浅谈定积分与复积分毕业论文范文.doc

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1、 浅谈定积分与复积分 摘要: 积分学是函数论中的重要内容,无论是定积分还是复积分,均是研究函数的重要工具.并且在几何、物理和工程技术上都有着广泛的应用.本文主要从积分的定义,性质,存在条件,计算式的比较以及对称性的比较五个方面讨论了定积分与复积分之间的联系与区别.特别对二者计算式及对称性做了系统的分析总结,并在此基础之上对复积分的性质做了进一步的探究.关键词: 定积分; 复积分; 联系; 区别 The definite integral and complex integralAbstract: Integral calculus is important in function theory

2、,no matter definite integral or complex integral,either is the important tool in studying the function ,and it has a wide range of application in geometry,physis and engineering.this article discusses the relation and the difference between the definite integral and complex integral in five aspects

3、,including definition.character and the conditions of existence of the integral .Especially , it analyses and summarizes the formula and symmetry of them , then discusses the character and the conditions of existence of the complex integral deeply.Key words: Definite integral ; Complex integral ; Di

4、fference ; Relationship0引言 积分是高等数学的重点难点之一,积分的种类繁多,求解方法难易悬殊，使用技巧各异,教材中对定积分和复积分做了简单地介绍,尽管如此,我们在面对很多积分时还是无法快速简便地计算.因此,对积分的系统总结及研究是很有必要的. 本文的目的主要是通过研究定积分与复积分的联系与区别,让我们深刻系统的了解复积分与定积分的相关理论,并用这些理论来解决数学与其他学科中的各种实际问题.1 预备知识1.1 连续函数的定义 定义1 设函数在点的某个邻域中有定义,并且成立 则称函数在点处连续,而称是函数的连续点.定义2 函数在区间的每一个点连续,则函数在开区间上连续.1.

5、2 极限四则运算法则 若极限与都存在,则函数当时极限也存在且:.又若则当时极限存在,.1.3 柯西积分定理设函数在平面上的单连通区域内解析,则在内的积分与路径无关,即对内任意两点与,积分之值,不依赖内连接起点与的曲线. 1.4 柯西留数定理 设函数在区域内除有限个孤立点外处解析,为内包含各奇点的一条正确简单的封闭曲线,则:.2 定积分与复积分概念及性质的比较2.1 概念比较定积分的定义设函数在闭区间上连续.闭区间上有-1个点.依次为它们把分成个闭子区间,并令且设为中任意一点,这里令显然,当时,必有,我们作和,在微积分中曾证明的值存在,叫做从到的定积分,记做.分别叫做定积分的上限和下限.复积分的

6、定义设复函数在光滑或逐段光滑的简单曲线上有定义,沿从到的方向上依次取分点:,其中在每个弧段上任取一点,作和式其中,设当如果和式的极限存在,且此极限值不依赖的选择,也不依赖分法,就称沿可积,而称此极限值为到方向上的复积分或简称复积分,记为 . 由定义可以看出,不管是定积分还是复积分在给出积分定义时方法是一样的,都是采用”分割取点近似求和取极限”四步,不同的是,定积分的值只与有关,与积分路径无关,即定积分中由到的积分路径只有一条,且与方向无关.复积分的值不仅与有关,还与积分路径有关,即由与的积分路径存在无数条且有方向. 例1 按定积分定义证明.证明 对于的任意分割T=,任取=,相 应的积分和为,从

7、而取为任意正数,要使就有, 根据定积分的定义有. 例2 计算积分. 解 由于在上连续,所求积分是存在的,将区间分为个相等的小区间, 则,在每个小区间上取左端点作为,即.于是对于, 而对于,由于,故显然,如果积分区间不是,而是，则 例3 令表示连接点到点的任一曲线,试证 . 证明 因为,选,则得,我们又可选, 则得 ,显然在曲线上解析,因此积分存 在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等.令, 所以 . 至此我们了解到,无论是定积分还是复积分均可用定积分对其进行求值计算,然而当被积分函数比较复杂,或者被积函数为复合函数时,利用定义计算过程,难免复杂,我们不禁要问有没有什么简单的方法将被积函数进

