3D道路中信号发射装置位置确定问题数学建模论文1.doc

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1、数学建模论文3D道路中信号发射装置的位置确定问题摘要随着社会经济的发展，现在的城市交通问题比较突出。为了很好的解决这一问题，建立起智能交通管理的观念应运而生。而智能交通管理的建立，离不开信号的发射与接收。因此如何设置一些无线信号发射装置及时向行驶在道路上的机动车传送交通信息以及如何实现信号的全覆盖以及信号的稳定是我们本文要讨论的问题。对于问题一，先要从所有道路中分出机动车道和非机动车道。机动车道通常比较直，也比较长。而过于弯曲的通常只是人行道或自行车道（非机动车道）。因此可以对121条道路进行聚类分析，聚类的2个指标为每条道路的长度（相邻点的距离之和）以及采集点的密集度（通过作图，可以观察到越

2、是弯曲的道路采集点越密集，因此把道路的弯曲度转化为采集点的密集度），聚类的结果是可以得到48个机动车道。然后再通过regress函数回归以及数据拟合实现对每类机动车道建立一个近似的描述模型，使得对每条道路在给定经度（纬度）坐标下即可确定纬度（经度）坐标及相应的海拔高度。对于问题二，根据题意知道路接收的信号强度只与采样点与发射装置的距离有关，因此可以把“各条机动车道之间的信号接收比较接近”这个指标转化为“各条机动车上所有采样点与发射装置的距离的平均值比较接近”。通过查阅资料将经纬度差转换距离长度，令中的最大值尽量的小，即。通过MATLAB编程即可求出发射装置的位置，在考虑海拔高度时，只需将发射装

3、置的位置变为即可。最后求得不考虑海拔高度时信号装置的位置坐标为B（9.7824，56.7720），考虑海拔高度时的位置坐标为D（9.7459，56.7586，73.5645）。对于问题三，要注意到原来的信号装置A对结果的影响。我们仍然用道路所有采样点与发射装置的距离的平均值来表征信号接收的稳定性。首先求出所有非机动车道到原来的信号装置A的平均距离，然后再设所有非机动车道距离新的信号装置B的平均距离，此时非机动车道的信号接受强度可以用来表征。然后用问题二中同样的方法即可确定出新增信号发射装置的位置。最后求得新建信号装置的位置坐标为E（9.7459，56.7586，73.5645）。关键字：数据处

4、理 聚类分析 regress线性回归 平均距离 最佳位置一、问题重述为了方便城市交通管理，需要设置一些无线信号发射装置及时向行驶在道路上的机动车传送交通信息。附件中的数据是某一个地区的道路数据信息。每一行数据对应于一个道路上的采样点的位置信息。其中第一个指标是采样点所在的道路索引编号，第二、三个指标是相应的经度（东经）和纬度（北纬），第四个指标是海拔高度（单位：米）。机动车道通常比较直，也比较长。而过于弯曲的通常只是人行道或自行车道（非机动车道）。原来的信号发射装置位于这片区域的中心（9.75,56.75），海拔高度为200米。假定道路接收的信号强度只与采样点与发射装置的距离有关。试考虑以下问

5、题：1.1. 首先对所有道路进行分类，除非机动车道外。对其它每类道路建立一个近似的描述模型，使得对每条道路在给定经度（纬度）坐标下即可确定纬度（经度）坐标及相应的海拔高度。1.2. 不考虑海拔高度因素。如何调整发射装置的位置，使得各条机动车道之间的信号接收比较接近？如果考虑海拔高度因素，需要调整发射装置的位置和高度吗？1.3. 专门为非机动车道增加一个信号发射装置，使得在所有非机动车道上的信号接收比较稳定。应该如何确定它的位置？注：若一条道路上的采样点少于或者等于3个的可以删掉这条道路。二、问题分析2.1问题一的分析问题一中，我们要分别解决两个问题。第一个问题，最关键的问题就是如何把机动车道和

