空间三维坐标转换问题的研究毕业论文.doc

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1、本科毕业论文空间三维坐标转换问题的研究 THREE-DIMENSIONAL SPACE COORDINATE CONVERSION PROBLEM 学院（部）： 专业班级： 测 绘 学生姓名： 指导教师： 2012年 5 月 25日 空间三维坐标转换问题的研究 摘要首先本文对有关空间三维直角坐标系做了系统概述，接着介绍了与坐标转换相关的知识以及坐标转换模型、参数的求解，接着介绍了布氏模型、莫氏模型以及相关坐标转换方法的成果，进一步探索了地心系和地心系、地心系和参心系、参心系和参心系之间的坐标转换的几种模型，详述了线性与非线性空间三维坐标转换，并采用基于改进的Gauss-Newton法的非线性三

2、维直角坐标转换方法给出了算例,并通过VB编出了个解算空间三维坐标转换的程序，通过模拟算例验证该程序的可行性。关键词：坐标系，转换模型，转换参数，坐标转换 THREE-DIMENSIONAL SPACE COORDINATE CONVERSION PROBLEMAbstract First of all this article introduce the information of Spatial Cartesian coordinate system,then introduce the knowledge of coordinate transformation and coordina

3、te transformation model and parameters of the coordinate transformation ,then introduce Bruce model Morse model and the results of the coordinate transformation method,Further explore the center of the earth system and the the geocentric Department, several models of coordinate transformation betwee

4、n the geocentric system and parameters of heart parameters in mind and reference heart,Detailed three-dimensional coordinates of linear and nonlinear space into,And the example is given based on the improved Gauss-Newton method of nonlinear three-dimensional Cartesian coordinate conversion method,So

5、lving three-dimensional space coordinate transformation program and through the VB series,By simulation examples to verify the feasibility of the program.KEYWORDS:coordinate system, transformation model , transformation parameters ,coordinate transformation目录摘要IAbstractII1绪论11.1研究意义11.2研究现状11.3研究内容1

6、1.4研究思路与方法22测量坐标系基础理论32.1地球椭球的基本几何参数32.2建立大地坐标系的基本原理42.2.1椭球定位、定向的概念42.2.2坐标系的类型42.2.3参考椭球定位与定向的实现方法52.2.4多点定位52.3我国常用的坐标系统52.3.1 1954年北京坐标系52.3.2 1980年国家大地坐标系62.3.3 1954年北京坐标系（整体平差转换值）72.3.4 WGS-84世界大地坐标系72.3.5 2000国家大地坐标系83测量坐标转换模型93.1常用等价坐标系93.1.1大地坐标系93.1.2地心空间直角坐标系93.1.3参心空间直角坐标系93.1.4平面直角坐标系93

7、.2测量坐标系转换103.2.1同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换103.2.2 大地坐标与高斯平面坐标之间的转换113.2.3站心地平坐标系及其应用153.3两个空间大地直角坐标系间的转换模型173.3.1Bursa - Wolf 模型173.3.2Molodensky 模型183.3.3范士转换模型184 测量坐标转换实例204.1改进的高斯-牛顿法204.2基于改进的高斯-牛顿法的非线性三维直角坐标转换225测量坐标转换应用265.1 GPS定位结果的表示方法265.2 GPS定位成果转换为国家大地坐标系的三维坐标275.3 将GPS定位成果转换至国家大地坐标系286测量坐标转换

8、系统的设计306.1系统性质306.2测量坐标转换系统实现30结论与展望39参考文献40致谢411绪论1.1研究意义随着现代科学技术的发展，常规大地测量方法已逐渐被卫星大地测量方法所取代，这两种方法在点位的表示方式上有所不同，并且随着空间大地测量手段的不断提高，不同基准的多种空间网已经逐渐形成，因此空间三维坐标系转换的问题在测量工作中经常会遇到，如何正确及有效的解决转换中遇到的问题，便是本文研究的意义。1.2研究现状自60年代以来,各国大地测量学者,经过大量研究,提出了多种坐标转换模型及多种解算方法, 北美1927基准面(基于克拉克1966椭球体与北美1983基准面(基于GRS1980椭球体)