8、行化解呢?2.2 基本性质的比较 首先,我们来回忆定积分的性质. 性质1 若在上可积,为常数,则在上也可积,且 . 性质2 若,都在上可积,则在上也可积,且 . 性质3 若,都在上可积,则在上也可积. 性质4 在上可积的充分必要条件是:任取,在与上都可积,此时又有等式. 性质5 设为上的可积函数,若,则.性质6 若在上可积,则在上也可积,且.类似复积分的性质如下: 性质1 . 性质2 . 性质3 当为分段光滑曲线,时, . 性质4 这里表示弧长的微分,即 . 通过观察比较不难看出,两种积分运算性质是基本一致的,唯一不同的是定积分中的性质3,至此,我们自然要问:复积分是否也具有此性质呢?下面结论

9、告诉我们这一性质在复积分中是成立的. 引理 有界函数在曲线上可积的充分必要条件是: 其中为在上的振幅. 探究 若,沿曲线可积,则沿曲线可积. 证明 因为可积函数是有界的,故存在正数使在曲线上成立以分别记及在上的振幅,由于 所以,从而对每一分割都有 又与可积,当时,右端的两个和式都趋于零,而是常数,故左端的和式也趋于零,由引理可知乘积是可积的.以上性质告诉我们,无论是定积分还是复积分均可以进行适当的化简,然后计算,怎么能断定积分是否存在呢?3 积分存在的条件3.1 定积分存在的条件 定理1 若函数在上可积,则在上必有界. 定理2 若为上的连续函数,则在上可积. 定理3 若是区间上只有有限个间断点

10、的有界函数,则在上可积. 定理4 若是上的单调函数,则在上可积.3.2 复积分存在的条件 定理5 若在曲线上可积,则沿有界.定理6 若函数沿曲线连续,则沿可积,且 . 同样,我们不难发现无论是定积分亦或是复积分其积分存在条件基本是一致的.至此,我们已详细了解了积分的基本性质及积分存在条件.然而,如何利用这些性质及存在条件进行具体计算呢,其计算式又有何区别与联系呢?4 计算式的比较4.1 牛顿莱布尼兹公式成立的前提比较 对实一元函数而言,只要在上连续,且存在原函数,积分就存在,就有牛顿莱布尼茨公式成立,即.而对于复变函数来说,连续,积分存在,不一定有牛顿莱布尼茨公式成立.因为复变函数积分实际上是

11、线积分,所以牛顿莱布尼茨公式成立与沿闭曲线的复变函数积分为零联系在一起,于是要求必须在单连通区域内处处解析,才有. 即对于复积分,牛顿莱布尼茨公式成立的条件是: 函数在单连通区域内解析或积分与路径无关.例4 利用牛顿莱布尼茨公式计算: . 分析 先利用分部积分公式求出的任意原函数,然后完成定积分的运算. 解 由分部积分公式可得: 因此 . 例5 计算积分,其中为以为起点,为终点的任一光滑曲线. 解 设,根据曲线积分与路径无关的充分必要条件可知,上式两端的两个积分均与路径无关,因此 . 例6 求解,其中为右半圆周: 起点为,终点为.解 函数的支点为0,不包含在单连通区域内,因此在单连通区域内连续

12、,即:在单连通区域内解析,因此积分与路径无关,因此 .4.2 光滑曲线上的连续复积分可以转化成定积分 对于复变函数来说,沿起点在终点在的曲线的积分一般不能记为的形式,这是由于积分不仅依赖于而且也依赖于曲线的选取,但是若曲线的参数方程能够求出,如:,则可将复积分的计算化为实二元函数的线积分,并结合牛顿莱布尼茨公式来求之.即 . 例7 计算积分其中积分路径（如图1）为:(1)连接由点到点的直线段.(2)连接由点点的直线段,以及连接由点到的直线段所构成的折线; 解 连接及两点的线段的参数方程为: (图1)(1) 连接0与1+i的直线段的参数方程为: ,因此 . (2)连接0到1的直线段的参数方程为:

13、 连接点1与1+i的直线段的参数方程为:即: , 因此 . 由此例可以看出,积分路径不同积分的结果也不同. 例8 证明 的参数方程为故 当=1时, ,当为整数且时,.4.3 换元积分法在复积分中的应用 换元法 设在平面上区域内解析,，若是解析函数,则换元的公式为: (4-1) 其中. 例9 求积分的值. 解 由于在平面上解析,令,则由换元公式(4-1): . 例10 求积分的值,其中为到的直线段.解 由于在圆周内处处解析,因此在积分曲线上解析,令,则,由换元公式(4-1): = .4.4 分部积分法在复积分中的应用 分部积分法 设与在单连通区域内解析,为内任意两点,则: (4-2) 例11 求

