Hardy型不等式的研究数学专业毕业论文.doc

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1、Hardy型不等式的研究Research of Hardy inequality摘要: 本文首先利用下列权函数:,得到新的加权Hardy不等式:.下列是经典Hardy不等式的特殊形式:,我们所得的结果正是对上述经典Hardy不等式特殊形式的加强,其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常数.我们第二个工作是对下述经典积分型Hardy不等式进行推广:其中,.获得了:,其中,.关键词: Hardy不等式(离散型); Hardy积分不等式; Holder不等式; Bernolli不等式; 权函数; 权系数Research of Hardy InequalityAbstract: In this pap

2、er , by using the following weight function:.We get the new Hardy inequality of weight coefficient: .The following formula is the special form of classic Hardy inequality: .And is the Hardy inequalitys optimal constant of p=8.The result we get is just a reinforcement of this special form of classic

3、Hardy inequality.The second job we do is a promotion to the classic integral type of Hardy inequality:.Assuming.Then we obtain .And we define .Key words : Hardy inequality ; Hardy integral inequality ; Holder inequality ; Bernolli inequality; weight function ; weight coefficientClassification : O178

4、目 次摘要I目次IV1 Hardy离散型不等式11.1 Hardy离散型不等式简介11.2 加权Hardy离散型不等式研究动态22 Hardy积分型不等式32.1 Hardy积分型不等式简介42.2 加权Hardy积分型不等式研究动态53 Hardy不等式的一个加强改进93.1 主要定理及其推论的称述93.2 主要引理93.3 主要定理及其推论的证明114 Hardy积分型不等式的推广13参考文献16附录18学位论文数据集19 1 Hardy离散型不等式1.1 Hardy离散型不等式简介著名的Hardy不等式表述为1:.（1.1）其中,（）,是最佳常数.自从1920年Hardy首先证明这个不等

5、式以来,已有大量的改进和推广工作2-7.1988年,杨必成、朱匀华8对P=2建立了（1.1）的加强的不等式 2000年,黄启亮9对P=3/2建立了（1.1）的加强不等式 2000年,罗健英10对P=3建立了（1.1）的加强不等式 2005年,隆建军11对P=5建立了（1.1）的加强不等式. 2009年,赵利彬12关于P =7的Hardy不等式的一个加强不等式1.2 加权Hardy离散型不等式研究动态设,则 .（1.2）仅当时等号成立. .（1.3）仅当时等号成立,特别时,得到Carleman不等式13.1998年,杨必成14在附加条件下,将（1.3）式改进为: .（1.4）令然后将原其中k换成

6、n,得到15: .（1.5） .（1.6）特别地,时,得到16: .（1.7）2000年,Rakotondratsimba,Y. 17考虑了二维离散Hardy不等式:,其中.2005年,马雪雅18对离散形式的经典Hardy不等式进行推广,其中,得出以下结论:设,且,则下列两个命题等价:第一,存在常数,使得对任何非负单调递减的数列有下列不等式:第二,存在常数,使得对任意,有2006年,高明哲等19通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进,由此给出离散Hardy不等式的一个很强的结果:设,且.如果,那么,其中,是可变单位向量.2 Hardy积分型不等式2.1

7、Hardy积分型不等式简介设,在上非负可积,则,等号成立当且仅当时,其中是最佳常数.自从1920年Hardy首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作,以下对目前已经得出的部分结论进行阐述.1971年Boyd20利用Hardy不等式证明了下述结果:设在上非负可测,使得,则.其中是最佳常数.1979年, Kokilasvili,V.M. 21证明了成立的充要条件是,其中,.1984年, Kufner,A. 22证明了如下结论:设在上非负可测函数,则,其中, ,若.1992年, 匡昌继证明了,其中,.当时,当时,.1999年, Pachpatte,B,G还利用Fubini定理其多元形式.2.

