镜子上质点跨越整个中心孔直径并且均匀分布。图4（d）两个镜子在z方向的位移是质点沿着y方向取样的。毫无疑问，两个镜子之间的距离在增加，因为腔被垂直地压缩，因此它在水平方向上发生膨胀。长度变化率增加为/g，532nm的光波相应的频率偏移约为1MHz/g。还应该注意到这两面镜子在y轴上略有倾斜，因为腔较低的部分具

18、有重量负荷。2. 双U型支架上的圆柱形谐振腔在前面的示例中，腔垫片的弯曲受到支撑结构的限制，扩展了整个腔的长度。在这里，我们放松这一限制来探讨腔的弯曲对镜子位移的影响。图5显示了一个双U图5.（彩色线）腔的U形支架。重力在垂直方向上作用于腔，支架底部平面在数值模拟中被固定。（a）腔和支架的三维视图。（b）该腔的尺寸。（c）在轴向横截面z方向上位移的分布。形支架支撑的圆柱形谐振腔。图5（a）和5（b）分别给出了腔的三维视图和尺寸。重力在垂直方向上作用于腔，并且固定支架底部的平面。图5（c）给出了在轴向横截面光轴z方向上位移的分布。弹性位移如图5（c）所示，两个支架当前的位置如图5（b）所示，两面

19、镜子由于重力的作用相互背向运动并且倾斜。当然，镜子位移取决于支架的位置。镜子的位移通过图5（b）中d不同的值来计算。图6显示了d=5,15.2,21.1mm时三个典型的结果。图6（a）表示支架的位置靠近腔间隔两端的情形。在这种情况下，腔间隔区的中央部向下弯曲，因为重力的作用和两头向上弯曲，造成镜子相当大的倾斜。当两个支架向中间移动时，负载的重量在腔间隔重新分配。因此，间隔中间部分的弯曲减少了，从而，镜倾斜度减少，定量的情况如图6（b）所示。从内部来看，存在一个平衡的位置，在这个位置上两个镜子是彼此平行的，不依赖于垂直位置加速度。镜子位移的这个平衡的支点，被称为艾里点，如图6（c）所示。当两个支

20、架通过艾里点并且向相反的方向运动时，两面镜子会以越来越大的倾斜角度向相反的方向倾斜。当支撑点在艾里点处时如图6（c），长度变化率增长为/g（在532nm光波下为1MHz/g），这就与V形槽安装方法的振动灵敏度非常接近。图6.（彩色线）双U形支架支撑的圆柱形谐振腔镜子的位移。水平坐标表示镜子的反射面横向位置（沿y轴），原点表示镜子的中心。如图5所示坐标系。（a），（b），和（c）分别表示d=5,15.2,21.1mm。当腔的支撑点在艾里点上时，如图（c）所示，两个镜子相互平行并且长度变化率为/g（在532nm的光波下为1MHz/g）在这里讨论这两种安装配置，涉及到从底部水平支撑腔的问题。在这个水

21、平安装配置中由于引力导致腔垂直压力耦合到水平方向，导致横向扩张，因此，腔的长度变长。在U型安装情况下，两面镜子的倾斜也改变了光的长度，如图6所示。然而，该重力作用的腔，甚至当腔的支撑点在艾里点时伸长量仍受性能限制。在V型安装设备下，镜子倾斜对腔的影响是微不足道的，这是因为间隔区的弯曲被大大减弱了。没有通过横向耦合作用的一个解决方案是沿重力方向调整光轴和重力作用的腔的形变。这种垂直安装配置在下面的部分讨论。B . 垂直安装我们在A部分介绍的在腔的一端垂直的支撑，会由于重力而压缩。现在我们考虑将腔的垂直支撑点放在中点。定性的分析，不管是腔的上半部还是下半部受到重力的作用都是向下的并且大小相等，这就

22、导致腔的长度对垂直加速度不敏感。为了定量证明这一效应，我们的数值模型一个锥形腔垂直的支撑在中点附近。这个数值建模提供了支撑位置最佳的数值表示。此外，我们用垂直安装方法的横向加速度来测量镜面的位移。图7.（彩色线）锥形腔水平安装在其中点附近。腔的光轴沿着y轴。三组安装孔装进中间法兰里。（a）腔的三维视图，（b）该腔的尺寸。（c）和（d）分别表示在一个轴向横截面内沿光轴的应变和位移分布。应变分布是关于中点对称分布的。腔长度对垂直加速度不敏感是由于两面镜子向下运动的力的大小大致相等。1. 锥形谐振腔圆柱形垫片的圈环绕材料没有刚性结构硬度大，有时它们会在机械加工过程中变形。图7（a）显示了这样一个锥形

