信息与计算科学 毕业论文（设计）分块矩阵的应用.doc

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1、 本科毕业论文(设计)论文题目： 分块矩阵的应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 信息与计算科学 班 级： 计科0702班 指导教师： 完成日期： 2011年05月20日分块矩阵的应用内 容 摘 要本文首先对分块矩阵的定义及其运算进行了系统性的介绍，然后又简单的介绍了分块矩阵的初等变换和分块初等阵，最后对分块矩阵在求矩阵的秩的不等式方面、求逆矩阵问题上、求矩阵行列式方面、求矩阵特征值等方面的应用进行了较为详细的说明。关键词：分块矩阵 运算 初等变换 秩 特征值 Application of the Block matrix Abstract This article elaborates th

2、e definition andoperation of the block matrix firstly, and then makes a short introduction about the elementary transform and its elementary block matrix, and at last,presents more detailed description of the applications of the block matrix, such as rank of a matrix inequality aspects, the terms of

3、 inverse matrix, the terms of matrix determinant and other aspects of matrix eigenvalue.Matrix approach has become an essential of moden science and technology research tool, widely used in aerospace, marine,mapping, military and other aspects. So discussing the application of the block matrix has b

4、een essential.Key words: block matrix operation elementary transformation rank eigenvalue目 录序 言1一、分块矩阵的定义和运算1（一）分块矩阵的定义1（二）分块矩阵的运算1二、分块矩阵的初等变换和分块初等阵5（一）分块矩阵的初等变换5（二）分块初等阵5三、分块矩阵的应用6（一）分块矩阵在求矩阵的秩的不等式方面的应用6（二）分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用6（三）分块矩阵在求矩阵行列式方面的应用8（四）分块矩阵在求矩阵特征值问题中的应用9（五）分块矩阵在解齐次线性方程组方面的应用11（六）分块矩阵的其他

5、应用12四、总结12参考文献14序 言分块矩阵是线性代数中的一个很重要的工具，研究许多问题都要用到它，特别是在处理级数较高的矩阵时，分块之后，使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚。矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。本文就分块矩阵在计算行列式、证明相关矩阵秩的不等式以及求矩阵的逆等几方面的应用

6、做一研究，每个部分都给出了一些实用性较强的定理和经典例题，通过这些具体实例的应用可以看出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性。一、分块矩阵的定义和运算（一）分块矩阵的定义1矩阵的分块是处理较高阶的矩阵时常用的一种重要技巧。通过矩阵的适当分块，可将高阶矩阵的运算转化为若干个低阶矩阵的运算，从而能够简化运算，并使问题的表述更加简洁明了。用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵： （1）其中每个小矩阵 叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵。（二）分块矩阵的运算2 对矩阵适当分块固然能显露矩阵的某些特殊性状，更重要的事为了方便运算或有助于分析论证。1分块矩阵的加法设，则对、采用相同的分发后可

7、以分块相加，即+ =2分块矩阵的乘法设，对、进行分块，使得的列的分法与的行的分法一致，即分成的列组数与分成的行组数相等，且的第列组所含列数与的第行组所含行数相等，即则、分块相乘有例1 设，求解 令,利用分块法，、可写成于是 3分块矩阵的数量乘法3定义 1 矩阵称为矩阵与数的数量乘积，记为，换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上。不难验证，数量乘积适合以下的规律： 我们证明最后一项，设，在，中，的元素依次为显然他们是一样的，这就证明了该等式成立。矩阵通常称为数量矩阵，如果是一矩阵，那么有同样，也有 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法。4矩阵的转置把一矩阵的行列互换，所

8、得到的矩阵称为的转置，记为，可确切地定义如下：定义2 设 所谓的转置就是指矩阵 显然，矩阵的转置时矩阵矩阵的转置适合以下的规律：例2 设，求根据题意有：， 所以 二、分块矩阵的初等变换和分块初等阵（一）分块矩阵的初等变换4分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵结合起来，可以有效的简化矩阵的运算。定义 3 分块矩阵的初等行（列）变换的定义与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换：1. 对调的两行（用）表示对调、两行。2. 用一个可逆矩阵左乘的某一行的所有子矩阵（用表示左乘第行）3. 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另一行的对应子矩阵上去（将表示第行左乘再加到第行）将上述定义

9、中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。（二）分块初等阵5设 是一个分块单位阵:其中是阶单位阵（） 定义4 分块单位阵经过一次初等变换所得到的分块阵称为分块初等阵。 分块初等阵有三种, 它们分别对应着三种初等变换。（1）对调的第、两行(列)所得的分块初等阵记为；（2）用可逆阵左乘(右乘) 的第行(列) 所得的分块初等阵记为；（3）用矩阵左乘的第行再加到第行所得的分块初等阵记为，它同时也表示用 右乘的第列再加到第列所得的分块初等阵。三、分块矩阵的应用(一)分块矩阵在求矩阵的秩的不等式方面的应用代数中有关矩阵的