8、2 加权Hardy积分型不等式研究动态令.,则Oguntuase等23-24就,分别为的共轭指数,求出.设在上非负递增,为非负权函数,.则成立的充要条件是,其中, .1972年, Muckenhoupt B25得出定理:设是上的非负局部可积函数,则对所有可测函数,不等式 ,成立的充分必要条件是:存在常数,使得对任意有,或者,1990年, ArinoMuckenhoup26在研究Hardy-Littlewood极大算子在Lorentz空间中的加权有界性时,将问题转化为加权Hardy不等式对所有非增函数成立时权函数的特征刻划,得出定理:设是上的非局部可积权函数,则对所有非负非增可测函数不等式成立,

9、当且仅当存在常数,使得对,有.1989年, 丁勇证明了加权弱型Hardy不等式:设,.在上非负可测,记,.1997年, Burenkov,V.I.等27证明了差分型加权Hardy不等式:设,是上非负权函数,使得,.若存在,使得,在上可测,则常数,使得 1999年, Peter,W.等28证明了三维加权混合范数Hardy不等式:,则.2004年, 杨必成29应用权函数的方法,建立一个Hardy型积分不等的若干推广:设,.若,则有,进一步还有,2006年, 高明哲等30通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进,由此给出积分型Hardy不等式的一个很强的结果:设

10、,且,如果,那么,其中,是可变单位向量.2009年, 王文杰,何乐平31通过引入参数并利用Holder不等式进行加强,从而建立了一些新的不等式:设,使,则有其中,而.3 Hardy不等式的一个加强改3.1 主要定理及其推论的称述对于p=8的情形,目前还没有（1.1）式加强结果,本文对P=8建立（1.1）式的加强不等式,获得了:定理3.1.1 如果且,那么 推论3.1.1 如果且,那么 ,其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常数.3.2 主要引理引理3.2.1 （Bernoulli不等式）设:（1）如果； . （3.1）（2）如果. . （3.2）引理3.2.2 .（3.3）其中, .证明:

11、令r=8/7,s=8,则,再令,则由Holder不等式得 .（3.4）其中, =,又由于 .（3.5） 引理3.2.3 ,（3.6）当且仅当n=1等号成立.证明:由及Bernoulli不等式知,当时有 （3.7）于是,当时（3.8）当时（3.8）中的.Bernolli不等式及得 （3.9）引理3.2.4 设 ,（3.10）则当时有 .（3.11）证明: 先证,所以在,其次,由Lagrange微分中值定理, 使3.3 主要定理及其推论的证明定理3.1.1的证明 由引理3.2.2、引理3.2.3、引理3.2.4得.（3.12）故有（3.12）及引理3.2.1得定理获证. 推论3.1.1的证明 易知

12、为单调递增函数,且有上确界,即,故,从而.4 Hardy积分型不等式的推广Hardy积分型不等式32的表述:设,在上非负可积,则 （4.1）仅当时等号成立,其中是最佳常数.下面的目的是将不等式(4.1),推广到两个变量的情况,即:定理4.1 设是上的非负可积函数,为常数,令 （4.2）则 .（4.3）证明: 设,定义 .（4.4）则当,时,.分部积分产生: .（4.5）其中,故由（4.4）和（4.5）,得到 .（4.6）对指数和利用Holder不等式,于是有.（4.7）将（4.7）带入（4.6）的右端,得到 .（4.8）利用不等式33 .（4.9）有 （4.10）从（4.4）,（4.8）和（4

13、.10）,得到 （4.11）对（4.11）积分产生 （4.12）对（4.12）左端分部积分,利用（4.4）,得到 （4.13）利用Holder不等式,有 .（4.14）利用（4.13）和（4.14）,得到 .（4.15）从（4.4）,（4.9）和（4.15）,有 （4.16）从（4.4）,（4.12）和（4.16）,得到（4.17）令,因和是任意的,故由（4.17）产生,即定理得证.参考文献1 Hardy G H, Little wood J E ,Polya G P, Inequalities , Cambridge UniversitPress ,1952. 239-242.2 Hardy

14、 G H , A note on two inequalities, London Math, Soc, 1936, 11:167-171.3 Mitrinovic D S, Pecaric J E and Fink A M, Classcal and New Inequalities in Analy-sis, Kluwer Academic Publishers,1993.4 Hardy G H, Littlewood J E and Polye G, Inequalities, Cambridge UniversityPress,1952. 5 Christopher Olutunde