6、非机动车道分类出来，由于题目提供的信息是机动车道通常比较直、也比较长，而过于弯曲的通常只是人行道或自行车道（非机动车道），因此我们将用道路长度和道路弯曲程度这两个影响因素对道路进行聚类分析。对于第一个影响因素道路长度，我们用道路上相邻采集点的距离相加作为第一个指标；对于第二个影响因素道路弯曲程度，我们用道路上采集点的密集程度作为第二个指标。然后，利用这两个指标进行聚类分析，分出机动车道与非机动车道。之后，在对机动车道进行分类。第二个问题，就是如何对机动车道分类并建立相应的模型，使得对每条道路在给定经度（纬度）坐标下即可确定纬度（经度）坐标及相应的海拔高度。具体做法，就是对第一个问题分类出来的4

7、8个机动车道分别对经度与纬度、经度与海拔高度进行regress一元回归和数据拟合分析，得出经度与维度的关系以及经度与海拔高度的关系。2.2问题二的分析因为题目要求是使得各条机动车道之间的信号接收比较接近，也就是对各机动车道接收的信号强度进行比较。而信号强度只与采样点与发射装置的距离有关，所以只需比较各机动车道与发射装置的平均距离即可。通过查阅资料将经纬度差转换距离长度，令中的最大值尽量的小，即。通过MATLAB编程即可求出发射装置的位置，在考虑海拔高度时，只需将发射装置的位置变为即可。2.3问题三的分析 由于原来的信号装置A对非机动车道路有影响，所以我们首先求出所有非机动车道到原来的信号装置A

8、的平均距离，然后再设所有非机动车道距离新的信号装置C的平均距离，此时非机动车道的信号接受强度可以用来表征。然后用问题二中同样的方法即可确定出新增信号发射装置的位置。三、模型假设1、将每条道路上相邻采集点之间的距离近似的看作是直线。2、假设本题中经纬线之间的距离为直线，即不考虑地球曲率。3、假设题目所给数据没有错误。4、假设信号是以球面波的形式扩散的，信号强度与距离的平方成反比四、符号说明符号 符号说明 原来的信号装置，即坐标为（9.75,56.75，200）的信号装置 第二问调整后的信号发射装置第二问调整后考虑海拔时的信号发射装置 第三问新增的信号发射装置 第条机动/非机动车道距离信号装置的平

9、均距离（不同的问题的值可能不同）原发射装置A到各非机动车道的距离 第条道路的长度 第条道路的采集点的个数 第条道路采集点的密集程度即道路的弯曲程度 道路道上的第个采集点的经度线上的坐标 道路道上的第个采集点的纬度线上的坐标 第条非机动车道路的接受信号五、模型的建立与求解5.1 数据的预处理5.1.1根据附件中的数据画出该地区的二维交通道路图根据题目所给的附件中某一个地区的道路数据信息，用MATLAB编程画出该地区道路分布图。MATLAB程序代码见附件1，运行结果如下：图1：该地区的交通道路5.1.2 将经纬度换算成长度单位通过查阅文献资料，我们得知换算公式如下：纬度1度=大约111千米一个经度

10、单位=（一个纬度单位的长度）*（该地区纬度的余弦值）因此如果考虑3D道路两点之间的真实距离,如与,为经度，为纬度，为海拔高度（单位：米），那么与之间的实际距离为： 5.1.3道路接收的信号强度与采样点到发射装置的距离的关系通过查阅资料文献，得知与之间的关系为： 为了简化计算，我们令（这样做可简化计算，但不影响结果），即有5.2第一问模型的建立与求解5.2.1基于每条道路道路的长度与每条道路采集点密集程度两个指标的聚类分析。（在第一问中，计算道路长度时暂时不考虑海拔高度，因为这对结果影响不大）指标一：我们假设道路上相邻采集点之间的连线为直线，那么每条道路的长度就是每条道路上所有相邻采集点之间长度

11、的总和。即有： （为道路上采集点的个数）指标二：由图1观察可知，道路上弯曲程度越大的地方采集点的密集程度就越大，弯曲程度比较小的道路采集点则比较稀疏。因此，我们定义一个新的密集度函数来表示道路的弯曲程度。的表达式为：由以上2个指标来对所有的道路进行聚类分析，我们求得机动车道德数量为48条，具体结果如下表：表1：48条机动车道编号34327588 39966948 45368693 74029516 74029559 7403330676726823 78401675 87574512 93140093 93140099 9314010493140110 4339204 94408417 944