10、秩的不等式的证明是一大难点，恰当地构造分块矩阵，将使问题变得柳暗花明。定理 16 设，为矩阵，为矩阵，则，且当时，有定理 2 设为矩阵，为矩阵，若,则证明 因为所以 例3 设为阶方阵，且，证明 证明 由可得，,故由定理2知：，另一方面，因为,所以,即，从而(二)分块矩阵在求逆矩阵问题上的应用 求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的效果。命题17 若都可逆，则，, 例4 已知矩阵,求解 可以将矩阵分成四块,其中，根据分块阵的性质，,而、为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为，所以例5 求矩阵的

11、逆矩阵解 根据矩阵的特点可将矩阵分成四块，,其中，构造矩阵，对矩阵进行广义初等行变换， 所以而 所以，(三)分块矩阵在求矩阵行列式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化。而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题。而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法。先给出如下结论：设、分别为与阶方阵，则（1）当可逆时，有;（2）当可逆时，有证明 根据分块阵乘法法则，有两边取行列式即得同样由两边取行列式即得命题 28 设矩阵或其中均为方阵，则 例

12、6 设、都是阶矩阵，其中，且，证明证明 可逆 即 又 上式取行列式得：(四)分块矩阵在求矩阵特征值问题中的应用命题 39 设是矩阵，是矩阵，证明的特征多项式与的特征多项式有关系： 我们先把上式改写为因为都是抽象矩阵，我们无法把和直接计算出来，但它们是两个行列式的值，我们就不妨构造出两个矩阵来，使得它们的行列式为和，这样，我们构造的分块矩阵，要出现行列式，则我们对行列式作初等变换，即左乘一个广义初等分块矩阵对上式求行列式，得到： 同理，右乘一个矩阵 两边取行列式得到： 引理1 设为阶矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是，这里为阶单位矩阵，表示的秩引理2 幂等矩阵与或相似，例7 设、均为阶方阵，且，

13、求证若，则、的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等。证明 （1）可逆时，即，因为，所以，又，由已知可得由引理1得到 同样， ，是幂等矩阵由引理2，相似于，相似于，和，有相同的特征值，所以，的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等。（2）当，即，结论显然成立。 从上面的讨论我们知道，对于一些给出的不是具体的矩阵，如果要计算或证明有关它的特征值问题时，我们一般都采用分块矩阵的方法，这样可以使解决过程变得简洁当然，分块矩阵的应用并不仅仅在于特征值问题上，对于一些求矩阵的逆或者计算行列式等问题时，同样可以用分块矩阵去解决。(五)分块矩阵在解齐次线性方程组方面的应用引理 3 线性方程组，可以

14、写成向量方程的形式，其中、是的各列。定理310 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数阵的秩小于未知量的个数证明，由引理显然可得。定理4 非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相同证明 由于有解，设为 由引理，有，说明是系数阵各列的线性组合，即 与等价因此 不妨设是的极大无关组，则也是的极大无关组，即 可由线性表示更有可经的各列线性表示，所以 有解定理5 若线性方程组对任意都有解的充要条件是证明 假设，说明的各列线性相关，设是的极大无关组，此时不是基底，则一定存在向量不能被线性表示，显然对此方程组无解，与对任意方程都有解矛盾，因此。由于，说明的各列是基底，所以，对任意的都可经线

15、性表示设 即 有解(六)分块矩阵的其他应用例8 设为阶矩阵，且，证明可分解成两个秩为的，阶矩阵的乘积证明 因为，所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵 使其中 ，且 利用分块矩阵，证明一个矩阵是零矩阵例9 设为阶方阵，如果对任意维向量，都有，那么证明 四、总结矩阵作为一种基本的数学理论，既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要分支，而且已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。矩阵方法已成为现代科技领域不可或缺的研究工具。分块矩阵一般对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，采用分块的方法，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使一些矩阵的相关计算简

16、单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵的问题。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在

17、应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨。参考文献1周建新.分块矩阵及其应用J.高等数学研究.2007,12(4):1114.2林瑾逾.浅谈分块矩阵的应用J.广东广播电视大学学报，2006,2（9）:1558.3王萼芳，石生明.高等代数（第三版）M.高等数学研究 ,2007,11(4):172175. 4陈文华.分块矩阵的初等变换J.大理学院学报,2009,8(2):7176.5陈逢明.分块矩阵的初等变换及其应用J.福建商等专科学校学报 ,2005,8(2):54-62.6张敏.分块矩阵的应用J.吉林师范大学学报,2003,2(4):118121.7刘红超.高等数学M.第二版.北京：中国人民大学出版社，2004：80.8郑元平.分块矩阵的延伸J.东北大学学报,2005,12(4):104109.9孙要伟.分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用J.牡丹江大学学报,2008,8(4):104-108.10吴云.分块矩阵的应用J.重庆工业管理学院学报,1998，6：100106.