计算机辅助数学问题求解课件.ppt

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1、2023/3/27,1,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,第 4 章线性控制系统的计算机辅助分析,薛定宇著控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用第二版，清华大学出版社，2006CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学,2023/3/27,2,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,系统的分析方法,充分利用计算机对线性系统进行分析更新系统分析的观念求解传统方法难以求解的问题离散系统稳定性如何分析？Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补？高阶系统的根轨迹如何绘制？多变量系统如何进行频域分析？,2023/

2、3/27,3,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,本章主要内容,线性系统定性分析线性系统时域响应解析解法线性系统的数字仿真分析根轨迹分析线性系统频域分析,2023/3/27,4,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1 线性系统性质分析,主要内容线性系统稳定性分析线性反馈系统内部稳定性分析线性系统的相似变换线性系统可控性分析线性系统可观测性分析Kalman分解系统状态方程的标准型系统的范数测度及求解,2023/3/27,5,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.1 线性系统的稳定性分析,给定线性系统模型

3、，如何分析稳定性？由控制理论可知，用Routh 表格可以判定该系统稳定性。Edward John Routh(1831-1907)历史局限性,2023/3/27,6,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,状态方程系统的稳定性,连续线性状态方程解析阶稳定性：矩阵的特征根均有负实部,2023/3/27,7,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,离散系统的稳定性,离散系统状态方程离散系统时域响应解析阶稳定性判定：所有特征根均在单位圆内,2023/3/27,8,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Routh 判据的历史局限

4、性,Routh判据提出时，没有求多项式根的方法现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的根轻而易举，无需间接方法Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息得不出来，如系统是否振荡离散系统无法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判据，更复杂稳定性分析方法不统一,2023/3/27,9,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,基于 MATLAB 的稳定性判定方法,直接判定状态方程模型由 可以求出所有特征根离散系统：传递函数模型：完全同样方法图解判定法连续系统：离散系统：，同时画出单位圆,2023/3/27,10,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院

5、,例4-1 高阶系统稳定性判定直接分析方法零极点模型,2023/3/27,11,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-2 高阶离散单位负反馈系统模型MATLAB 求解,2023/3/27,12,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.2 线性反馈系统的内部稳定性,输入、输出稳定是不够的，因为若内部信号可能过大，对系统作硬件破坏应该引入内部稳定性概念，保证内部信号也是稳定的。,2023/3/27,13,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统传递函数矩阵

6、 其中逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐内部稳定性定理,2023/3/27,14,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,内部稳定性定理,闭环系统内部稳定的充要条件为 没有不稳定零点 没有不稳定零极点对消第一个条件等效于输入输出稳定性判定第2条件即可可以编写MATLAB函数判定内部稳定性,2023/3/27,15,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,判定的 MATLAB 函数,2023/3/27,16,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.3 线性系统的线性相似变换,系统的状态方程表示称为系统实现不同状态选

7、择下，状态方程不惟一相似变换非奇异矩阵状态变换新状态方程模型,2023/3/27,17,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,状态变换公式MATLAB 求解方法,2023/3/27,18,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-3 已知系统和转换矩阵MATLAB 求解,2023/3/27,19,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,变换结果可见，相似变换能改变系统的结构引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换成其他的形式,2023/3/27,20,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1

8、.4 线性系统的可控性分析,可控性定义 系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外部输出信号控制的性质，,2023/3/27,21,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,线性系统的可控性判定,可控性判定矩阵 基于 MATLAB 的判定方法构造可控性判定矩阵,2023/3/27,22,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-4 离散状态方程的可控性MATLAB 求解,2023/3/27,23,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,判定矩阵判定矩阵构造方法这样的判定方法同样适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量

9、模型,2023/3/27,24,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,由 Gram 矩阵判定可控性,引入可控 Gram 矩阵该矩阵满足 Lyapunov 方程MATLAB 求解矩阵构造,2023/3/27,25,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-5 求 Gram 矩阵MATLAB 命令Gram 矩阵,2023/3/27,26,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,可控性阶梯分解,对于不完全可控的系统阶梯分解阶梯标准型MATLAB 函数调用若原系统状态方程完全可控，则不必分解,2023/3/27,27,控制系

10、统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-6 不完全可控系统,2023/3/27,28,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.5 线性系统的可观测性分析,可观测性定义 系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质,2023/3/27,29,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,可观测性判定,判定矩阵等同于 系统可控性判定Gram 矩阵MATLAB 求解,2023/3/27,30,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Gram 矩阵满足 Lyapunov 方程对