12、08425 94414166 9441417094414171 94785458 94785459 94787285 94793569 9479357094793571 94802268 94807552 94807570 94807578 9824045799529608 99529660 99529669 99539346 112293206 126452721126452910 126452913 127009808 127009816 127009826 127010722127010724 127010832 127347067 127347077 127347084 1423978

13、01 这48条道路的二维示意图如下：图2：所有机动车道路示意图5.2.2 对机动车道进行分类分类方法一：南北走向、东西走向分类方法二：道路的起伏程度（海拔高度）分类方法三：主干道、分支5.2.3 对每条机动车道建立的近似描述模型对于有的道路经度（纬度）与纬度（经度）、海拔如果呈线性关系，则用regress线性回归求得方程表达式；如果不是呈线性关系，比较复杂，则考虑用MATLAB数据拟合工具箱来进行数据拟合。由于道路较多，这里只选取一条道路进行计算演示，其他道路同理可得。比如，对于编号为34327588的机动车道：首先是经度与纬度之间的关系：图3：对于编号为34327588的机动车道进行拟合再次

14、是经度和海拔之间的关系：拟合效果不错，求得此道路经度、纬度、海拔之间的关系式为：对于所有机动车道近似描述模型如下表：表2：所有机动车道近似描述模型序号道路编号、与的关系式134327588239966948345368693474029516x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好5740295596740333067767268238784016759875745121093140093x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好119314009912931401041393140110x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好144339204x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好15944

15、084171694408425x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好1794414166x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好1894414170x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好19944141712094785458219478545922947872852394793569249479357025947935712694802268x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好27948075522894807570x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好2994807578x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好3098240457x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好31995

16、2960832995296603399529669x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好3499539346x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好35112293206x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好36126452721x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好3712645291038126452913x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好39127009808x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好40127009816x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好4112700982642127010722x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好43127010724x与y拟合效

17、果不好；x ，z拟合效果不好44127010832x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好45127347067x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好46127347077x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好4712734708448142397801x与y拟合效果不好；x ，z拟合效果不好5.2.4结论分析：通过建立数学模型，用MATLAB编程计算可得机动车道的条数为48条，但是本数学模型并不是100%吻合的，所以可以结合实际情况以及图1来人工剔除一些道路。5.3第二问模型的建立与求解5.3.1 不考虑海拔高度因素的情况设调整后的发射装置的坐标为(1)首先求机动车道距离信号发射装置的平

18、均距离由于不考虑海拔高度，故可以直接用经纬度来计算长度。设机动车道距离信号发射装置的平均距离为（）为第条机动车道上的采集点的个数为第条机动车道上的第个采集点的经度为第条机动车道上的第个采集点的纬度（2）建立目标函数与算法实现令， （*）当的值最小的时候即，此时对应的（x,y）的坐标即为调整后的发射装置的坐标为（x,y）式（*）可以用48*47的矩阵的形式表示出来，如下：用MATLAB编程求解，程序代码见附件3，求得的调整后的信号装置的位置坐标为（9.7824，56.7720）具体位置如下图点B点所示（图中绿色线路为所有机动车道）图4：点B位置示意图5.3.2考虑海拔高度因素的情况设调整后信号发

19、射装置的位置坐标为（x,y,z）（1）求调整后的发射装置到各动车道的距离，记为（其中）可以得到第j条非机动车道第i个采集点到发射装置的距离为 进一步可以得到平均距离 =，即得到了每条机动车道到原发射装置的距离（2）求每条机动车道的信号强度由前文的数据预处理知道，第j条非机动车道路的接受信号为 （3）建立目标函数令， （*）当的值最小的时候即，此时对应的（x,y,z）的坐标即为新增发射装置的位置坐标式（*）可以48*47的用矩阵的形式表示出来，如下用MATLAB编程求解，程序代码见附件4，求得调整后信号装置的位置坐标为（9.7459，56.7586，73.5645）具体位置如下图D点所示（图中绿

