统计物理学资料课件.ppt

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1、宋明玉,2,热力学,统计物理学,量子统计物理,热力学第一定律热力学第二定律,统计方法宏观量是微观量的统计平均,第二篇 热 学,第二篇 热 学,主讲 宋明玉,3,玻耳兹曼,气体动理论基础,第一章,麦克斯韦,第一章气体动理论,4,1.1气体的状态方程,1.1 平衡态 气体的状态方程,一.热学研究的对象和方法,热现象、热运动规律,1.研究对象:,热运动,与温度有关的物理现象.(温度变化伴随物体体积、压强也变.即物体的状态发生变化.),热现象:,组成物质的原子、分子的无规则地运动(布朗运动),是一种新的运动形式.,(thermal motion),2.热运动的研究方法：,(1).宏观法.,基本的实验规

2、律逻辑推理(运用数学)-称为热力学(thermodynamics)研究物态变化时热、功 转换关系.优点：可靠、普遍。缺点：未揭示微观本质。(2).微观法:物质的微观结构+统计方法统计物理学(statistical physics)优点:揭示热现象的微观本质。缺点:可靠性、普遍性差。,5,二.热力学系统(thermodynamic system)热力学研究的对象，它包含极大量的分子、原子。外界:热力学系统以外的 物体。根据能量与质量传递的不同,在无外界影响下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变。,三、平衡态 状态参量,平衡态:(equilibrium state),热力学系统,6,平衡态,A、

3、B 两体系互不影响各自达到平衡态,A、B 两体系达到共同的热平衡状态,(1)平衡态是一种热动平衡；处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。,7,粒子数是宏观量,例:,箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。(2)平衡态是一种理想概念。状态参量:描述热力学系统特征 的物理量.体积V(几何参量)分子到达的空间,即容器 的容积.单位:m3.压强P(力学参量):,状态参量,8,温度T:表征物体的冷热程度.(用温度计测量)热力学第零定律(热平衡状态),分子碰撞器壁的力.单位:,如果系统A和系统B分别

4、与系统C的同一状态处于热平衡,那么,当A与B接触时它们也必是处于热平衡.,热力学第零定律,9,(T)单位:开尔文(k)二者的关系:00C=273.16 K,即:处于热平衡的多个系统必具有相同的温度,或具有相同温度的多个系统放在一起,它们也必处于热平衡.处在相互热平衡状态的系统拥有某一共同的宏观物理性质温度.温标:温度的数值表示方法。,温度,10,热力学系统的两种描述方法：,宏观量 从整体上描述系统的状态.一般可以直接测量。如 压强P、体积V、温度 T 等。2.微观量描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量 等。微观量与宏观量有一定 的内在联系。热力学第三定律热力学零度是

5、不可能达到的!即:,11,热力学第三定律,六、物态方程 理想气体,当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：,-物态方程(状态方程),1.物态方程,各种不同的压强P下都有PV=常量的气体.或常温,常压或P不太大,T不太低.),12,物态方程,理想气体遵循:,设一定量气体体积为V,分子总数为N,质量为M,摩尔质量为Mmol,状态变化时,有,=RT,说明:,阿伏加德罗常数,R-普适气体常量,盖吕萨克定律,查理定律,玻意尔定律,13,理想气体,玻尔兹曼常数 k:设每个分子质量为m,分子总数为N,分子数密度 n=N/V,14,玻尔兹曼常数,例1氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入

6、其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。,解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为:,使用时的温度为T,15,例1,设可供x天使用,原有,每天用量,剩余,分别对它们列出状态方程，有,，,=,16,17,1-2 理想气体的压强公式,一、理想气体的分子模型1、分子可以看作质点.2、除碰撞外，分子之间的 作用可忽略不计。3、分子可看成刚性球,分子 间的碰撞是完全弹性的。理想气体的分子模型:弹性的自由运动的质点。,二.理想气体的分子性质(统计性假

7、设)平衡态下：1、平均而言，沿各个方向 运动的分子数相同。,1-2 理想气体的压强公式,2、气体的性质与方向无关，即在各个方向上速率的 各种平均值相等。,，,3、各部分的分子数密度相 同(不因碰撞而丢失具有 某一速度的分子),三理想气体的压强公式,气体对器壁的压强应该是大量分子对容器不断碰撞的统计平均结果。一定质量的处于平衡态的某种理想气体(V,N,m),18,撞后返回,动量改变量为,理想气体的分子模型分子性质,把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小,方向都差不多。,设第i 组分子的速度为,共有Ni个,其分子数密度为,考虑一个分子A，以速度vi 奔向一面元，与面元碰,19,理想气