11、偶问题,2023/3/27,31,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.6 Kalman 规范分解,Kalman 规范分解,2023/3/27,32,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,子空间示意图,2023/3/27,33,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.6 系统状态方程标准型的MATLAB 求解,常用标准型单变量系统的标准型MATLAB 默认的标准型可控标准型实现可观测标准型实现和 Jordan 标准型实现多变量系统 Leunberge 标准型侧重点：如何用 MATLAB 直接获取标准型,

12、2023/3/27,34,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,单变量系统的标准型,可控标准型可观测标准型,2023/3/27,35,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,可控可观测标准型转换,2023/3/27,36,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,可控标准型和可观测标准型，对偶关系,2023/3/27,37,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Jordan 标准型,MATLAB 变换,2023/3/27,38,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,多变量

13、系统的 Leunberge 标准型,由可控性判定矩阵构造矩阵,2023/3/27,39,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,得出 Leunberge 变换矩阵编写 leunberge.m 函数,2023/3/27,40,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 函数清单,2023/3/27,41,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,2023/3/27,42,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,标准型的变换方法总结,可控标准型可观测标准型Jordan 标准型Leunberge

14、标准型,2023/3/27,43,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-7求解可观测标准型标准型,2023/3/27,44,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-8 已知模型,2023/3/27,45,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.1.7 系统的范数测度及求解,系统也有范数,2023/3/27,46,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,离散系统的范数定义范数的 MATLAB 求解,2023/3/27,47,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学

15、院,例4-9 已知离散系统模型,2023/3/27,48,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.2 线性系统时域响应解析解法,给线性系统一个激励信号，输出是什么？有两大类方法解析解方法求解微分方程、差分方程解析解数值解方法主要内容基于状态方程的解析解方法基于传递函数部分方式展开的解析解方法二阶系统的解析解方法,2023/3/27,49,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.2.1 基于状态方程的解析解方法,状态方程模型解析解求解难点,2023/3/27,50,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,状态增广方法

16、,消除B 矩阵，变成自治系统 增广状态方程自治系统 可以直接求解析解,2023/3/27,51,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,一般输入信号的系统增广,一般输入信号模型引入增广状态变量,2023/3/27,52,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,增广状态方程模型其中解析解,2023/3/27,53,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 实现函数,2023/3/27,54,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,调用格式信号描述,2023/3/27,55,控制系统计算机辅

17、助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-10 连续系统模型初值输入信号求解析解,2023/3/27,56,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,系统增广增广模型,2023/3/27,57,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,解析解求解解析解求解结果稳定性,2023/3/27,58,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.2.2 基于部分分式展开方法求解,连续系统的解析解法 无重根时部分方式展开,2023/3/27,59,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,由 Laplac

18、e 反变换求解析解有重根时相应项的解析解为,2023/3/27,60,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,部分分式的 MATLAB 求解例4-11 输入信号为阶跃信号输出信号计算,2023/3/27,61,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 求解解析解解析解精确值,2023/3/27,62,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-12 带有复数极点的系统阶跃响应解析解解析解,2023/3/27,63,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,解析解的进一步化简,基于 Eul

19、er 公式的化简其中新 MATLAB 函数,2023/3/27,64,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,新 MATLAB 函数清单,2023/3/27,65,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-13 仍考虑MATLAB 求解解析解,2023/3/27,66,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,基于 Laplace 变换的求解,参附录 A步骤：定义符号变量描述原函数表达式调用 laplace()函数或 ilaplace()函数求解结果化简，如 simple()函数求解举例,2023/3/27,67,控制系

20、统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例1MATLAB 求解解析解,2023/3/27,68,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例2MATLAB 求解解析解,2023/3/27,69,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,离散系统的解析解法,Z 变换无重根时部分分式展开解析解,2023/3/27,70,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,考虑采样周期例4-14,2023/3/27,71,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,输出信号解析解Z变换求解步骤定义符号变量调

21、用 iztrans()函数求解化简,2023/3/27,72,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,利用符号运算工具箱求解求解结果方法更规范，结果更简单,2023/3/27,73,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,有重根问题的解析解,部分分式表达式的Z反变换例4-15部分分式展开,2023/3/27,74,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,部分分式展开解析解,2023/3/27,75,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,符号运算求解解析解更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z变换的