20、色线路为所有机动车道）图5：点D位置示意图5.3.3结论分析：首先是不考虑海拔高度时，求得的点B位置大概在中心点的东北方向；考虑海拔高度的影响后，求得的点D的位置在中心点的西北方向，但是距离中心点A比较接近。另外，从这两小问可以看出海拔对与信号装置的位置的确定有很大的影响。5.4第三问模型的建立与求解由第一问的结果可得，121条道路中有73条道路是非机动车道。设为非机动车道新增的信号发射装置为 ，原发射装置为5.4.1求各非机动车到原发射装置以及新增发射装置的距离 设第条非机动车道上有个采集点，先求出每个道路上的所有采集点到发射装置的距离然后再求平均值，把这个距离作为非机动车道到发射装置的距离

21、。（1）求原发射装置到各非机动车道的距离，记为（其中）依题意我们可以得到第条非机动车道第个采集点到装置A的距离为进一步可以得到平均距离 =，即得到了每条非机动车道到原发射装置的距离（2）求新增的发射装置到各非机动车道的距离，记为（其中）同理可以得到第j条非机动车道第i个采集点到装置C的距离为： 进一步可以得到平均距离 =，即得到了每条非机动车道到原发射装置的距离5.4.2求每条非机动车道的信号强度I由前文的数据预处理知道，第j条非机动车道路的接受信号为 5.4.3建立目标函数与算法实现令， （*）当的值最小的时候即，此时对应的（x,y,z）的坐标即为新增发射装置的位置坐标.式（*）可以用73*

22、72的矩阵的形式表示出来，如下用MATLAB编程求解，程序代码见附件5，求得新增的信号装置的位置坐标为E（9.7543，56.7463，24.3376）具体位置如下图蓝色点所示（图中红色圈集为非机动车道）图6：点E位置示意图5.4.4结论分析：从计算结果可以看出，新建信号装置点E在原中心点A的东南方向，并且距离A比较近。本文除了要考虑新增装置外，还要考虑原有信号装置对73道非机动车道的影响。六、模型的评价与推广对于第一问，本模型的优点在于创造性的建立了2个区分机动车道与非机动车道的指标，因此使得道路的分类比较准确，经观察、比较、计算可以大致计算出本模型的结果与实际的吻合度可达到85%以上。从理

23、论上讲，本模型还可以继续优化，建立更加精准的指标模型，使得吻合度更高。另外，在第一问中，计算道路长度时为了简化计算没有考虑海拔高度（这个对结果的影响不大），如果时间比较充裕，可以考虑海拔高度的影响。对于第二问，本文采取的是计算各条机动车上所有采样点与发射装置的距离的平均值比较接近，通过这个来表征各条机动车道之间的信号接收情况。有计算结果可知，求得的信号装置的位置基本吻合题意。对于第三问，首先求出所有非机动车道到原来的信号装置A的平均距离，然后再设所有非机动车道距离新的信号装置C的平均距离，此时非机动车道的信号接受强度可以用来表征。用此模型可以得出一个比较优化的结果。对于这个表征的模型，我们可以

24、思考用更加优化的模型来表征信号接收的稳定性。参考文献1赵东方数学模型与计算M，科学出版社，20062姜启源，谢金星，叶俊数学模型（第四版）M，高等教育出版社，20113韩中庚数学建模方法及其应用M，高等教育出版社，20054王泽文数学实验与数学建模案例M，高等教育出版社，2012附件：附件1：绘制该地区道交通图名为scatter_road.m的m文件 load(matrix);i=1;temp1=i;number_of_road=0;while i3 scatter(matrix(temp1:temp2,2),matrix(temp1:temp2,3); number_of_road=numb

25、er_of_road+1; hold on; end temp1=i; endendaxis equalnumber_of_road附件2：第二问不考虑海拔时求调整后信号发射装置的位置Bclear;load(test);load(matrix);load(bianhao_choose_N);% id1_temp=0.047860039526820;% id1_temp=0.046725217398710;id1_temp=100;m=5000; %a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3