8、体的压强公式推导,设s 法向为 x 轴,沿x方向平移的距离为vixt,在t内,体积为vixts 的柱体内所有分子都与s 相碰,又速度为 的分子中，,各占一半,其动量改变量：,则与面元s相碰的速度为 的分子数为,20,速度不同的各组分子与面元相碰后总的动量改变量为,作用在面元上的作用力,压强,由,(统计表达式),21,分子的平均平动动能(说明P具有统计意义),二、理想气体的温度公式,令=n m-分子质量密度,则:,分子的平均平动动能,22,理想气体的温度公式,温度是气体分子平均平动动能大小的量度。,解：,23,例题,24,1-3 温度的统计解释,1.分子的平均平动动能,1-3 温度的统计解释,3

9、.温度的统计意义,(1)温度是分子热运动的集体 表现.(2)温度是分子平均平动动能 的一种量度.,(3)对单个分子不谈温度.,说明,T很低时,气体变为液态,不适用.,由 得:T=0时,即:T=0 永远达不到!,(热力学第三定律),4.气体分子的方均根速率,大量分子速率的平方平均值的平方根,25,讨论,温度的统计意义,26,说明,解:热气球上升时,内、外 压强相等,设,分别表示标准状态下、气球外、气球内部空气的密度、温度及压强,27,例题,即对同种气体有:,又由力的平衡条件,28,解得:,代入数据,29,1-4 能量均分定理 理想气体的内能,1-4 能量均分定理,确定刚体空间位置的独立坐标数有六

10、个.六个自由度;,一.自由度,1.定义,确定物体空间位置的独立坐标数.,(1)质点,在线上运动,一个自由度;在面上运动,两个自由度;在空间运动,三个自由度.(2)刚体定质心位置,三个自由度;定转轴方位,两个自由度;定刚体绕转轴转过角度,一个自由度.,2.分子的自由度i(分子坐标自由度):决定分子在空间位置所需的独立坐标数目.平动自由度t转动自由度r振动自由度s,i=t+r+s,高温体现平动,转动和振动;,常温体现平动转动,低温只体现平动,s=0;,r=0.,s=0,1.定义:分子能量中独立的速度和坐标的平方项数目.,二.分子能量自由度,30,自由度,2.单原子分子,(模型:质点.),运动能量:

11、平动能,每一独立的速度平方项对应的平均平动动能都相等为,自由度 i=3,单原子分子,31,分子能量自由度,平动自由度t=3,3.双原子分子,刚性双原子分子:(哑铃模型),除质心的平动动能外(三个平方项)还有两个转动动能项,自由度i=5.,32,平动自由度t=3转动自由度r=2,模型:质点弹簧型,除三个平动,两个转动外,还有一维谐振动.,振动能量为,非刚性双原子分子,故,33,自由度i=7,平动自由度 t=3,转动自由度 r=3,4.三(多)原子分子(刚性分子),34,二.能量均分定理,玻耳兹曼假设:,平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量均分定理,单原子分子 i=3

12、,刚性双原子分子,非刚性双原子分子,能量按自由度均分定理,如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为,35,刚性多原子分子,(本课程只考虑单原子分子和刚性双原子分子.),三.理想气体的内能,内能:气体分子的能量 以及分子与分子之间的势能构成气体内部的总能量.称为气体的内能.,理想气体的内能:分子各种运动能量的总和(不计分子间的相互作用).1mol理想气体的内能:,36,Mkg某种理想气体的内能,温度改变,内能改变量为,理想气体的内能,例1.一氧气瓶的容积为V,充入氧气后压强为p1,用了一段时间后压强降为p2,则瓶中所剩氧气的内能与用前氧气的内能比为多少.解:设用前有1mol氧气,用后有2mo

13、l氧气,37,例2.容积为20.0L的瓶子以速率 u=200m/s匀速运动,例1,瓶中充有质量为100g的氦气.设瓶子突然停止,且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能.瓶子与外界没有热量交换,求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？,解:定向运动动能,38,气体内能增量,(i=3),由能量守恒,(1),=6.42K,(2),=6.67104 Pa,39,(3),(4),例3 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。,解:在