9、之间坐标转换是根据研究区内一系列已知点的大地坐标或网格坐标改正量进行插值进行的坐标系转换；英国采用北向与东向的双线性网格插值进行坐标转换；挪威在海岸带调查中，采用经纬度多项式用于坐标系转换这种方法进行新（ED87欧洲1987基准面）、旧(ED50欧洲1950基准面)坐标系之间的转换；欧洲石油勘探组织(EPSG)对新、旧坐标系采用“双线性插值”进行坐标转换。在国内空间三维直角坐标转换中,通常采用7参数布尔沙沃尔夫模型、莫洛金斯基模型和范式模型，并且刘经南院士和其同事在对这三种传统转换模型进行分析的基础上，从理论和实践上证明了这三个模型的等价性，并在此基础上他还提出了第4个等价模型“武测模型”，这

10、些模型虽然表示形式上略有差异，但从坐标转换的最终结果而言，他们是等价的。1.3研究内容本文首先对国内外有关空间三维直角坐标转换做了系统概述，接着介绍了与坐标转换相关的知识以及坐标转换模型、参数的求解，接着介绍了布氏模型、莫氏模型、武测模型以及相关坐标转换方法的成果，进一步探索了地心系和地心系、地心系和参心系、参心系和参心系之间的坐标转换的几种模型，详述了线性与非线性空间三维坐标转换，并采用基于改进的Gauss-Newton法的非线性三维直角坐标转换方法给出了算例，接着采用抗差估计对观测值进行了粗差的剔除，从而保证了得到的转换参数是可靠的，最后展望了空间三维直角坐标的应用前景。概括的讲，本文研究

11、的主要内容为：1) 坐标系统2) 常见的空间三维坐标系统3) 空间三维直角坐标转换及模型4) 线性与非线性空间三维坐标转换5) 模型转换参数的可靠性及检验6) 空间三维坐标转换的前景及其应用本文提出的基于改进的Gauss-Newton法适合进行大旋转角的三维直角坐标转换，即使给定的转换参数初值与模拟真值有非常大的偏差，但经过若干次迭代计算仍然获取正确的转换参数及其转换坐标，这也证明采用本文提出的方法同样适用于小旋转角的空间三维直角坐标转换，且不依赖于转换参数的初值，并且采用稳健估计对转换参数进行检验，以确保转换参数计算的准确性和可靠性.1.4研究思路与方法连接这些空间网以及地面网的坐标基准是空

12、间网与地面网联合平差的前提，也是建立地心坐标系的必要条件。研究不同坐标系统的坐标转换问题,主要是研究不同的空间直角坐标系的坐标转换问题。不同的空间直角坐标系的坐标转换,既包括不同的参心空间直角坐标系的转换,或不同的地心空间直角坐标系的转换,也包括一个参心空间直角坐标系与一个地心空间直角坐标系的转换。因为卫星大地测量的结果属于地心坐标系,而地面大地测量得到的是参心坐标系的结果,所以,目前研究不同空间直角坐标系转换模型,也就是研究卫星测量与地面测量的坐标转换模型。2测量坐标系基础理论2.1地球椭球的基本几何参数 五个基本几何参数椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： 椭圆的第一偏心率：

13、(2.1)椭圆的第二偏心率： 各参考椭球参数见表2-1 表2-1 不同参考椭球参数克拉索夫斯基椭球1975国际椭球WGS-84系椭球a637824563781406378137b6356863.01877304736356755.28815752876356752.3142c6399698.90178271106399596.65198801056399593.62580.0066934216229660.0066943849995880.00669437990130.0067385254146830.0067395018194730.00673949674227我国所采用的的1954年北京坐