14、积分的值,沿圆周在第一象限的部分. 解 由于在区域内解析,故利用分部积分公式(4-2): . 例12 求积分的值,积分路径为从到的任何简单曲线.解 由于在复平面上解析,故利用分部积分公式(4-2): = =.4.5 用留数定理计算定积分计算型积分,这里表的有理函数,并且在上连续.若设,则,当经历变程时,沿圆周的正方向绕行一周.因此有,右端是的有理函数的周线积分,并且积分路径上无奇点,应用留数定理就可求得其值. 例13 计算积分 解 设,则. 当时, 这样就有且在圆内只以为一阶级点,在上无奇点,因此 所以由留数定理得 . 例14 计算解 令则 被积函数在内只有一个一阶极点,所以由留数定理知 .5

15、 对称性比较 定积分的几何意义告诉我们:(1)若的几何意义是曲线围成 的曲边梯形的面积.(2)若的几何意义是曲线围成 的面积的相反数.(3)若在区间上有正有负时,的几何意义为曲线在轴 上方部分之下的曲边梯形的面积取正号,曲线在轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号,构成的代数和. (图2) (图3)由此可以得出以下结论:(1) 如果为对称区间上的连续奇函数(如图2),则积分.(2) 如果为对称区间上的连续偶函数(如图3),则积分 . 现在我们知道了对称性在定积分的集中体现就是“偶倍奇零”性质.然而,下面的定理告诉我们在复积分中这一性质不再成立: 定理 若函数在有向光滑曲线上连续,曲线由与两部分构

16、成. (1)如果的形状与方向关于虚轴对称,则 (2)如果与的形状与方向关于实轴对称,则 (3) 如果与的形状与方向关于原点对称,则 例15 计算复积分为正向圆周为整数.解 由于函数满足,并且曲线关于原点对称, 据定理结论(3)知: . 6 小结 从以上内容可以看出,积分不仅种类繁多,而且求解方法各异,为了能够全面系统的掌握定积分及复积分的有关知识,并能快速准确的求解其相关问题,我们必须对定积分及复积分的概念、基本性质、存在条件和计算方法等有一个深刻的认识、了解和掌握,在此基础之上才能够结合实际,根据不同的积分形式灵活的选择计算方法,从而求解相关问题.需要注意的是,在选择计算方法时一定要满足此方

17、法所要求的条件才可以用它来计算. 参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001.2 钟玉泉.复变函数论(第三版)M.北京:高等教育出版社,2004.3 李忠宁.复积分的特点探究J.阴山学刊,2010,24(4):16-18.4 姜东平,宋国柱,任福贤,等.数学分析教程(上册)M.江苏:南京大学出版社,2004.5 孙清华,孙昊.复变函数内容、方法与技巧M.武汉:华中科技大学出版社,2003.6 杨战民,任小红,梁晓毅.复变函数与积分FRT变换M.西安:西安电子科技大学出版社,2003.7 范晓兰.复变函数积分中的换元法与分部积分法J.教学与科技,201

18、0,(2):29-31.8 吴君,刘易成.复积分的对比教学初探J.湘南学院学报,2010,31(5):44-46.9 费定晖,周学圣,郭大钧,等.数学分析习题集题解M.济南:山东科学技术出版社,2005.10 西安交通大学高等数学教研室.复变函数M.北京:高等教育出版社,2009.11 S.G.Gindkin.Penrose transformation and Complex integralM.1983. 致谢 本论文是在我的指导老师孔春香的亲切关怀和悉心指导下完成的.她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深的感染和激励着我.在此我要向我的指导老师致以最衷心的感谢和深深的

19、敬意.同时,也向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢!另外,我的同学和朋友不但为我提供了很多的论文题材,而且在论文的撰写、排版等过程中提出了修改意见,给予我热情的帮助,在此对所有帮助过我的老师和同学致以诚挚的谢意.感谢学校给我提供的学习环境,让我能够学习这么多知识,图书馆能够提供相关资料,从而能顺利完成毕业论文和学业.最后,我衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师、教授. (全文共6520字)本科毕业论文致谢 致 谢时间如梭，转眼毕业在即。回想在大学求学的四年，心中充满无限感激和留恋之情。感谢母校为我们提供的良好学习环境，使我们能够在此专心学习，陶冶情操。谨向我的论文指导老师王副