22、符号运算方法求解,2023/3/27,76,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,时间延迟系统的解析解法,例4-16,2023/3/27,77,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,无延迟解析解有延迟解析解,2023/3/27,78,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.2.3 二阶系统的阶跃响应及 阶跃响应指标,二阶系统模型闭环模型记 则,2023/3/27,79,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,阶跃响应的解析解,无阻尼振荡欠阻尼振荡临界阻尼振荡过阻尼振荡,2023/3/27,8

23、0,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,二阶系统阶跃响应曲线,2023/3/27,81,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,利用图形绘制功能，从新角度研究同样的问题,三维曲面绘制,2023/3/27,82,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,阶跃响应指标,超调量稳态值上升时间调节时间好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时间短等性能,2023/3/27,83,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.3 线性系统的数字仿真分析,线性系

24、统的解析解可以求解的条件4 阶以上的系统需要求解 4 阶以上的多项式方程，根据 Abel 定理，无解析解。解析解和数值解结合实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线主要内容线性系统的阶跃响应与脉冲响应任意输入下系统的响应降阶模型的时域分析及比较,2023/3/27,84,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.3.1 线性系统的阶跃响应与脉冲响应,阶跃响应曲线绘制函数多系统曲线绘制,2023/3/27,85,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-17 延迟系统MATLAB 语句利用 MATLAB 提供的功能，可以从曲线上得到更多的信息，如

25、超调量等,2023/3/27,86,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 求解解析解解析解数值解精度比较,2023/3/27,87,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-18 离散化采样周期求解得出的曲线可以比较,2023/3/27,88,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,ZOH 变换Tustin 变换，不同采样周期,2023/3/27,89,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-19 多变量系统，阶跃响应 MATLAB 求解语句,2023/3/27,90,控制

26、系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,系统藕合的概念静态前置补偿矩阵不能直接乘法运算Pade 近似,2023/3/27,91,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,补偿后系统的模型解藕效果还可以使得多变量系统能直接设计，在设计前必须解藕。后面将介绍解藕的频域方法,2023/3/27,92,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,系统的脉冲响应曲线,MATLAB 下的 impulse()函数与 step()函数调用结构完全一致MATLAB 求解可以容易地研究系统的脉冲响应曲线,2023/3/27,93,控制系统计算机辅助设计

27、-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.3.2 任意输入下系统的响应,可以利用 step()和 impulse()函数求解输出信号计算如 R(s)已知，则可以直接求解例4-20 斜坡响应,2023/3/27,94,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 求解其他输入的响应可以由 lsim()函数求取,2023/3/27,95,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-21 多变量系统输入信号MATLAB 求解,2023/3/27,96,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,多变量系统的时域响应可以

28、这样求解比较容易理解曲线含义,2023/3/27,97,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.3.3 降阶模型的时域分析及比较,前面介绍了降阶方法，但未比较效果例4-22 MATLAB 求解,2023/3/27,98,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-23 非最小相位系统MATLAB 求解降阶模型,2023/3/27,99,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.4 根轨迹分析,单位负反馈 闭环系统特征方程 对 K 的不同取值，则可能绘制出每个特征 根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。根轨迹用开

29、环信息研究闭环特性,2023/3/27,100,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 求解该函数可以用于单变量不含有时间延迟的连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨迹绘制。,2023/3/27,101,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-24 开环系统MATLAB 求解如何求解临界增益？闭环系统稳定性如何变化,2023/3/27,102,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-25 根轨迹求解求出阻尼在 处的增益临界增益处阶跃响应,2023/3/27,103

30、,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-26 离散系统根轨迹根轨迹绘制,2023/3/27,104,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-27 离散系统模型MATLAB 求解 临界增益求取,2023/3/27,105,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,带延迟的离散系统根轨迹,假设延迟为 6 步，则可以求临界增益延迟系统临界增益减小,2023/3/27,106,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-28 延迟状态方程无延迟系统根轨迹,2023/3/27,107,控制系统计

31、算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,延迟系统用 Pade 近似处理例4-29 正反馈系统MATLAB 求解,2023/3/27,108,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5 线性系统频域分析,频域分析 Nyquist 1932 Bode，Nichols 提出的新图形方法主要内容单变量系统的频域分析利用频率特性分析系统的稳定性系统的幅值裕度和相位裕度多变量系统的频域分析,2023/3/27,109,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5.1 单变量系统的频域分析,三种表示方法 实部与虚部关系曲线即为 Nyquis