23、谐振腔的法兰在中间为了能够垂直支撑。如图7（b）所示，三组安装孔装进法兰里并且均匀分布在圆周。每组的安装孔由不同直径的同心孔组成。上面的安装孔（直径小一些）利用细线使法兰垂直悬空，但是对于现在的分析没有必要。在计算中，孔内的水平面被当做支撑面并且垂直地受力。图7（c）和（d）分别显示了在一个轴向横截面上沿着垂直方向腔的应变和位移。材料的压缩和拉伸说明了应变关于中点的近对称分布如图7（c）。同样的，位移的对称分布如图7（d）所示，这两面镜子受到向下的力在数量上粗略的相等。为了考察这一效应的细节，我们在图8中画出镜面的位移。图8（a）显示了有三个支撑面的两面镜子的位移正好位于中点。很明显，两个镜子

24、在中心处向下移动。镜子的中央区域的位移差异是0.007nm，相应的长度变化率为40kHz/g在532nm光学频率变化）。（b）支撑表面向下移动（2.3mm）补偿腔法兰的下半部分结构的弱点，导致两面镜子几乎相同的运动和一个大小为零的长度变化。图8.（彩色线）一个锥形腔垂直安装的镜子的位移。水平坐标表示镜子的反射面（沿z轴）的横向位置，原点表示镜子的中心。（a）腔在中心处支撑。两面镜子都受到向下的重力并且在中心处下垂。法兰上的安装孔增加了腔下半部分间隔的结构性弱点，造成剩余长度变化为0.007nm（/g的变化率，或数长度变化/g（40kHz/g的光频率变化在532nm）。剩余长度变化如图8（a）所

25、示可以进一步减少。如图7（b）所示，负重表面在法兰中形成的钻孔，在安装孔附近形成了额外的形变。因此，支撑表面可以向下移动来补偿支撑点附近结构的弱点。事实上，当表面降低2.3mm远离中心时可以实现一个完整的补偿。图8（b）显示最佳支撑面的镜子位移。另外，减少孔径的大小可以达到同样的效果，但将会收紧法兰孔的位置公差。2. 不同角度的圆锥形谐振腔图9.（彩色线）不同锥角的腔镜的位移。水平坐标表示镜子反射面的横向位置（沿z轴），原点表示镜子的中心。腔的支撑点在中心。锥角和加速度都有在图中表示。左边的（a），（c）和（e）：垂直加速度。右边的（b），（d）和（f）：水平加速度指着左边。每一行的两个图是相

26、同的锥角。在腔的锥角度大时，垂直的加速度引起较大的残余长度的变化。至于横向加速度，圆柱形谐振腔的两面镜子的倾斜角几乎比圆锥形谐振腔大一个数量级。由FEA提供高分辨率，各种设计因素可以在实验之前模拟。作为一个例子，在这里，我们显示不同锥角的腔的数值分析。选择了三个锥角并且腔均支撑在中心。支撑表面被固定只在垂直方向施加向下的加速度，但是加速度如果在水平方向就会受到各个方向的限制。相比之下，两端面和法兰外径被固定而锥角是不同的。图9概括了数值结果。图中每一行表示镜子位移对应一个特定的锥角。在每一行，左面和右面分别表示垂直和水平方向的加速度。垂直加速度图9（a）9（c）和9（e），腔有大的锥角具有相当

27、大光长度的剩余变化。注意在图9（a）和9（c）中，最大垂直凹陷的区域从镜子中间区域移走，虽然三个支撑孔对称于法兰。加速度转换到水平方向，指向左边，双镜倾斜由于间隔的弯曲。对于圆柱形谐振腔图9（f），两面镜子的倾斜角度比锥形谐振腔大近一个数量级图9（b）和9（d）。还应注意到在图9（b）和9（d）中，两面镜子表现出不平等的倾斜角度由于法兰的下半部分的孔引起的结构缺陷。C . 改进的水平安装方案迄今为止，我们已调查过腔可以水平安装或垂直安装。腔垂直安装的两面镜子之间的距离可以使腔对垂直振动不敏感。腔从底部横向的支撑的可以限制腔间隔区的弯曲，由于非零泊松比垂直压缩是不可避免的伴随横向扩张。因此，类似

