线性代数-ppt课件.pptx
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1、在第1章中,介绍了用克拉默法则求解线性方程组,但是克拉默法则的应用是有条件的,它要求方程的个数等于未知量的个数,且系数行列式不等于零.然而一般线性方程组往往不能同时满足这两个条件.在本章中我们将对一般的线性方程组进行讨论,给出求解一般线性方程组的一种重要方法矩阵的初等变换法。,消元法是一种求解线性方程组的方法,它不受方程个数和未知量个数的限制.现在我们运用消元法来求解方程组,并总结出线性方程组消元法的结构特点,这对于引入矩阵的初等变换具有重要的意义.下面通过一个例子来加以分析.,引例求解线性方程组,解 利用消元法化简方程组如下:,我们发现在步骤(1)(5)的消元法化简过程中,是在对整个方程组不
2、断地实施如下三种变换:(i)交换两个方程的位置;(ii)用一个不等于零的数k乘以某一个方程;(iii)用一个非零数乘以某一个方程后加到另一个方程.由于这三种变换都是可逆的,因此变换前的方程和变换后的方程是同解的,即方程组(1)(5)是同解方程组,故方程组(5)的解就是原方程组(1)的解.把以上三种变换称为线性方程的初等变换.,在线性方程组(5)中,利用从第4个方程往第1个方程“回代”的方法,可得:,容易看出,方程组(6)中的x3 无论取何值,方程组(6)表示的解都满足方程组(5),从而满足方程组(4)、方程组(3)、方程组(2)、方程组(1),即x3 可以自由取值,称x3 是一个自由未知量.,
3、若令x3=c(其中c为任意常数),则原方程组的解可记作,通常把方程组(6)表示的解的形式称为方程组的一般解,形如方程组(7)的解的形式称为方程组的通解.,定义1 设含有n 个未知数x1,x2,xn 和m 个线性方程的线性方程组为,其中aij 表示第i 个方程未知量xj 的系数,bi 为常数项,aij,bi(i=1,2,m;j=1,2,n)均为已知数.m 为方程的个数,它可以小于n,也可以等于或大于n.若b1,b2,bm全为零,则称线性方程组(8)为齐次线性方程组;否则,称方程组(8)为非齐次线性方程组.若n 个数k1,k2,kn 使得当x1=k1,x2=k2,xn=kn 时,线性方程组(8)中
4、的每个方程都变成恒等式,则称有序数组(k1,k2,kn)是方程组(8)的一个解.,若k1=k2=kn=0,称(k1,k2,kn)是一个零解;否则,称之为非零解.方程组的所有解构成它的解集合,如果两个方程组的解集合相等,则称它们是 同解的.解方程组就是求出它的全部解或者判断它无解.容易看出,当 m=n 且系数行列式不等于零时,我们可以用克拉默法则求得方程组(8)的唯一解.当 mn 或系数行列式等于零时,克拉默法则不再适用,此时利用矩阵的初等变换求解线性方程组.事实上,不管 m 与n 是否相等,我们都可以通过矩阵的初等变换获得线性方程组(8)的解的情况.,2.1.1节利用消元法解线性方程组的过程中
5、,线性方程组的初等变换只是对方程组的系数和常数进行运算,未知数并未参与运算.因此线性方程组(8)有没有解以及有什么样的解,完全取决于其系数和常数项,所以在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.,线性方程组(8)的系数可以排成下表,线性方程组(8)的系数和常数项也可以排成一个表,这样的表,对于研究线性方程组具有重要意义,为此我们给出以下定义.,定义2由 mn 个数cij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的 m 行n 列的数表,称为 m 行n 列的矩阵,简称 mn 矩阵,记作,数cij(i=1,2,m;j=1,2,n)称为矩阵(11)的元素,简称元.cij 位于矩阵(11)的第i行第j
6、 列,称为矩阵(11)的第(i,j)元.以cij 为(i,j)元的矩阵可简记作(cij)或者(cij)mn,矩阵常用大写字母A,B,C,表示,mn 矩阵也记作Amn或者Amn.,我们把(9)叫作线性方程组(8)的系数矩阵,把(10)叫作线性方程组(8)的增广矩阵.习惯上系数矩阵用A 表示,增广矩阵用 A 表示,即若记,注意:增广矩阵可完全确定线性方程组(8),且增广矩阵的一行与线性方程组的一个方程对应.,b是由线性方程组(8)中 m 个方程的常数项按照原方程中的位置排成一列得到的,称之为线性方程组(8)的常数项矩阵,它是一个 m 行1列的矩阵.此矩阵因只有一列元素,有时也称为 m1的列向量.,
7、排成一列构成的n1矩阵,它是一个n1的列向量.通常把x 叫作线性方程组(8)的解向量.,引例中,若记,则方程组的初等变换完全可以转化为对矩阵A 的变换,把方程组的上述三种同解变换转移到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换.,定义3下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵的两行(对调i行和j 行,记作rirj);(2)用一个不等于零的数k乘以矩阵的某一行(第i行乘k,记作kri);(3)用一个非零数乘以矩阵的某一行加到另一行对应的元素上去(数k 乘以第i 行加到第j 行,记作rj+kri).,把以上三种变换的行改为列,称为矩阵的初等列变换,所用记号分别为cicj;kci;cj+kci.矩阵的
8、初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.显然,矩阵的三种初等变换也是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换.对比引例中线性方程组的求解,我们发现,对线性方程组实施一次初等变换,相当于对其增广矩阵实施一次初等行变换.从而,可以利用对增广矩阵的初等行变换法来求解线性方程组.下面我们用对增广矩阵的初等行变换法化简线性方程组(1).,在上述初等行变换的过程中,矩阵B1B4 对应线性方程组(2)(5).方程组(6)的“回代”求解过程也可以用对矩阵的初等变换来完成.,B5 对应的线性方程组为,取x3 为自由未知量,并令x3=c,则原方程组的解可记作,容易看出,由于省略了未知量,增广矩阵的初等行变换法解
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