32、t 图 Nyquist 图的缺陷：无对应频率信息 横轴对数坐标 rad/s，纵轴分贝、度，Bode 图 幅值与相位关系，Nichols 图，无频率信息,2023/3/27,110,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Nyquist 曲线绘制 grid 命令绘制等 M 和等 N 圆,2023/3/27,111,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Bode 图绘制Nichols 图由 nichols()函数绘制可以同样处理连续、离散、延迟、多变量系统，格式不变,2023/3/27,112,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学

33、信息学院,例4-30 开环传递函数Nyquist 曲线绘制MATLAB 曲线特色 读取频率信息；频率范围,2023/3/27,113,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Bode 图绘制快捷菜单读取特性 Nichols 图的绘制用鼠标读取频率信息弥补了传统 Nichols 图的不同,其他频域响应曲线,2023/3/27,114,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-31 对下面模型离散化，MATLAB 求解不同采样周期的离散模型 Bode 图,2023/3/27,115,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,

34、例4-32 离散系统 Nyquist 图与 Nichols 图,2023/3/27,116,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-33 延迟系统模型MATLAB 求解,2023/3/27,117,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5.2 利用频率特性分析系统的稳定性,Nyquist 定理可以进一步解释为,2023/3/27,118,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,可以用开环的系统模型，绘制 Nyquist 图并以此分析闭环系统的稳定性。,2023/3/27,119,控制系统计算机辅助设计-MATL

35、AB语言与应用东北大学信息学院,例4-34 Nyquist 图闭环阶跃响应,2023/3/27,120,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5.3 系统的幅值裕度和相位裕度,幅值裕度和相位裕度,相位裕度,幅值裕度,2023/3/27,121,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,稳定性裕度分析,如果系统的 Nyquist 图不与负实轴相交，则系统的幅值裕度为无穷大。如果系统的 Nyquist 图不与单位圆相交，则系统的相位裕度为无穷大。,2023/3/27,122,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,如果系统

36、的 Nyquist 图在第三象限与单位圆有若干个交点，则系统的相位裕度以与离负实轴最近的为准。MATLAB 求解方法如果某个裕度为无穷大，则返回 Inf，相应的频率值为 NaN。,2023/3/27,123,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-35MATLAB 求解 由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡,2023/3/27,124,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5.4 多变量系统的频域分析,例4-36 多变量系统的Nyquist图用 nyquist 函数直接求解,2023/3/27,125,控制系统计算机辅助设计-MATL

37、AB语言与应用东北大学信息学院,多变量系统分析概述,前面的 Nyquist 图对多变量系统分析没有太大帮助，所以一般不采用这样的方法英国学派的频域方法Sir Howard H Rosenbrock教授提出的逆 Nyquist 阵列的方法(INA方法)剑桥大学 Sir MacFarlane 教授特征轨迹方法帝国理工 Sir D Q Mayne 教授序贯设计方法 Sheffield 大学的 Owens 教授的并矢算法,2023/3/27,126,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MFD 工具箱,英国剑桥大学的 Maciejowski 教授开发基于MATLAB 的工具箱

38、多变量系统的描述还可以用传递函数描述，但需要已知公分母。所以过程烦琐。可以求出系统的传递函数矩阵模型,2023/3/27,127,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-37 多变量模型传递函数矩阵变换,2023/3/27,128,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,得出公分母分子矩阵用这样的方法可以得出传递函数矩阵模型可以得出 MFD 能使用的模型,2023/3/27,129,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,对角优势分析,多变量频域分析的最重要内容是系统模型是不是解藕的模型，如果不是则需要变换如何判定是

39、否解藕？闭环系统传递函数矩阵回差矩阵,2023/3/27,130,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,利用回差矩阵的逆矩阵性质，所以在频域分析中用逆的 Nyquist 矩阵分析更方便 Rosenbrock 教授采用逆 Nyquist 阵列方法单变量系统，Nyquist 图是研究包围(-1,j0)点的周数来研究稳定性的多变量回差矩阵，研究包围(0,j0)点的情形 Gershgorin 定理可以分析对角占优性质，从而对系统的藕合进行分析，可以用于多变量系统的分析,2023/3/27,131,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,Gershgor