14、空气中,N2质量,摩尔数,40,O2质量,例3,摩尔数,Ar质量,摩尔数,1mol空气在标态下的内能:,41,42,1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律,统计规律有以下特点:（1）只对大量偶然的事件 才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).统计平均值对某一物理量M 进行测量,附:统计规律的基本概念统计规律性:,(statistical regularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例:扔硬币,1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律,算术平均值为,出现Mi的几率(概率),43,统计规律的基本概念,“涨落”现象,布朗运动是可观测的涨落现象之一。,处在平衡态的系统的宏

15、观量(如压强P)不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样,分子数越多，涨落就越小。,归一化条件,测量值与统计值之间总有偏离。,M的统计平均值:一切可能状态的几率Wi与相应的M i值乘积的总和。,44,分子速率分布,分子速率分布(理想气体某确定温度的平衡态时),一.分子运动的图景,1.单个分子速度(v)的大小 方向瞬息万变;2.大量分子某时刻速度(v)的分布成为必然;3.单个分子速度(v)的大小 长时间分布也成为必然.,这必然是:,(1)在某速率区间的分子数占 总分子数的比值必然;,(2)分子速率取某速率区间值 的概率必然.,(3)分子各向运动的概率相等.,45,一.分子运

16、动的图景,二.麦克斯韦速率分布律(统计方法),讨论某速率区间v v+v 的分子数占总分子数的比值,或分子速率取某速率区间v v+v值的概率,得出分子数按速率分布的分布情况.v越小,速率分布情况越精确.,/N,(v),1.取速率区间v,46,当v0,即v 成为dv 时,得出的分布图就和实际的分布图一致.,二.麦克斯韦速率分布律,2.麦氏速率分布律f(v),dN/N,dv,比例系数是v的函数.,dN/N=f(v)dv,f(v)=dN/(Ndv),f(v)表示在速率v 附近单位速率区间的分子数占总分子数的比值.或分子速率取v 附近单位速率区间的概率-麦克斯韦速率分布律.,3.分子速率v1 v2的分子

17、数,47,dN=Nf(v)dv,N=dN,=N f(v)dv,4.分子速率,取v1 v2的概率,P=f(v)dv,f(v)dv=1,分子速率为0 的分子数占总分子数的比值为1,分子速率取0 的概率为1.,5.归一化条件,曲线下的总面积为1.,三.麦氏分布的特点:,测分子速率分布的实验,48,三.麦氏分布的特点:,1.具有速率很小和很大的 分子数少.f(v)曲线有一极大值vp-最概然速率(最可几速率),2.f(v)与T有关.当T,曲线最 大值右移.曲线变平坦.即:T2 T1时,vp2 vp1,49,四、分子速率的三个统计值,3.f(v)与分子质量有关,当分 子质量增加时,曲线最大 值左移.,即

18、m2 m1时,vp2 vp1,50,1.最概然速率,2.算术平均速率,四、分子速率的三个统计值最概然速率(最可几速率)vp在一定温度下,vp附近单位速间隔内的相对分子数最多.即vp对应曲线 f(v)的极大值,51,2.算术平均速率,3.方均根速率,52,都与 成正比，与（或)成反比,3.方均根速率,例1.一容器被隔板分成相等两半,一半装氦,温度为250K,另一半装氧,温度为310K,二者压强相等.求去掉隔板两种气体混合后的温度.,解:混合前,因 p1=p2,V1=V2,由 pV=RT 得：1T1=2T2E0=31RT1/2+52RT2/2=41RT1,53,混合后,E=31RT/2+52RT/

19、2,=31RT/2+5(1T1/T2)RT/2,=(1RT/2)(3+5T1/T2),=E0,=41RT1,T=8T1/(3+5T1/T2),=284K,例1.,1T1=2T2,54,(4)速率介于0v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图,例题2,由归一化条件,55,(2)最可几速率,例题2,平均速率,方均速率,56,方均根速率为,(3)速率介于0v0/3之间的 分子数,(4)速率介于0v0/3之间的气体分子平均速率为,57,讨论,速率介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算,讨论,58,对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为,59,随堂小议,请在放