28、的在垂直腔中实现了振动不敏感通常是在其水平方向没有发现。然而，水平腔的振动的减弱在几个重要的实验中起到重要的作用。一个例子是测试洛仑兹不变性迈克耳孙-莫雷（MM）实验其中两个正交腔的光学共振频率被探讨调查4042。本节的其余部分讨论对于各种支撑位置，可能会导致改善水平腔的振动不敏感度。1. 矩形棒支撑下的腔图10、（彩色线）腔由一个矩形棒制成，并由两个横梁支撑。腔有一个的横截面，长270mm，这是不同于本文中其他100mm的腔。在数值分析中不同的d和w是为了检查在不同的安装位置镜子倾斜和沿着光轴（z）的位移。（a）腔和其支撑物的三维视图。（b）腔的尺寸。（c）在轴向横截面上沿z轴腔的形变和应变

29、分布。应该注意的是，形变已经被放大了倍。弯曲的腔间隔会影响两个腔镜之间的距离。在这里，我们探讨自由度，使用的腔是由一个长方形的棒和从底部支撑的两根横梁组成的。图10给出了腔和支撑横梁的尺寸。在数值模型中横梁的高度固定为5mm，而有两个参数是可以调整的：即，横梁的位置d和宽度w。图11所示镜子位移参数d和w的六组数据（其值在图中表示），其中包括支撑梁的三个典型的宽度。对于每个w，增加的d值的结果被描绘和安排在图中的三个图平行成一排。对于一个给定的w，当两个镜子获得平行时我们会找到艾里点（图11中每一行中间的图）。有趣的是，一个特定的d和w的组合会使腔长对垂直加速度不敏感，而两面镜子仍然彼此平行，

30、如图11（e）所示。当w从3mm变化到10mm时，两个镜子之间的位移差就会有逆转的迹象。相同的逆转现象还会发生在：当w固定为4.41mm而且支撑梁从一个艾里点运动到另一个艾里点时。我们把这些现象归结为重力作用导致的垂直压力和腔间隔弯曲的所造成的综合效应。两个支撑梁之间负载的重量使腔间隔的中间部分向下弯曲，导致应力元件沿着腔的光轴。这些应力的部分指向了腔的中心，因此，趋于减少腔的长度。抗应力部分也出现在腔间隔区因为弯曲是在腔的两端，也因为重力作用下的垂直压力。有了mm和mm的组合，长度变化效应被抵消了，腔长也对垂直加速度不敏感了，如图11（e）所示43。使用这种有趣的几何方法我们重新测量两个镜子

31、沿两个正交的轴线的位移，将结果画在图12中，图11、（彩色线）一个由矩形棒和两个有不同宽度和位置（w和d如图所示）的横梁组成的腔镜的位移。水平坐标表示镜子反射面上沿y轴的横向位置，原点表示镜子的中心。如图10中的坐标系。（a）-（c）w=3mm。（d）-（f）w=4.41mm。（g）-（i）w=10mm。对于一个给定的横梁的宽度w，当两面镜子获得平衡时，可以找到艾里点(b)，(e)和(h)。当，时（e）腔长对垂直加速度反应不敏感，而此时两面镜子保持相互平行。其扩大的垂直方向尺度参见图11（e）。显然，振动灵敏度可以被进一步减少通过反复调整w和d。当w固定为4.41mm，d从52.42mm变化到

32、54.82mm时分别如图11（d）和11（f）所示，两个支撑横梁之间负载的重量在减少，导致减弱了长度收缩的应力分量因为腔长的一个网格增加了，除此之外镜子倾斜了。这个效应很容易被图11（d）和11（f）中镜子的位移所证明。图12、（彩色线）有最佳支撑结构w和d分别如图11（d）和11（e）所示的水平腔镜的位移（图10）。该位移是沿着镜子的反射面上x和y轴测量的（如图10坐标系所示）。水平坐标的原点表示镜子的中心。腔长的变化也通过宽度w的一个很宽的变化范围检验了。对于每个w，我们首先调整d确保两面镜子平行，然后取得两个镜子的差动位移获得。图13显示的是对于w从3mm变化到135mm时的变化趋势。最