14、标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。球椭球参数间的相互关系 并得： 推得： 同理可得： 2.2建立大地坐标系的基本原理2.2.1椭球定位、定向的概念大地坐标系是建立在一定的大地基准上的用于表达地球表面空间位置及其相对关系的数学参照系，这里所说的大地基准是指能够最佳拟合地球形状的地球椭球的参数及椭球定位和定向。椭球定位是确定椭球中心的位置,可分为两类:局部定位和地心定位。局部定位要求在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合,而对椭球的中心位置无特殊要求；地心定位要求在全球范围内椭球面与大地水准面

15、有最佳的符合,同时要求椭球中心与地球质心一致或最为接近。椭球定向是指确定椭球旋转轴的方向,不论是局部定位还是地心定位,都应满足两个平行条件:椭球短轴平行于地球自转轴;大地起始子午面平行于天文起始子午面具有确定参数(长半径a和扁率),经过局部定位和定向,同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球,叫做参考椭球。除了满足地心定位和双平行条件外,在确定椭球参数时能使它在全球范围内与大地体最密合的地球椭球,叫做总地球椭球。2.2.2坐标系的类型参心坐标系:以参考椭球为基准的坐标系；地心坐标系:以总地球椭球为基准的坐标系。无论参心坐标系还是地心坐标系均可分为空间直角坐标系和大地坐标系两种,它们都与地球体固连

16、在一起,与地球同步运动,因而又称为地固坐标系,以地心为原点的地固坐标系则称地心地固坐标系，主要用于描述地面点的相对位置；另一类是空间固定坐标系与地球自转无关，称为天文坐标系或天球坐行位置和状态。在这里，我们研究地固坐标系。2.2.3参考椭球定位与定向的实现方法建立（地球）参心坐标系，需进行下面几个工作：选择或求定椭球的几何参数（长短半径）；确定椭球中心位置（定位）；确定椭球短轴的指向（定向）；建立大地原点。参考椭球定位定向方法选定某一适宜的点K作为大地原点，在该点上实施精密的天文测量和高程测量，由此得到该点的天文经度 ，天文纬度，至某一相邻点的天文方位角和正高得到K点相应的大地经度，大地纬度

17、，至某一相邻点的大地方位角和大地高 （2.2） 2.2.4多点定位一点定位的结果在较大范围内往往难以使椭球面与大地水准面有较好的密合。所以在国家或地区的天文大地测量工作进行到一定的时候或基本完成后，利用许多拉普拉斯点（即测定了天文经度、天文纬度和天文方位角的大地点）的测量成果和已有的椭球参数，按照广义弧度测量方程按=最小或=最小）这一条件，通过计算进行新的定位和定向，从而建立新的参心大地坐标系。按这种方法进行参考椭球的定位和定向，由于包含了许多拉普拉斯点，因此通常称为多点定位法。多点定位的结果使椭球面在大地原点不再同大地水准面相切，但在所使用的天文大地网资料的范围内，椭球面与大地水准面有最佳的

18、密合。2.3我国常用的坐标系统2.3.1 1954年北京坐标系1954年，总参测绘局在有关方面的建议与支持下，鉴于当时的历史条件，采取先将我国一等锁与前苏联远东一等锁相联接，然后以连接处呼玛，吉拉林，东宁基线网扩大边端点的前苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部一等锁，这样从苏联传算来的坐标系定名为1954年北京坐标系。1954年北京坐标系实际上是前苏联1942年普尔科沃坐标系在我国的延伸，但我国坐标系的大地点高程（1956年黄海高程系）却与前苏联坐标系的计算基准面不同，因此严格意义上来说，二者不是完全相同的大地坐标系。 特点:u 1954年北京坐标系属于参心坐标系；

