初中数学论文：借题发挥融会贯通.doc

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1、借题发挥 融会贯通新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”。数学教学离不开例题习题，而教学中如何选择例题习题，从而挖掘教材潜在的智能价值，充分展示教学功能，并使课本知识有效地浓缩。通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，克服某些思维定势，发散学生思维，培养学生思维的灵活性、全面性和创新性，提高学生解决实际问题和应变的能力。（原题展示）如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：BG=CE【本题来源于浙教版八下课本第147页作业题第3题

2、，考查正方形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。此题潜在价值很大：可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。这样的解题发挥，加深知识间的联系，融会贯通。】变式一：条件不变、增加探究结论（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？【 本题在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不同得到发展，使学生经历获得通过猜想到

3、验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力】变式二：添加条件、探究新结论（4）如上图，AB11，AC7，连结EG，求的值【本题应用勾股定理知识解决，考查辅助线添法以及转化思想。】练习1：（2007甘肃陇南中考题）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想变式三：改变条件，探究原结论把上题的“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？图（2）图（1）【本题条件正方形改为矩形，探索前面两个结论是否成立，若不成立，探索

4、成立的条件。两个矩形长和宽成比例时，AECG，可以运用三角形相似证明，但AECG.由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。】变式四：图形旋转，探究原结论（3）如练习1题条件，正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合时如图（1），上述两个结论是否成立?（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？（5）如图（2），连结BF，求CG:BF:AE的值.【让题设条件与图形“动”起来，形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题。克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等知识证明的本质，熟练地

5、应用知识和技能，准确把握解题方向。第（5）小题连结BD、DF，构造相似三角形，利用相似比求解，渗透转化思想】练习2：（2008年义乌市中考题）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断图1图2图3图

6、4图5图6（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值变式五：根据图形或变式图形求面积1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则CDE的面积等于 。2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（）46 16 553.如图，梯形ABCD中，ABDC， ADCBCD90，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形

7、，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是 .【本题根据几何图形求边长与面积，充分渗透数学结合思想。第1题利用旋转得到ADG和CDE的面积相等，第2题利用全等三角形和勾股定理，第3题根据角度和为直角作辅助线将梯形转化为直角三角形，然后利用相似比将三个正方形的边长转化为直角三角形中，再利用勾股定理得到解答。】练习3：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4 .练习4：如图，分别以RtABC的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角边BC=1，

8、AC=2，则六边形DEFGHI的面积。变式六：图形改变，探究定点定值问题如图，已知C为定线段AB外一动点，分别以AB、BC为边在ABC外作正方形CADF和CBEG，求证：不论点C的位置在AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点。【本题是一道几何定点定值问题，这类题目的题设和结论中既有不变的几何量，也有变化的几何量，注意挖掘那些隐含着的定量及变量，然后转化为一般的几何证明问题，这是分析和解决定点定值问题的着眼点。】变式七：变换条件结论，提高探索能力如图，在ABC中，C90，以AC、BC为边向ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF，过点C作CGAB,垂足为G，且CG的反向延长线与

9、DF交于点I。（1）求证：CI=AB=DF（2）当ACB90时，以上结论成立吗？若不成立，关系又怎样？（3）当ACB为钝角，且分别向ABC内作正方形CBHF和ACDE,问：此时线段CI与AB间的数量关系如何?CI是否平分DF？线段CI与AB是否相等？【本题难度较大，它增加条件，要求解决新的问题，要求正确添加辅助线构造平行四边形与全等三角形，第1小题是常规题，第2、3小题又是探索题，在条件变化时，探究原结论是否成立或有什么新的关系。】变式八：改变条件，挖掘内在联系如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。（1）求证：BE=DC（2）求直线猜想CD

10、与直线BE的夹角【本题把向外作正方形改为正三角形，但本质还是运用三角形的全等知识解决，万变不离其宗，设计目的是通过辨析，揭示问题的实质，训练学生对知识的灵活运用，使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。】变式九：根据结论，探究条件如图，在ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BC（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？当ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？【本题把由两边向外作正三角形改为由三

11、边向外作正三角形，考查平行四边形、矩形、菱形以及三角形等知识，是一道几何综合题。考查学生对知识的综合运用，培养学生分析问题能力和逻辑推理能力，培养学生思维的全面性与创新性，渗透分类与转化的数学思想方法。】EFDABC练习5：（2008年广东佛山市中考题）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1) 当ABAC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.变式十：添加背景材料，与函数相结合如图，在RtABC中，BAC=90ACB=30，BC=2，四边形ABDE和ACFG均为正

12、方形.（1）以点C为坐标原点，BC与x轴重合，画出直角坐标系，并求点E、F、G的坐标.（2）在（1）的图形中，如果点A是一次函数 上的一个动点，点A运动到什么位置时，正方形ABCD和AOEF的面积和最小？最小面积是多少？（3）在（2）的情况下，求经过A、B、O三点的抛物线的解析式。【本题添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，充分运用数形结合和建函数模型求面积和的最小值，考查了解直角三角形，图形与坐标、一次函数、二次函数以及动点运动问题等知识，训练学生对知识的灵活运用，培养思维的准确性，培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力，使数学学习的最终

13、目的是学以致用。】练习6：如图，M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，A，B两点的横坐标是一元二次方程的两个根,以AB为边向x轴下方作正方形.(1)tanABC=?(2)正方形ABDE的边上是否存在点P，使ABPAOC，求此时P点的坐标.(3)若M以1个单位每秒的速度竖直向下匀速移动，当M与正方形ABDE重叠部分的面积等于M面积的时，求移动的时间.感悟与反思：针对课本的习题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式，添加探索结论；改变条件；改变问题形式；图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。通过这样的解题发挥，初中全部内容都进行复习和加深，扩大知识面，使知识达到融会贯通，还能进一步地熟悉基本知识在解决实际问题中的应用，掌握很多的数学思想方法。走出题海战术，真正做到轻负高质。具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。