26、);for iter=1:m iter x=a1+(b1-a1)*rand;% y=a2+(b2-a2)*rand;% center=x,y;%x,y i=1;temp1=i;ave_distance=zeros(size(bianhao_choose_N);flag=1;while i3 for i2=1:length(test) if bianhao_choose_N(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for TEMP=temp1:temp2 temp_dist=dist(matrix(TEMP,2:3),center);% if flaglength(bianhao

27、_choose_N)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)+temp_dist(2); end end if flagchou jaychou(jay,chou)=abs(ave_distance(jay)-ave_distance(chou); end end endjaychou=max(jaychou);jaychou=max(jaychou);% if jaychou id1_temp id1_temp=jaychou; center_best=center;end % id1,id2=max(ave_distance);% if id1id1

28、_temp% id1_temp=id1;% center_best=center;% end end附件3：第二问考虑海拔时求调整后信号发射装置的位置Dclear;load(test);load(matrix);load(bianhao_choose_N);id1_temp=100;m=5000;a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3);a3=min(matrix(:,4);b3=max(matrix(:,4);for iter=1:m iter x=a1+(b1-a1)*rand;

29、y=a2+(b2-a2)*rand; z=a3+(b3-a3)*rand; center=x,y,z;i=1;temp1=i;ave_distance=zeros(size(bianhao_choose_N);flag=1;while i3 for i2=1:length(test) if bianhao_choose_N(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for TEMP=temp1:temp2 temp_dist=length3d(matrix(TEMP,2),matrix(TEMP,3),matrix(TEMP,4),center(1),center(2),cent

30、er(3);%3D if flaglength(bianhao_choose_N)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)+temp_dist; end end if flagchou jaychou(jay,chou)=abs(ave_distance(jay)-ave_distance(chou); end end endjaychou=max(jaychou);jaychou=max(jaychou);% if jaychou id1_temp id1_temp=jaychou; center_best=center;endend % id1,id

31、2=max(ave_distance);% if id1id1_temp% id1_temp=id1;% % % center_best=center;% % end% % end附件4：第三问新增信号发射装置的位置Eclear;load(test2);load(matrix);load(bianhao_choose_N_exclude);id1_temp=100;m=5000;a1=min(matrix(:,2);b1=max(matrix(:,2);a2=min(matrix(:,3);b2=max(matrix(:,3);a3=min(matrix(:,4);b3=max(matrix(

32、:,4); % ,:dist_centercenter_old=9.75,56.75,200;i=1;temp1=i;dist_center=zeros(size(bianhao_choose_N_exclude);flag=1;while i3 for i2=1:length(test2) if bianhao_choose_N_exclude(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for TEMP=temp1:temp2 temp_dist=length3d(matrix(TEMP,2),matrix(TEMP,3),matrix(TEMP,4),. center_old

33、(1),center_old(2),center_old(3);%3D if flaglength(bianhao_choose_N_exclude)+1 dist_center(flag)=dist_center(flag)+temp_dist; end end if flaglength(bianhao_choose_N_exclude)+1 dist_center(flag)=dist_center(flag)/(temp2-temp1+1); end flag=flag+1; end end end temp1=i; endend % mfor iter=1:m iter x=a1+(

34、b1-a1)*rand; y=a2+(b2-a2)*rand; z=a3+(b3-a3)*rand; center=x,y,z;i=1;temp1=i;ave_distance=zeros(size(bianhao_choose_N_exclude);flag=1;while i3 for i2=1:length(test2) if bianhao_choose_N_exclude(i2)=matrix(temp1,1) %matrix for TEMP=temp1:temp2 temp_dist=length3d(matrix(TEMP,2),matrix(TEMP,3),matrix(TEMP,4),center(1),center(2),center(3);%3D if flaglength(bianhao_choose_N_exclude)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)+temp_dist; end end if flaglength(bianhao_choose_N_exclude)+1 ave_distance(flag)=ave_distance(flag)/(temp2-temp1+1); end