19、u 采用克拉索夫斯基椭球参数；u 多点定位:垂线偏差由900个点解得，大地水准面差距由43个点解得；u 参考椭球定向时令；u 大地原点是前苏联的普尔科沃；u 大地点高程是以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准；u 高程异常是以前苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算值，按我国天文水准路线推算出来的；u 提供的大地点成果是局部平差结果。 问题和缺点：u 克拉索夫斯基椭球比现代精确椭球相差过大；u 只涉及两个几何性质的椭球参数（a和），满足不了当今理论研究和实际工作中所需四个地球椭球基本参数的要求；u 处理重力数据时采用的是赫尔默特1901到1909年正常重力公式，与之相应的赫尔默特

20、扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的；对应的参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性倾斜，在东部地区高程异常最大达到65米，全国范围平均29米；u 椭球定向不明确，椭球短轴指向既不是CIO,也不是我国的JYD1968.0；u 起始子午面不是国际时间局BIH所定义的格林尼治平均天文台子午面，给坐标换算带来一些不便和误差；u 坐标系未经整体平差而仅是局部平差成果，点位精度不高，也不均匀；u 名不副实，容易引起一些误解。2.3.2 1980年国家大地坐标系特点：u 1980年国家大地坐标系属参心大地坐标系；u 采用既含几何参数又含物理参数的四个椭球基本参数。数值采用1975年

21、IUGG第16届大会的推荐值；u 多点定位；u 定向明确。地球椭球短轴平行于由地球质心指向地极原点JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面；u 大地原点在我国中部：陕西省泾阳县永乐镇，简称西安原点；u 大地点高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准；u 1980年国家大地坐标系建立后，进行了全国天文大地网整体平差，计算了5万余个点的成果。新问题：u 原来的各种关于椭球参数的用表均要变更u 低等点要重新平差，编撰新的三角点成果表u 地形图图廓线和方里网线位置发生变化，并引起地形图内地形、地物相关位置的改变u 新形势下1980年国家大地坐标系的地极原点JYD196

22、8.0已不能适应当代建立高精度天文地球动力学系带要求。2.3.3 1954年北京坐标系（整体平差转换值）它是在1980年国家大地坐标系的基础上，改变IUGG1975年椭球至克拉索夫斯基椭球，通过在空间三个坐标轴上进行平移而来的。因此，其坐标值仍体现了整体平差的特点，精度和1980年国家大地坐标系相同，克服了1954年北京坐标系局部平差的缺点；其坐标轴和1980年国家大地坐标系坐标轴相互平行，所以它的定向明确；它的椭球参数恢复为1954年北京坐标系的椭球参数，从而使其坐标值和1954年北京坐标系局部平差坐标值相差较小。特点：u 属参心大地坐标系；长短轴采用克拉索夫斯基椭球参数；u 多点定位，参心

23、虽和1954年北京坐标系参心不相一致，但十分接近；u 定向明确，与1980年国家大地坐标系的定向相同；u 大地原点与1980年国家大地坐标系相同，但大地起算数据不同；u 大地点高程基准是以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准；u 提供坐标是1980年国家大地坐标系整体平差转换值，精度一致；u 用于测图坐标系，对于1:5万以下比例尺测图，新旧图接边，不会产生明显裂痕。2.3.4 WGS-84世界大地坐标系该坐标系是一个协议地球参考系CTS（Conventional Terrestrial System）,其原点是地球的质心，Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极CTP（Conven

24、tional Terrestrial Pole）方向，X轴指向BIH1984.0零度子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系。WGS-84椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大会大地测量常数推荐值 自1987年1月10日之后，GPS卫星星历均采用WGS-84坐标系统。因此GPS网的测站坐标及测站之间的坐标差均属于WGS-84系统。为了求得GPS测站点在地面坐标系（属于参心坐标系）中的坐标，就必须进行坐标系的转换。2.3.5 2000国家大地坐标系2008年3月，由国土资源部正式上报国务院关于中国采用2000国家大地坐标系的请示，并于2008年4月获得国务院批准。自2008