33、右边的数据（mm）代表腔体的底部完全是由平面支撑着的。在这种情况下，腔被拉长是由于重力导致的垂直压力。当w在变化范围之内时，腔变短了（被拉长了）。应该注意的是，对于我们选择的腔的几何形状和横梁的高度，有两个宽度（w=4.4和55.4mm）在此宽度腔长对垂直加速度不敏感。图13、（彩色线）腔长度的变化作为支撑梁的宽度的函数。腔的间隔是一个矩形棒。腔是由两个横梁支撑的（见图10）。在所有计算中，横梁的高度固定为5mm。对于每个与w对应的是由腔支撑点在其对应的艾里点获得的。当宽度为w=4.4和55.4mm时对垂直加速度是不敏感的。在的范围内腔会缩小，但在此范围之外腔会扩大。最右边的数据指出（）表示这

34、种情况下腔的底部完全是由一个平面支撑的。图14、（彩色线）腔由一个矩形棒组成并由四根柱子支撑。腔被支撑在不同的高度可能是垫片底部钻的四个盲孔造成。在数值模拟中，支撑孔的位置和深度的不同，来降低振动的灵敏度并且确保两面镜子的平行。（a），（b）相关尺寸。（c）在轴向横截面上位移的分布。（d）在安装孔深度和位置优化后的镜子沿z轴的位移。水平坐标表示镜子反射面上沿y轴的横向位置，并且原点表示镜子的中心。不幸的是，这样一个支撑梁宽度和位置的有利的组合并不是在由不同尺寸的矩形棒组成的腔中普遍存在的。例如，数值计算证明，在一个类似的长度为100mm的腔中优化参数并不存在。与270-mm的腔相比，这个短腔的

35、刚度更大。因此，有限的腔间隔区的弯曲并不能完全弥补重力垂直压力造成的横向扩展。2. 支撑物最优化后的腔正如在A1部分介绍的那样，静止在其底部的水平腔被拉长是因为垂直压力，然而相同的腔从顶部水平方向悬吊。支撑腔的高度在两个极值之间，可能会抑制由垂直加速度造成的光学长度的变化。我们利用一个由四个杆支撑着的矩形杆腔来探讨这一可能性。图14（a）和14（b）显示了腔的相关尺寸。由于在腔底部钻了四个盲孔，故可利用垫片将腔调节在不同的高度。在数值模型中，我们先找到艾里点，这样两面镜子始终相互平行尽管有垂直加速度。然而，光学长度的剩余变化通常出现在这些调整之后。我们随后改变孔的深度来减少这种长度的残余。这个

36、过程是不断重复的，直到镜子平行并且取消了镜子的位移这两个条件同时获得。图14（d）给出了安装孔的位置和深度优化后镜子的位移。D . 为测试洛伦兹不变性而设计的腔在水平安装的线性腔分析的基础上，我们引入在标准模型扩展（SME）的光子领域中为测试洛仑兹不变性而设计的腔44,45。在电动力学中该实验已经用迈克尔逊-莫雷实验的现代版本使用室温光学腔40，低温蓝宝石谐振器41 , 42，和低温微波振荡器46 , 47。在一个典型的实验中，两个正交腔谐振频率不断地比较，因为他它们要么沿着地球旋转要么积极地沿着实验室的一个平台旋转。图15、（彩色线）为测试洛仑兹不变性而设计的复合腔。（a）腔与其支撑物的三维

37、视图。（b）俯视图。（c）侧视图。相互垂直的两个孔贯通于腔的垫片。高反射镜附加于表面结束处，形成正交双腔。通过调整四个安装孔的深度和位置得到沿x轴和y轴的振动不敏感性。（d）和（e）分别表示最优化后沿x轴和y轴镜子的位移，原点表示镜子的中心。先前部分介绍的水平安装方案可以同时适用于两个正交方向。图15显示了一个为这个目的而设计的腔。垫片上有通孔，这是为两根互相垂直光轴而设计的。四个高反射镜附在垫片的侧面，在水平面形成两个正交的腔。对于一个给定直径的支撑孔，孔的深度和其横向位置在不断变化，直到在两个正交方向得到最优化。图15（d）和15（e）分别表示最优化后镜子沿x和y轴的位移48。显然，振动阻