15、Imoru, On some integral inequalities related to Hardys,Canad Math Bull, 1977,20: 307-312. 6 Chan L Y, Some extensions of Hardys inequalities, Canad Math Bull, 1979.7 Pachpatte B G, On a new class of Hardy type inequalities, Proc. Royal. Soc. Edinb, 1987,105(A), 265-274.8 杨必成, 朱匀华,关于Hardy不等式的一个改进, 中山

16、大学学报(自然科学版),1998,37(1),41-44.9 黄启亮, 关于P=3/2的Hardy 不等式的一个加强改进, 广西师范大学学(自然科学报),2000,18(1):21-23.10 罗健英, 关于p=3的Hardy不等式的一个加强改进, 西南民族学院学报(自然科学版),2000,(04):25-28.11 隆建军,关于 p=5的Hardy不等式的一个加强改进, 沙洋师范高等专科学校学报(自然科学版),2005,(05):46-48.12 赵利彬, 关于P =7的Hardy不等式的一个加强改进, 佳木斯大学学报 (自然科学版) 2009 ,09,.27(5).13 陈计,叶中豪, 初

17、等数学前沿, 南京: 江苏出版社,1996.14 Yang Bicheng and L.Debnath, On a New Generalization of Hardy-Hilberts Inequa-lity and Its Applications, Math Anal Appl ,1999, 233,484-497. 15 匡继昌, 常用不等式, 山东科学技术出版社,2004.16 Alzer.H, On Carlemans inequality, Portugal.Math,1993, 50(3): 331-334.17 Rakotondratsimba.Y., Two-Dimens

18、ional Discrete Hardy inequalities, Acta Math. Hungar, 2000,86(3):213-236.18 马雪雅, 关于非增序列的加权Hardy不等式,数学杂志, 2005, 25(6) .19 高明哲, Hardy不等式的改进, 南京大学学报数学半年刊,2006.11, 23 (2).20 David.W.Boyd, On the exponent of an osculatory packing , Canad.J.Math. 1971, 23:355-363 .21 Kokilasvili,V.M, Characterization of t

19、he Besov-Lipschitz and Triebel-Lizorkin spaces the case q1 Soobsc, Akad.Nauk Gruzin,1979, SSR96(1):37-40.22 Kufner,A, Discreteness and simplicity of the spectrum of a quasilinear Sturm- Liou ville -type problem on an infinite interval , Pokroky Mat.Fyz. Astronom,1984, 29(1): 29-40.23 James Adedayo O

20、guntuase and Christopher Olutunde Imoru, New Generalizations of Hardys Integral Inequality, Math.Anal. Appl, 2000, 241(1):73-82 .24 Heining.H.P, Fourier Inequalities Wish Nonradial WeightsCanad, Journal Of Math,1993, 45(1):104-116.25 Muckenhoupt B, HardyS inequality with weights, Studia Math 1972, 4

21、4(1).26 Arino M and Muckenhoupt B, Maximal function on classical Lorentz spaces and HardyS inequality with weights for nonincreasing functions,Trans Amer Math Soc, 1990,320(2):72773527 Burenkov,V.I, Journal of Inequalities and Applications, Journal Of Math ,1997,1. 28 Peter,W, Three-dimensional mixe

22、d-norm weighted Hardy inequality, J.Math.Anal. Appl,1999,234(1):287-292.29 杨必成,关于一个Hardy 型积分不等式的推广,南昌大学学报(理科版), 2004, 28(3).30 杨必成,高明哲, 关于Hardy - Hilbert不等其中的一个最佳常数, 数学进展,1997,26(2):159-164.31 王文杰,何乐平, 含参数的Hardy- Hilbert 型积分不等式的加强, 湖南科技大学学报（自然科学版）,2009, 24(4).32 Hardy G H, A note on two inequalities, J . London Math. Soc. 1936 ,11 .33 Mitrinovic D S , Pecaric J E and Fink A M, Classical and New Inequalities in Analy-sis,Dordrecht : Kluwer AcademicPublishers , 1993.附录:Bernoulli不等式,Holder不等式简单说明Bernoulli不等式:设,则 (1).如果 (2).如果 Holder不等式:设,则（1）若,则.（2）若,则.