40、in 定理,复数矩阵 对角占优矩阵,2023/3/27,132,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,进一步减小半径,2023/3/27,133,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,假设在 w 下，多变量系统前向回路 INA 为 Gershgorin 带，对不同的 w 值若对全部的 w 来说，各个对角元素的 Gershgorin带均不包含圆心，则称原系统为对角占优系统。显而易见，对角优势矩阵的特征根不位于原点处，则单位反馈的闭环系统是稳定的。,2023/3/27,134,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MAT

41、LAB 求解,MFD 工具箱的频域响应数据 INA 绘制,2023/3/27,135,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,MATLAB 函数编写,2023/3/27,136,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,由该函数可以直接绘制多变量系统的 INA图，并分析其对角占优性质。采用更小的半径，非传统半径。,2023/3/27,137,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-38 多变量模型MATLAB 求解,2023/3/27,138,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,前置补偿矩阵

42、MATLAB 求解对角占优性质明显,2023/3/27,139,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,其他频域响应数据生成方法,其他,2023/3/27,140,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-39 多变量延迟系统 MATLAB 求解,2023/3/27,141,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,校正后特性绘制 Gershgorin 带的稳定性判定定理,2023/3/27,142,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,多变量系统的稳定性,2023/3/27,143,控制系统计

43、算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,多变量系统的奇异值曲线绘制,单变量系统有 Bode 图，多变量系统能否采用这样的方法分析？传递函数矩阵的奇异值可以作为轨迹绘制出来，称为奇异值曲线奇异值曲线是多变量系统鲁棒控制中的重要指标，由 sigma()函数绘制,2023/3/27,144,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,例4-40 多变量延迟模型MATLAB 绘制奇异值曲线,2023/3/27,145,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,4.5.5 降阶模型的频域分析及比较,降阶模型对原模型的频域拟合如何？例4-41 可以由

44、前面的方法求出 Pade、Routh 模型、最优降阶模型、均衡实现降阶模型、最优 Hankel 范数模型、Schur 模型,2023/3/27,146,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,降阶模型与比较最优降阶模型的效果最好,2023/3/27,147,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,本章主要内容,MATLAB 的使用为控制系统的分析提供了有力的工具，在控制系统发展初期，由于没有这样的强有力工具，出现了很多间接的方法，例如控制系统的稳定性分析以往的 Routh 判据可以完全由直接求根的方法取代，对控制系统来说，用 eig()就可以直接

45、求出系统的特征根，并给出了反馈控制系统的内部稳定性概念与判定方法。,2023/3/27,148,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,利用 MATLAB 这样 的工具还可以直接对控制系统的可控性、可观测性等进行直接判定，还介绍了系统的可控性、可观测性阶梯分解、Kalman 分解、Leunberge 标准型转换等，并介绍系统的范数测度及计算。本章介绍了线性系统的解析解算法，包括基于状态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的解析解方法，分别就连续系统和离散系统等问题进行了探讨，还介绍了改进的部分分式展开方法，从而可以得出更可读的解析解。由典型二阶系统的阶跃响应定义了系统

46、的一些响应指标，如超调量、调节时间等，还介绍了这些指标的求解方法。,2023/3/27,149,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,连续和离散系统的阶跃响应曲线可以直接由MATLAB 给出的 step()函数直接绘制出来，还可以用函数就可以绘制出系统的脉冲响应曲线，还可以用函数都可以用于系统在任意输入下的时域响应，这些函数均可以用于所有能用 MATLAB 下线性时不变对象描述的线性系统时域分析。根轨迹分析是单变量系统稳定性分析与控制系统校正的一种有用方法，用 rlocus()函数就可以直接绘制出单变量连续与离散系统的根轨迹曲线，并可以直接从根轨迹上读取临界稳定增益值

47、。这样的方法还可以直接应用于绘制带有时间延迟的离散系统根轨迹绘制中。,2023/3/27,150,控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用东北大学信息学院,从频域响应中复数的几种表示方法引入了 Nyquist图、Bode 图和 Nichols 图，并介绍了在 MATLAB控制系统工具箱中如何绘制这些图形的方法，介绍了应用频域响应进行闭环系统稳定性分析的方法，还介绍了幅值裕度和相位裕度的求取函数 margin()，这些方法可以直接求解连续和离散单变量系统的频域响应分析。介绍了多变量系统的逆 Nyquist 阵列、回差矩阵与 Gershgorin 定理，基于这些概念介绍了多变量系统频域响应分析方法及相应的 MATLAB 实现。,