信息计算科学毕业设计.doc
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1、 SHANGHAI UNIVERSITY毕业设计(论文)UNDERGRADUATE PROJECT (THESIS)题 目: 从Chebyshev到Bernstein:多项式初探学 院 理学院专 业 信息与计算数学指导教师 张建军起讫日期7月8日起12月15日止目 录摘要:-2 ABSTRACT-31. 绪论-42. 第一章-63. 第二章-134. 结论-24Chebyshev到Bernstein:多项式初探摘要多项式问题的研究是一个古老但非常有意义的问题,它在现代数学中占有重要地位。多项式方程的求根,函数的多项式逼近等等问题是应用数学,计算数学中的一个重要研究问题,它不仅在理论上,而且在实
2、际问题中都有重要应用。 本课题研究多项式的大小对多项式根的位置的影响,考察多项式对于解的位置变动的敏感性。我们从Chebyshev多项式入手,研究多项式的大小对多项式根的位置的影响。本课题的主要内容是对Chebyshev多项式和Bernstein多项式做进一步深入分析,了解他们的有用的重要性质。给出一些有意义新的问题的结论。本论文的创新点之一就是对多项式的数域的扩充到复数的情况。巧妙地从两个典型的多项式,车比雪夫多项式和伯恩斯坦多项式出发,抛砖引玉地深入问题。尤其在借鉴数值逼近中最小多项式的概念引出最大多项式的概念后对多项式限制一定条件后逐步深入问题。关键词:最大(最小)无穷范数、(最大)最小
3、多项式 、根的扰动、根的位置关系、Chebyshev、BernsteinABSTRACTPolynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. Polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, computational m
4、athematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. This topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution of sensitivi
5、ty. We Chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. This topic is main content on Chebyshev polynomials and Bernstein polynomial do further analysis, understand their useful important properties. Give some meaningful new problem co
6、nclusion. This thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. Ably from two typical polynomials, car than snow Cardiff polynomials and Bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. Especially in drawing a numerical approach in the conc
7、ept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem.Keywords: The biggest (minimum) infinite norm, (Max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, Chebyshev, Bernstein绪论说明是否真的存在两个首一的七次的实多项式它们的根全部都在单位区间上?
8、事实上确实存在这样的多项式:一个是另一个,那么这两个多项式在图上的巨大的区别是什么造成的呢?专修数学的学生都知道任何一个首一的多项式,都存在两种标准的表达形式:不管什么表达形式,都需要选定n个系数才能确定多项式p。对于第一个标准形式,我们不妨称他为扩展形式,第二种标准形式就称他为析因形式。比如对扩展形式的标准型:我们必须确定其系数。同样的原因对析因形式的标准型只有确定其多项式的根后才能确定多项式本身。起初,我们研究的问题的兴趣主要在只有实根的实系数多项式,所以最初我们约定多项式所有的根全是实数根。在本文中,我们主要聚焦多项式的尺度(无穷范数)的大小与其根的位置关系。我们很有必要引进这样一个映射
9、P:这里的,其目的是为了探究多项式p对自己根的位置变化的敏感性。最近关于这方面的论文【1,2,3,5,12】已经明确表明多项式的临界点是依赖和于所有的根与其根的位置。现在我们要回顾多项式根的扰动的思想,利用这个去处理多项式的范数大小问题。并且最终对一类多项式,我们能够在某种意义上相对地说什么样的多项式是他们同级别类型中的最大和最小多项式。当然我们也需要先对重要的多项式了解其相关的重要性质。利用他的性质引出问题。我们主要对chebyshev多项式和bernstein多项式及其性质有一个大概的了解。然后从这些基本但又什么重要典型的多项式入手研究一般多项的范数的相对大小和怎么通过扰动根的位置关系使范
10、数增加等一些列深刻的研究内容。 第一章:Chebyshev多项式 在探究真理的过程中我们或多或少的要涉及到两类非常著名的多项式。比如一开头就提到的是七次首一的Chebyshev多项式,是一个能被变形为Bernstein多项式。这两类多项式在多项式家族中拥有非常重要的广泛的应用和的令人惊奇的性质。我们首先回顾一下这两个重要多项式的重要内容。Chebyshev多项式我们记,即,那么显然有下面我们通过上面的递推关系式得出一些重要的性质。他是我们后面论述所必须要应用的。性质1:递推关系我们来简单的说明一下。由,即,当然也可以把看成未定元。得到形式化的线性方程组:Ax=b线性方程组的系数矩阵的行列式不等
11、于零,故系数矩阵为非退化的。即为满秩的方阵,故有唯一的解。我们进过计算得到下列的表示形式显然就是先前的两个例子之一。性质2:chebyshev多项式是n次多项式由归纳法证明:假设对所有小于等于n的chebyshev多项式结论都是成立的=- =由于,deg()=故显然是n次多项式,故对所有n性质3:契比晓夫多项式的最高幂项的系数为证明:我们知道欧拉公式,故有,= 由,即,则=。性质2告诉我们的最高项的次数为n。所以为了计算此多项式最高项系数,我们显然知道对于多项式我们可以用这样的极限的方法来求他最高项系数的。对于形如的多项式我们利用数学分析中分析函数性态的办法直接可以得到:多项式的最高项系数=我
12、们取极限=性质4: 由,是显然的。性质5:在中恰有n个不同的实根。k=1,2=0=k-,。=,性质6:在区间中有n+1个点轮流取到最大值1和最大值-1。显然我们把代入中,=性质7:当n为奇数时为奇数函数,当n为偶数时为偶函数。事实上这是显然的:= =,n为奇数时,为奇函数 n为偶函数时,为偶函数。性质8:契比晓夫多项式是上带权的正交多项式。,=当m=n= 0时, 当m=n0时, 当mn 时, 0即为上带权的正交多项式。重要定理:在上,首项系数为1的一切次多项式中,对0的偏差最小。即证明:假设存在一个n次的首项系数为1的多项式比对0的偏差更小。,在性质6中我们知道,在中在n+1个交错点组处轮流取
13、到的他的最大值1与最小值-1。所以在处,轮流取得最大值与最小值- 。我们得到不等式:所以对于在共有n+1个点轮流取正负号,所以我们不难通过罗尔定理得出在中至少有n个互异的实根。但由于,都是首项系数为1的n次多项式,故deg()n-1,现在我们知道有n个不相同的实根,故,即,那显然与先前只假设矛盾!故我们可以得到一个什么之精彩的结论:所有在区间首项系数为1的n次多项式,满足其最大绝对值 第二章:最大多项式多项式的无穷范数:这是我们全文出现的第一个高潮,我们先回到前面的Chebyshev多项式我们已经知道是在所有区间在首项系数为1的n次多项式中内取到最小的最大值,在这里我们可以亲切地称多项式为在单
14、位区间上n次首一多项式中最小的多项式。论文绪论部分中提到的就是“单位化”而得到的。其最大值就是=非常小。在图上几乎看不出来。顾名思义喂最小之多项式。知道了什么的多项式叫最小的多项式那么自然我们对于多项式就要首先明白什么叫做多项式的大?在绪论中另一个多项式显然看起来比“大”得多。我们自然先要引出一个无比重要的概念。对于任何一个多项式p(x)。我们用: 来定义多项式p(x)的无穷范数。也就是对多项式的大小有了一个定量的估计。起初我们为了研究的需要对多项式做了一些合理的规定,接下来所要考虑的多项式是实系数的多项式且其所有的根都是在上的。并且他们互不相等,且,满足a-b=0。多项式其根的互异性是一个很
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