38、力在两个方向都是可以实现的。事实上，在z轴上三分之一的腔可以增加并且振动抵抗可以在所有的三个方向随着其它自由度孔的直径的帮助下而实现。一些潜在的优势与复合腔相关。从长期地球自转的基础测量可以看出，腔振动形变一般会减少叠加在信号上的高频噪声。此外，这里介绍的简单的系统适合于灵活的自转实验。与地球的旋转和轨道频率相比这些实验是在相对较高的调制频率下做的，因此，利用短期稳定的光本机振荡器（10100s）。在活跃旋转模式下，在振动光谱中旋转频率可以与低傅里叶频率（小于等于1赫兹）相媲美。这些低频率分量在腔中更容易找到自己的路径，并且和发展的噪声边频带足够接近载体被探测带宽收集。腔的振动形变将帮助制止这

39、种地震干扰和其他杂散信号产生周期性扰动的旋转。此外，这种将两个腔连在一起的装置可以提供改进的热漂移共模抑制和各向同性材料的形变49。这些首选的功能，如果实现，为寻找地球旋转和轨道运动调制的lorentz-violating信号的长期测量至关重要。然而，对于这种为实现灵活旋转而设计的模式，所要注意的事项必须做到。离心加速度的改变会引起两个腔不平等的倾斜，但这些反过来又调节了频率差。这种扰动可以被旋转阶段的中心腔减轻，也可以通过在二倍角频率处使用一个狭窄的探测带宽。有效控制后的角速度也可用于将离心拉伸趋于稳定状态。倾斜的旋转阶段也可以调节频率差，在旋转倍频处干扰信号46。除了水平的旋转阶段，可以进

40、一步优化复合腔的几何形状及其支撑来减少在垂直和水平面的振动灵敏度。. 精度的数值分析在数值模拟时要考虑到腔的微小位移，设计基于这些分析必须在实验实施之前仔细检查。这个错误可能是由计算本身引起的，也有可能是对初始条件有限的知识造成的，例如，材料的特性和腔与支撑结构之间的接触。在这部分我们认为，从计算的角度来看，主要的因素有可能影响数学建模的精确度。A . 网格尺寸在有限元分析（FEA）中网格的大小是一个主要参数，影响数值模拟的精度，特别是在处理非常小的位移（10，变化率）。一个小的网格尺寸是首选的，为了获得要求的分辨率和精确度，但是减少网格尺寸会受到计算资源的限制并且图16、（彩色线）不同网格尺

41、寸的锥形谐振腔的数值分析。水平坐标表示镜子反射面的横向位置，原点表示镜子的中心。使用有限元分析法只有三分之一的腔有效的利用几何对称性。（a）网格尺寸：1mm。（b）网格尺寸：3mm。不同的网格大小造成两面镜子不同的位移。但位移差与网格的大小几乎是相同的。经常导致计算时间过长。为了评估使用有限网格的尺寸而引进的潜在的错误，我们执行的计算是对于同一种腔，但是是不同的网格尺寸。作为一个例子，图16显示的是一个锥形腔的两个不同网格尺寸（1mm和3mm）镜子的位移。为了利用这个几何对称性，只有三分之一的腔被模式化了（如图16）。图16的两个结果表明，对于不同的网格尺寸每个镜子位移的大小是可以改变的但差动

42、位移几乎不受网格尺寸影响的。各种腔额外的计算证实了这一观点。B . 支撑面的限制在静态分析中利用支撑结构的限制来防止机械结构的平移和旋转运动。例如，考虑在B1部分介绍的圆锥腔。支承面可以被固定在三个方向，或着它们可以在水平面自由移动。在数值模拟中，这两者的不同限制导致两个镜子之间的光学长度有的变化率。只有在垂直方向上的限制更接近实际情况那里的腔有三个支撑杆，但它们与腔不粘结。然而，这仅仅是垂直约束的一个理想的情况不能充分描述腔和支持面之间接触的真实情况。我们完成了两个特征计算来确定可能引起的接触问题潜在的错误。第一个模型中支撑锥形腔的三个铝杆的端面粘合到腔上。随后的计算是将一软层（铟）插入腔和