25、年7月1日起，中国将全面启用2000国家大地坐标系，国家测绘局受权组织实施。2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：长半轴 a=6378137m 扁率f=1/298.257222101 地心引力常数GM=3.9860044181014m3s-2自转角速度=7.292l1510-5rad s-1采用2000国家大地坐标系具有科学意义，随着经济发展和社会的进步，我国航天、海洋、地震、气象、水利、建设、规划、地质调查、国土资源管理等领域的科学研究需要一个以全球参考基准为背景的、全国统一的、协调一

26、致的坐标系统，来处理国家、区域、海洋与全球化的资源、环境、社会和信息等问题，需要采用定义更加科学、原点位于地球质量中心的三维国家大地坐标系。3测量坐标转换模型3.1常用等价坐标系3.1.1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线En与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示3.1.2地心空间直角坐标系地心空间直角坐标系是在大地体内建立的坐标系O-XYZ，它的原点与地球质心重合，坐标轴系的配置方法如图所示。Z轴与地球自转轴重合，X轴与地球赤道面和起始子午面的交线重合，Y轴与XZ平面正交，指向东方，X、Y、Z构成右手坐标系，一点K的地心

27、空间直角坐标用(z、y、z)表示。地心坐标系是唯一的，因此这一坐标系确定地面点的“绝对坐标”，它在卫星大地测量中获得广泛应用。3.1.3参心空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示 。 （3.1）3.1.4平面直角坐标系 由于高斯投影是分带进行投影的，每个投影带都有各自不同的中央子午线，投影带间互不相干，因些在每个投影带中均可以建立各自不同的平面直角坐标系。由高斯投影知，中央子午线与赤道投影后均为直线且正交。如果以中央子午线的投影为纵坐标轴，即x轴，赤

28、道的投影为横坐标轴，即y轴，中央子午线与赤道的交点O投影为原点o，于是，构成了高斯平面直角坐标系o-oy，如图所示。由于高斯平面坐标系的建立，严格地说，高斯投影中的第二个投影条件应改为中央子午线投影为纵坐标轴。 所以中央子午线又称为轴子午线。它是计算经差的零子午线，也是计算等量经度l的假定零子午线。 图3-1 高斯平面坐标系3.2测量坐标系转换3.2.1同一参考椭球下大地坐标与空间直角坐标的转换1)（B，L，H）（X，Y，Z） （3.2） （3.3） 图3-2大地坐标与空间直角坐标转换示意图2)（X，Y，Z） （B，L，H）（ （3.4）3.2.2 大地坐标与高斯平面坐标之间的转换1)高斯投影

29、坐标正反算公式已知某一点在椭球面上的大地坐标(B、L)，求其在高斯平面上的坐标(z、y)，称其为高斯投影正算。正算的关系式如下： x=F1(B、L) （3.5） y=F2(B、L) （3.6） 在高斯投影中，为了限制投影变形的程度，是将椭球面按子午圈分为若干相等经度差(例如60、30等)的投影带，各以本带中央大地经度为L0的子午圈作为轴子午线。投影就限制在各带范围内进行。高斯投影坐标正算公式 B,lx,y任一大地点要进行投影计算，应先看它的大地经度L是属于那一带，设该带中央经线(即轴子午线)的经度为L0，则投影变形的程度只随L一L0=l而变，而和其它无关，因此投影正算关系式可以写为： x=F1

30、(B、l) （3.7） y=F2(B、l) （3-8） 为了推导高斯投影正算公式，下面我们以上式为基础，根据高斯投影的三个条件确定函数F1和F2的具体形式 ：我们先根据第一个条件即等角条件，导出投影函数式应该满足的特征方程: （ （3.9） 图3-3高斯投影第一条件示意图高斯投影的第二个条件是：轴子午线的描写形是一条直线，而且是投影点的对称轴。图3-4高斯投影第二条件示意图如图3-4 (a)，OP为椭球面上投影带的轴子午线，其经度为L0，在OP两侧有对称的两点A(B、l)和A(B、-l)，轴子午线OP在平面上的描写形为ox(见图3-4 (b)，它是一条直线，同时也是平面坐标系的纵轴。因为A、