20、教授致以最诚挚的谢意！王老师不仅在学业上言传身教，而且以其高尚的品格给我以情操上的熏陶。本文的写作更是直接得益于他的悉心指点，从论文的选题到体系的安排，从观点推敲到字句斟酌，无不凝聚着他的心血。滴水之恩，当以涌泉相报，师恩重于山，师恩难报。我只有在今后的学习、工作中，以锲而不舍的精神，努力做出点成绩，以博恩师一笑。另外，我必须感谢我的父母。焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报。作为他们的孩子，我秉承了他们朴实、坚韧的性格，也因此我有足够的信心和能力战胜前进路上的艰难险阻；也因为他们的日夜辛劳，我才有机会如愿完成自己的大学学业，进而取得进一步发展的机会。最后，我必须感谢我的朋友，正是因为他们在

21、电脑技术上的无私指引，我才能得以顺利完成该论文。 本研究及学位论文是在我的导师*老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。*老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向*老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长

22、大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！大学三年学习时光已经接近尾声，在此我想对我的母校，我的父母、亲人们，我的老师和同学们表达我由衷的谢意。感谢我的家人对我大学三年学习的默默支持；感谢我的母校*给了我在大学三年深造的机会，让我能继续学习和提高；感谢*的老师和同学们三年来的关心和鼓励。老师们课堂上的激情洋溢，课堂下的谆谆教诲；同学们在学习中的认真热情，生活上的热心主动，所有这些都让我的三年充满了感动。 这次毕业论文设计我得到了很多老师和同学的帮助，其中我的论文指导老师黄志敏老师对我的关心和支持尤为重要。每次遇到难题，我最先做的就是向黄老师寻求帮助，而黄老

23、师每次不管忙或闲，总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。黄老师平日里工作繁多，但我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。这几个月以来，黄老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想给我以无微不至的关怀，在此谨向黄老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。同时，本篇毕业论文的写作也得到了韦芳、谭冬柳等同学的热情帮助。感谢在整个毕业设计期间和我密切合作的同学，和曾经在各个方面给予过我帮助的伙伴们，在此，我再一次真诚地向帮助过我的老师和同学表示感谢！ 感谢培养教育我的XX学校，XX浓厚的学术氛围，舒适的学习环境我将终生难

24、忘！祝母校蒸蒸日上，永创辉煌！祝校长财源滚滚，仕途顺利！感谢对我倾囊赐教、鞭策鼓励的XX大学X系诸位师长，诸位恩师的谆谆训诲我将铭记在心。祝恩师们身体健康，家庭幸福！感谢论文中引文的原作者，他们都是法学界的名师大家，大师风范，高山仰止。祝他们寿域无疆，德业永辉！感谢同窗好友XXX、XXX、XX、XX、XXX以及更多我无法逐一列出名字的朋友，他们和我共同度过了四年美好难忘的大学时光，我非常珍视和他们的友谊！祝他们前程似锦，事业有成！家有娇妻，外有二房！最最感谢生我养我的父母，他们给予了我最无私的爱，为我的成长付出了许多许多，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，惟愿他们健康长寿！感谢我的牌友孙

25、XX、杨XX、杨XX、王X、赵X，他们和我一起度过了大四无聊的时光，让我在写作之余能有很好的休闲活动。祝他们以后多培养牌坛新秀！感谢我的烟友姜X、丁X、冯XX、田XX。在我没烟抽的时候他们总能毫无吝惜的将自己的烟分给我抽，尤其是在本文写作过程中，我废寝忘食，足不出户，烟抽的很快，他们给予我很大帮助，燃上一支烟，文思如泉涌，快乐似神仙！祝他们永远都有好烟抽！最后要感谢我自己，没有自己的努力，本文是无论如何业完不成的！感谢我以最大的毅力完成了四年大学学习，在这个环境里我能洁身自爱，出淤泥而不染保持一颗纯洁的心，真的是很不容易！祝自己身体健康，权财两旺！家里红旗不倒，外面彩旗飘飘！大学生活一晃而过，

26、回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。首先诚挚的感谢我的论文指导老师*老师。她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文。还有教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢三年中陪伴在我身边的同学、朋友，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过了三年的学习生活。本论文是在导师詹怀宇教授和付时雨研究员的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇

27、高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在此感谢岳保珍高工、张曾教授、李兵云老师、何婉芬老师的指导和帮助；感谢重点实验室的等老师的指导和帮助；感谢福建农林大学谢拥群教授、陈礼辉教授、黄六莲高工的关心、支持和帮助，在此表示深深的感谢。没有他们的帮助和支持是没有办法完成我的博士学位论文的，同窗之间的友谊永远长存。 2）我毕