20、映状态下点击你认为是对的答案,设某温度下氢与氧的分布函数,曲线如图所示,则代表氧的分布函数曲线为,（1）曲线,（2）曲线,60,1-6玻耳兹曼分布律,1-6 玻耳兹曼分布律,一、麦克斯韦速度分布律,由麦克斯韦速率分布律,分子的速度分量限制在,内的分子数占总分子数的百分比,速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）,麦克斯韦速度分布函数,-与粒子的能量有关,61,一麦克斯韦速度分布函数,二、玻尔兹曼分布律,若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中,气体分子在空间位置不再呈均匀分布,气体分子分布规律如何,玻耳兹曼进行了推广:,在温度为T的平衡态下,任何系统

21、的微观粒子按状态(速率,坐标)的分布与粒子的能量E有关.,E=Ek+Ep,即：位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz,粒子速率在区间:vxvx+dvx，vy vy+dvy，vz vz+dvz,62,二玻尔兹曼分布律,粒子数目为:,玻氏分布律,(对坐标积分就得麦克斯韦速度分布率),三.粒子数密度分布,若上式对速度积分,则在体积元dV中的粒子数为:,随着能量升高,粒子出现的概率按指数率减小。,等宽度区间,能量越低的粒子出现的概率越大；,f(x,y,z,vx,vy,vz)=,63,三.粒子数密度分布,重力场中:,由此可得大气压公式.,单位体积内的粒子数为,n0是Ep=0处的粒子数密度,

22、Ep=mgh,64,利用,p=nkT,四.粒子在重力场中按高度分布,取对数,上式可算出,在常温下,地表面每升高10米,大气压约下降133Pa.,变形为,65,解：,例题,在室温下，氢原子几乎都处于基态。,66,1-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程,气体分子平均速率,氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.,矛盾?,气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。,1-7 分子的平均碰撞次数平均自由程,克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走,的路程非常曲折。,一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程-,6

23、7,气体分子自由程,(线度 10-8m),一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫,平均碰撞频率,68,运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞，该圆柱体的面积 就叫碰撞截面=d2,69,对空气分子d 3.5 10-10 m,气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。,2.平均自由程,70,例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。,解：,已知,空气摩尔质量为2910-3kg/mol,空气分子在标准状态下的平均速率,例,71,气体的迁移现象,气体的迁移现象,最简单的非平衡态问题

24、：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向,系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。,非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。,（输运过程）,72,(1)内摩擦,(粘滞),物理性质均匀的平衡态过渡过程-输运过程。,（介绍三种输运过程的基本规律）,现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来.,解释:B盘转动因摩擦,(1)内摩擦,73,定义,宏观规律,速度梯度,gradu=du/dz,内摩擦力,此力当du/dz0,时与速度方向相反,有,df=,(du/dz),dS,的升高而明显降低,内摩擦(粘滞)系数,与材料和温

25、度有关,随温度,内摩擦系数,74,单位：Ns/m2=Pas,对于气体,设各处温度相同,相邻流体因热运动而交换定向动量.,微观解释,z+dz 处分子移向z 处带走,dt时间内通过界面dS交换,的分子数为,定向动量,z处分子定向,动量增量为,等效宏观内摩擦力,75,df=dp/dt,dz是宏观无限小.,粘滞系数,(2)热传导,dQ/dt=K(dT/dz)dS,温度梯度,gradT=dT/dz,(2)热传导,76,负号表示热传导与温度梯度的方向相反,热传导系数,K:,（与材料和状态有关）,微观解释,分子热运动使物体内能迁移.,cV为定容比热容,对于理想气体,热,传导系数为,(3)扩散,物体内各处密度

26、不同,dM/dt=D(d/dz)dS,质量从,高密度处向低密度处迁移,单,位时间通过界面dS迁移质量,(3)扩散,77,密度梯度,grad=d/dz,负号表示质量迁移与密度梯度的方向相反,扩散系数D：,(与材料和状态有关),微观解释,分子热运动使物体,内部交换分子数,从而产生质,量迁移.,对于气体,设各处温,度相同.设z,z+dz处分子数密度分别为n,n+dn.dt内z+dz处,分子通过界面dS 向z 处迁移,处分子通过界面dS向z+dz处,扩散系数D,78,z+dz处分子数的增量为,单位时间z+dz处通过界面dS迁移来的气体质量为,dM/dt=,m,（dN/dt）,所以理想气体的扩散系数为,79,麦氏速率分布实验,实验动态示意,麦克斯韦速率分布实验,恒温T,同分子量m,运动速率全同吗?,剥离,重复多次采样后,80,测定分子速率分布的实验装置,