等比数列知识点总结与典型例题+答案.doc
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1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:,称为公比2、通项公式:,首项:;公比:推广:3、等比中项:(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(2)数列是等比数列4、等比数列的前项和公式:(1)当时,(2)当时,(为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的,都有为等比数列(2)等比中项:为等比数列(3)通项公式:为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若或为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何,在等比数列中,有。(3)若,则。特别的,当时,得 注:等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义递推公式;通项公
2、式()中项()()前项和重要性质经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,, ,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.总结升华: 列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【变式2】为等比数列,0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列,若,求。类型二:等比数列的前n项和公式例2
3、设等比数列的前n项和为,若S36=2S9,求数列的公比q.举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知:为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【变式3】在等比数列中,求和。类型三:等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求. 举一反三:【变式1】正项等比数列中,若a1a100=100; 则12+100.【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然
4、成等比数列。举一反三:【变式1】等比数列中,公比2, S4=1,则S8.【变式2】已知等比数列的前n项和为, 且S10=10, S20=40,求:S30=?【变式3】等比数列的项都是正数,若80, S26560,前n项中最大的一项为54,求n.【变式4】等比数列中,若a12=324, a34=36, 则a56.【变式5】等比数列中,若a123=7456=56, 求a789的值。类型五:等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数
5、,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为, a, ;若三数成等比数列,可设此三数为,x, 。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二
6、个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6已知数列的前n项和满足:5(1)(n),求出数列的通项公式,并判断是何种数列?思路点拨:由数列的前n项和可求数列的通项公式,通过通项公式判断类型.举一反三:【变式1】已知数列,其中23n,且数列1为等比数列,求常数p。【答案】2或3;【证明】设数列、的公比分别为p, q,且pq【变式3】判断正误:(1)为等比数列a73a4;(2)若b2,则a,b,c为等比数列;(3),均为等比数列,则为等比数列;(4)是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列;(5)若a,b,c成等比,则,成等差.类型七:与的关系例7已知正项数列,其前n项和满
7、足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列的通项.总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三:【变式】命题1:若数列的前n项和(a1),则数列是等比数列;命题2:若数列的前n项和,则数列既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,, ,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.解析:法一:设此数列公比为,则由(2)得:.(3) .由(1)得: , .(4)(3)(4)得:, ,解得或当时
8、,;当时,.法二:,又, 、为方程的两实数根, 或 , 或.总结升华: 列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【答案】96法一:设公比为q,则7681q8,q8=256,2,a6=96;法二:a521a9a5=482,a6=96。【变式2】为等比数列,0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;,又0,a45=4。【变式3】已知等比数列,若,求。【答案】或;法一:,从而解之得,或,当时,
9、;当时,。故或。法二:由等比数列的定义知,代入已知得将代入(1)得,解得或由(2)得或 ,以下同方法一。类型二:等比数列的前n项和公式例2设等比数列的前n项和为,若S36=2S9,求数列的公比q.解析:若1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S362S9,显然1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3(2q63-1)=0,由q0,得2q63-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】;,。【变式2】已知:为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【答案】;,则a1=1或a1=9.【变式3】在等
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