28、业论文的致谢 致谢： 感谢我的导师XXX教授，他们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。 3） 本课题在选题及研究过程中得到*老师的悉心指导。陆老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。陆老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时三载，却给以终生受益无穷之道。对陆老师的感激之情是无法用言语表达的。 感谢*老师、*老师、*老师、*老师等对我的教育培养。他们细心指导我的学习与研究，在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬。 南京晓庄学院*院长、科学教育系*主任

29、、*书记、*老师、*老师等老师为我提供了良好的研究条件，谨向各位同仁表示诚挚的敬意和谢忱。 感谢我的同学*、*、*、*三年来对我学习、生活的关心和帮助。 最后，向我的父亲、母亲、爱人、女儿致谢，感谢他们对我的理解与支持 4） 在论文完成之际，我的心情万分激动。从论文的选题、资料的收集到论文的撰写编排整个过程中，我得到了许多的热情帮助。 我首先要感谢张玉清老师，是他将我领入了信息安全的大门，并对我的研究提出了很多宝贵的意见，使我的研究工作有了目标和方向。在这近二年的时间里，他对我进行了悉心的指导和教育。，使我能够不断地学习提高，而且这些课题的研究成果也成为了本论文的主要素材。同时，张老师渊博的学

30、识、严谨的治学态度也令我十分敬佩，是我以后学习和工作的榜样。还要再次感谢张老师对我的关心和照顾, 在此表示最诚挚的谢意。 5）时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云，聚散真容易。离校日期已日趋临近，毕业论文的的完成也随之进入了尾声。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 说心里话，作为一个本科生，在最初试图以周易为题材进行研究时，还是颇有顾虑的，最大的难题在于自己对周易缺乏足够的了解，面对神秘瑰丽的古代典籍茫茫然不知从何处下手，几经酝酿思索，最后在文学院不少老师的鼓励和帮助下，最终确定对周易的人生哲学进行尝试性的分析研究，

31、由此才展开此论文的撰写工作。 本学位论文是在我的指导老师陈松青老师的亲切关怀与细心指导下完成的。从课题的选择到论文的最终完成，陈老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，陈老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了文学的美妙与乐趣。特别是陈老师借给我的周易美学一书，让我对周易中神奇瑰丽的殿堂多了一份盼望与神往，虽然与论文不甚相关，却为我将来步入学术研究的殿堂打开了不可多得的方便法门。值得一提的是，陈老师宅心仁厚，闲静少言，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷。毕竟“经师易得，人师难求”，希望借

32、此机会向陈老师表示最衷心的感谢！ 此外，本文最终得以顺利完成，也是与文学院其他老师的帮助分不开的，虽然他们没有直接参与我的论文指导，但在开题时也给我提供了不少的意见，提出了一系列可行性的建议，他们是李生龙老师，吴建国老师，王建老师等，在此向他们表示深深的感谢！ 最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我对中国传统文化的浓厚的兴趣，让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。在未来的日子里，我会更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷殷期望！我一定会好好孝敬和报答他们！在本人的写作过程中，XXX老师给予了大力的帮助和指导，在此深表感谢！同时也

33、感谢其他帮助和指导过我的老师和同学。最后要感谢在整个论文写作过程中帮助过我的每一位人。 首先，也是最主要感谢的是我的指导老师，XXX老师。在整个过程中他给了我很大的帮助，在论文题目制定时，他首先肯定了我的题目大方向，但是同时又帮我具体分析使我最后选择失地农民的养老保险这个具体目标，让我在写作时有了具体方向。在论文提纲制定时，我的思路不是很清晰，经过老师的帮忙，让我具体写作时思路顿时清晰。在完成初稿后，老师认真查看了我的文章，指出了我存在的很多问题。在此十分感谢李老师的细心指导，才能让我顺利完成毕业论文。 其次，要感谢帮我查资料的张超同学，后期因为实习的关系，不能随时去学校的图书馆查阅资料，在此

34、也十分感谢他能抽出时间帮我找的一些外文资料。值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师XXX老师。X老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误。他对分时电价领域的专业研究和对该课题深刻的见解，使我受益匪浅。X老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师XXX老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！毕业论文致谢词（英语专业） Acknowledgements My deepest gratitude goes first a

35、nd foremost to Professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. She has walked me through all the stages of the writing of this thesis. Without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. Second, I would like to express