43、铝杆之间。在第二个装置中，剪切了模拟接触表面之间滑动变形的软层部分。比较两者的计算有助于解决在真实问题中腔和铝杆之间产生的滑动的不明确的问题。图17显示的是接触表面之间有或没有软层镜子的位移。图17、（彩色线）三个铝杆支撑的锥形谐振腔镜的位移。只有三分之一的腔利用的几何对称性用于有限元分析。（a）腔由三个铝杆支撑。（b）铟层（1mm厚）插入腔和铝杆之间。当铟层增加了镜子的位移，增加了410/g（部分的），但位移差变化仅为210 /g（部分的）。随着铟层的增加，镜子的位移增加了410/g（变化率），但位移差变化量只有210/g（变化率），这意味着一个消极影响两个接触表面之间的滑动。在将来，FEA

44、包精良的工具调查接触问题将导致腔设计精度改善和信心的提高。C. 材料性能和加工公差腔材料的特性有可能偏离额定值。一个用于腔振动形变的设计，过度依赖于材料的属性将使实验不可能实现。调查稳定的数值模拟，我们重复计算不同的材料性能如弹性模量，泊松比和质量密度。这些参数在计算中通常有5%的变化，我们发现，振动灵敏度在710/g仍然可以实现。因此，优化支撑的位置，可以实现抗振动，尽管材料适度伸展的特性可能由制造过程或周围环境温度的波动引起的。各种尺寸的变化也可能破坏优化腔的设计。我们进行了一系列的计算采用改良的腔尺寸来解释典型的制造公差。对锥形腔介绍在B部分，在名义长度上其振动的灵敏度低于110/g。我

45、们缩短腔顶端部分0.5mm，这部分的改变导致振动灵敏度为610/g，这仍然比从底部支撑的水平腔小约30倍。对于一个给定的设计目标，其他关键尺寸的允许公差也以同样的方式确定。此外，锥形腔安装孔的位置和深度最优化后还可以验证从加工腔产生的位置误差。. 摘要和结论有限元分析法（FEA）是用于定量分析各种形状和安装装置的法布里-珀罗腔的弹性形变。在低振动频率下，可以通过简化的数值模拟静态分析腔的形变。腔长的振动性波动可以通过一些实验装置做出类似的调查，其中包括水平安装的圆柱腔，垂直支撑接近中间的锥形腔和通过修改安装配置的两个水平腔。通过在腔的中间附近垂直支撑的腔，可以减少振动对腔长度的影响。类似的抗振

46、性也可以通过调整水平腔相关支撑结构来实现。这有利于观测为测试洛伦兹不变性而设计的腔。对这些安装方案实验的准确性和可行性的实现也进行了讨论。考虑到法布里-珀罗腔的几何形状，安装和应用的差异性，这里是不可能将它们都在一篇文章介绍完的。幸运的是，一些一般性意见还可以被精炼提取。垂直和水平安装的腔可以被最优化，这样其关键尺寸可以通过几何和相关的支撑结构的精心设计免受振动的扰动。通过控制加工公差（0.10.2mm）垂直安装的腔的振动灵敏度可以减少两个数量级。优化的水平安装的腔会展现出类似的振动免疫力，但可能对加工和安装公差要求更严格。在垂直安装的腔中横向振动导致镜子近对称倾斜没有额外的腔长度伸长，但其对

47、水平安装的腔的影响应在每一个设计细节中仔细检查。通过对相关尺寸实行更严格的公差并用实验方法微调质量分布，垂直和水平装置进一步的改进是可能的 6。由于通过适当的设计腔的几何形状和安装方案减少了振动的灵敏度，可以适当的选择腔的长度来最大限度地减少其它噪声的影响如镜面涂层的热噪声和双折射噪声50。在目前可用的腔和镜面涂层材料约束下，这对腔设计特别重要。本文讨论的是采用水平和垂直安装方案，对于有些系统也许有必要修改，如低温光学谐振和那些打算空间基础实验。Vibration-induced elastic deformation of Fabry-Perot cavitiesLisheng Chen,* John L. Hall, and Jun YeJILA, National Institute of Standards and Technology and University of Colorado, Boulder, Colorado 80309-0440, USATao Yang, Erjun Zang, and Tianchu LiQuantum Division, N