31、A对称于轴子午线，所以对称,它们的平面坐标应分别为a(x,y)、 a(x,-y)。这就要求投影函数满足以下关系式： x=F1(B、l) y=F2(B、l) 也就是说,不管经度差l是正还是负，纵坐标x都应该是正值，而横坐标y则与l同号。根据高斯投影的第三个条件，轴子午线描写形没有长度变形，因此这时纵轴坐标x应该等于椭球面上该点到赤道的子午线弧长X(图)，即 （3.10） (3.11) (3.12)图3-5高斯投影第三条件示意图 (3.13) (3.14) (3.15)1）高斯投影坐标反算公式 x,y B,l根据一点在高斯平面上的坐标x、y计算该点在椭球面上的大地坐标B、L，称其为高斯投影反算。通

32、过高斯投影正算，我们可以得到地面控制点的高斯平面直角坐标x、y，用平面坐标作为加密图根控制网和测图的依据非常方便。但在大地测量的某些计算和国防建设中常常需要大地坐标，如果没有各大地点的大地坐标资料，就需要根据已知的平面坐标换算为大地坐标。例如，在国家控制网的拉普拉斯点上把天文方位角化为大地方位角时，在用天文大地的方法求垂线偏差的大小时，在把地面观测值归算至椭球面时，在国防上求定长距离两点间的方位和距离时，在为导弹发射提供必要的数据时都要用到大地坐标。此外，为保证大地测量计算工作的准确无误，投影正、反算也可以互相检核。在进行高斯投影反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，其相应的函数关系如下：

33、B=1（x,y） （3.16） +l=2（x,y） （3.17） 图3-6高斯投影反算三条件示意图2）同正算一样，高斯投影反算时，上式函数必须满足前述三个条件，推导过程与正算公式相似。满足以下三个条件：x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，

34、这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。3.2.3站心地平坐标系及其应用1) 站心地平直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系定义：站心点的法线为z轴，在地平面上以子午线方向为x轴，y与x、z轴正交，指向东为正

35、。将站心坐标轴 XYZ 变换成与空间坐标系的指向一致，需要如下几步：(1) z坐标轴反向；(2) 绕y轴900+B；(3) 绕z轴旋转-L。将站心系坐标轴变换到与三维空间直角坐标轴指向一致时的旋转矩阵为： （3.18）顾及，站心系原点在空间坐标系中的坐标为： （3.19）则，站心系坐标到空间直角坐标系的变换公式为： （3.20）由上式得，空间直角坐标系到站心系的变换公式为： （3.21）2) 站心极坐标系与站心地平直角坐标系的关系定义：由站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距为坐标变量确定三维点位，称为站心极坐标系 由上式，得：图3-7站心极坐标系示意图 （3.22） 也可以用以下公式计算：

36、 （3.23）公式中的天顶距和方位角都归算到以法线为基准。测量时以垂线为基准的，需要作垂线偏差改正。3) 空间直角坐标系与站心地平直角坐标系的旋转矢量之间的关系若ex、ey和ez为空间坐标系的旋转矢量， wx、 wy和wz为站心坐标系的旋转矢量。顾及旋转矢量是平移不变量，旋转关系与坐标矢量相同。 （3.24） 图3-8旋转矢量关系示意图3.3两个空间大地直角坐标系间的转换模型3.3.1Bursa - Wolf 模型转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一个尺度参数。 （3.25）R为前面所述的旋转矩阵。当旋转角为小角度时，上式可简化为： （3.26）略去尺度参数和旋转参数的乘积项，上式可进一步简化为：