36、my heartfelt gratitude to Professor aaa, who led me into the world of translation. I am also greatly indebted to the professors and teachers at the Department of English: Professor dddd, Professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. Last my thanks would go to my belo

37、ved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. I also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis.在本论文的

38、写作过程中，我的导师*老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。那种感觉就宛如在一场盛大的颁奖晚会上，我在晚会现场看着其他人一个接着一个上台领奖，自己却始终未能被念

39、到名字，经过了很长很长的时间后，终于有位嘉宾高喊我的大名，这时我忘记了先前漫长的无聊的等待时间，欣喜万分地走向舞台，然后迫不及待地开始抒发自己的心情，发表自己的感想。这篇毕业论文的就是我的舞台，以下的言语便是有点成就感后在舞台上发表的发自肺腑的诚挚谢意与感想： 我要感谢，非常感谢我的导师许静老师。她为人随和热情，治学严谨细心。在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写作和措辞等方面她也总会以“专业标准”严格要求你，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，许老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。正是许老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论

40、文才能够得以顺利完成，谢谢许老师。 我要感谢，非常感谢邱铮学长。正在撰写硕士研究生毕业论文的他，在百忙之中抽出时间帮助我搜集文献资料，帮助我理清论文写作思路，对我的论文提出了诸多宝贵的意见和建议。对学长的帮助表示真挚的感谢。 我要感谢，非常感谢xx学弟们。他们为我提供了写作论文的重要工具电脑。甚至为了让我方便进出他们的寝室专门为我配备了一把钥匙，而且四台电脑的密码也都一一告知于我，任我选用，让很非常感动。对学弟们的支持和帮助表示万分感谢。 为期一个学期的毕业论文（设计）已让我非常痛苦的接近尾声了，我的四年大学生涯也即将圈上一个句号。此刻我的心中却有些怅然若失，因为那些熟悉的会计系的恩师们和各位

41、可爱的同学们，我们也即将挥手告别了。四年间，每次走进会计系教研室都会让我感受到一种亲切热情的氛围。无论是学习、工作生活上的问题，恩师们都会悉心给以指导解答，让我倍受感动。也就是在这里，给我的大学生涯设计点上了第一个逗号。我的学术论文创作的开始，也是从这里起步的。从某种意义上可以说，今日的毕业论文（设计）其实从大一时已经开始了。会计系的老师们，给我四年的学习、成长创造了一个良好的环境，引导我充分利用学校的学习资源，去发展、充实自我，而不曾虚度光阴。在此，我真诚的向你们道一声：“谢谢！”。很荣幸在刚进校门时，能遇到像毕重荣老太太这样一位为学生尽心尽责的恩师，如今她已退休在家。在教给我们知识的同时，

42、她也传授了许多为人、做学问的道理，可谓诲人不倦。我的第一篇社会实践论文，悉出自她一手指导。她实事求是的态度，对论文质量的严格要求，和不厌其烦的指导修改，给我留下了深刻地印象。我们的班主任李江涛老师，虽不曾与我们有过课程上的接触，但对整个班级同学学习和生活上无微不至的关怀，让同学们纷纷称道。李老师对我个人学习、工作上的关爱，也让我在大学期间备受其益，着实感动。严汉民老师和李月娥老师分别在院、系担任重要职务，公务冗忙，但对会计学社工作的开展给予了极大的支持。让我愧疚的是，个人能力有限，没能为整个会计系的学生做出太多贡献，在此深表感谢和歉意。李老师是我的会计学入门老师，给我的专业方向打下了良好的基础

43、，她是“师父送上马”的那样一位恩师。而严老师现在又是我毕业论文（设计）的指导老师，在毕业设计期间，没少费心思。从论文创作的选题、结构、内容、甚至是编排格式上都悉心指导，提出了宝贵意见，让我在专业论文创作上又进了一步。就整个大学而言，严老师可以说是“扶我下马”的过程。在他这里，我学到了许多以前没有学到的东西，包括做人方式。至今清晰记得在工作单位实习时，严老师几经周折把电话打到单位，亲切追问毕业论文的进展情况的情形。当着诸位同事的面，我没有把感动、愧疚以及对校园思念的泪水流出来，多么熟悉的声音，让我重温久别校园的亲切。严老师，谢谢你！篇幅所限，不便把各位恩师一一列举出来，表达我的感激之情，在此对会计系其他专业课老师一并表示感谢。他们是：汪长英老师、叶新宇老师、单新萍老师、任芳老师、屈文彬老