连续系统的数字仿真课件.ppt

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1、,第3章 连续系统的数字仿真,计算机仿真离散相似,连续时间数学模型 离散（采样）相似（信号重构保持）离散时间数学模型（计算机仿真模型）,本章内容,3.1 微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类 3.1.3 单步法 3.1.4 多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差3.2 从传递函数到Z函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到Z函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似,3.1 微分方程的数值积分数值解,返回,3.1.1 数值积分法,对于初值已知的常微分方

2、程,求其数值解就是求解曲线y(t)在一系列离散时间点 tn的 近似值 yn=y(tn)(n=0,1,2,m)a=t0 tn tn+1 tm=b相邻两个节点的间距：步长 h=tn+1-tn。,设微分方程在区间a,b上连续变化。在已知初值条件下，将区间a,b分成若干个小的区间，时间间隔为h，在一个小的区间t=tn,tn+1内积分，有,图3.1 数值积分计算示意图,其中，h为积分步长，为局部截断误差。,若截断到r 阶，y 近似的数值解为,截断误差 为,3.1.2 数值积分法分类,单步积分法和多步积分法数值积分法在求解（n+1）时刻的数值解，只涉及到前一个时刻n的值yn，还是涉及过去多个时刻 tn-1

3、,tn-2,的值，分为单步法和多步法：单步法：仅用yn的数值即可求出yn+1的数值；多步法：求解tn+1时刻的数值解yn+1，不仅需要知道tn时刻的yn，还要用 到过去的tn-1,tn-2,时刻的值。显式积分方法和隐式积分方法：根据数值积分法公式的右端是否包含当前时刻的值，分为显式积分方法和隐式积分方法。,例：,单步显式积分方法的公式为,式中右端只与tn+1时刻之前的数值有关，且不包含yn+1项。,单步隐式积分方法的一般表达式为,该式右端只与tn+1时刻之前的数值有关，但是包含yn+1的项。,3.1.3 单步法,1.欧拉法（Euler),已知：一阶微分方程式（3.1）,求解的递推公式（3.2）

4、中,在区间 tn,tn+1 上的积分如图3.2中黑色斜线部分所示。对于足够小的积分间隔tn,tn+1，其中每一个时刻的f(t,y)都可以近似地为常数 f(tn,yn)，即用矩形面积近似代替该区间曲线面积（红色部分）。,欧拉法的几何意义,图3.2 欧拉法的几何表示,局部截断误差为o(h2)，即,将y(t+h)展开成泰勒级数如式（3.4），若在右边只取两项，有,应用泰勒级数展开推导欧拉法公式,已知初始y0，可以递推得出各时间点的yn近似数值解。,（3.10）,2.梯形法,梯形法的基本思路是在应用梯形面积近似在图3.2中积分区间的曲线下积分面积，如图3.3所示。,在区间 tn,tn+1 的曲线积分面

5、积为,在区间 tn,tn+1 的梯形面积为,当积分步长h0时，梯形面积近似等于曲边梯形面积，即,式（3.12）的右端有yn+1项，为隐式数值积分公式。隐式数值积分在每次递推计算中需要借助显式算法（如欧拉法）对y pn+1预估后再求解。,预估,校正,注1：预估可采用多种显式方法，上例中应用欧拉法进行预估。注2：对应于每个yn，都要经过预估和校正两部运算。,局部截断误差为o(h3)，即,例如采用欧拉法进行预估，则梯形法的公式为：,例3.1 已知一阶微分方程为，初始条件为。积分步长为，在区间0，0.5 分别应用：1）欧拉法；2）梯形法，计算y的近似值。,解：（1）欧拉法：已知，根据欧拉公式,计算得,

6、（2）梯形法,从微分方程的解析解：,可以计算相应的理论值，分别计算欧拉法和梯形法数值解与理论值的误差，如表3.1。,n 阶Runge-Kutta法的通式,3.龙格-库塔法,其中，r为阶数；bi为待定系数；系数ki 表达式为,aj、ci为待定系数。,一阶龙格-库塔法,与欧拉公式比较，一阶Runge-Kutta法的系数 a1=0,b1=1,c1=0。,二阶龙格-库塔法(r=2),与梯形法比较，二阶Runge-Kutta法系数,高阶龙格-库塔法,四阶龙格-库塔法（r4）,局部截断误差为o(h4),局部截断误差为o(h5),三阶龙格-库塔法（r3）,例3.2 用三阶Runge-Kutta法求例3.1中

7、微分方程的数值解,解：三阶Runge-Kutta法的公式为,以此类推，可求得y3=1.2141,y4=1.3885,y5=1.5403.,三阶Runge-Kutta法计算结果与微分方程精确解间的比较如表3.2所示,问题：单步？多步？步长总是不变吗？,3.1.4 多步数值积分法,Adams显式积分法,微分方程 在区间tn tn+1上进行积分，递推式为,假设在k+1个节点处的导数值分别为fn,fn-1,fn-2,fn-k,，基于插值原理可以构造出一个线性多项式来逼近函数，分项积分后可得,其中，i为系数，上式的右端没有yn+1项，为显式。,三阶Adams显式,四阶Adams显式,Adams 隐式积分

8、法,Adams隐式积分公式为,三阶Adams隐式,四阶Adams隐式,三阶局部截断误差为o(h4)。,显式预估,隐式校正,与梯形法类似，应用Adams隐式积分也要选用适当的显式，进行预估以后对Adams隐式求数值解，例如选用三阶Adams显式积分法进行预估，可得,（n为阶数）（3.21）,应用公式（3.21）可以综合表示常用的数值积分法，系数如表所示。,3.1.5 关于数值积分的误差,局部截断误差与舍入误差 应用数值积分法所得到的离散数值解是原连续时间系统精确解的近似，包括两种误差：截断误差、舍入误差。,局部截断误差：由于数值积分方法截断r阶以后的项所导致的误差。舍入误差：由于计算机的位数有限

9、而导致；在每步计算均会发生，随计算次数增加使舍入误差积累值增加。,图3.4 数值积分法误差与积分步长的关系,例3.3 例3.1中的一阶微分方程，初始条件为 积分步长为，在区间0，0.5 分别应用：1）欧拉法；2）梯形法；3）三阶Runge-Kutta法计算y的近似值，比较不同阶次数值积分法的局部 截断误差。,tn,固定步长：在整个仿真计算过程中，积分步长h始终保持不变。变步长：在仿真积分计算每一步，首先估计计算误差；判断误差是否在允许误差范围内：若是，则该步计算有效；否则计算无效，设法减小步长，重新计算。在变步长积分中，必须解决误差估计方法和步长调整策略问题。,积分步长的选择与控制,在数值积分

10、法中，积分步长的选择不仅受计算工作量和误差的影响，还与系统的动态响应特性相关。在数值积分中，系统各个组成部分之间可能存在着相差很大的部分：若按变化平缓部分选择的积分步长h，对于变化剧烈的部分步长太大，不能反映系统的（特别是开始时的）动态响应；若按变化剧烈的部分选择步长，则对于变化平缓部分的计算工作量太大，且没有必要的。因此对整体系统，积分步长选择常常存在很大矛盾，解决途径：变步长数值积分。,数值解的稳定性是在某种算法条件下（例如积分步长），与初始误差、舍入误差和截断误差有关的积累误差不随计算步数的增加而振荡或发散，则该算法是稳定的，否则就不是稳定的。,数值解的稳定性,例如一阶微分方程,应用欧拉

11、算法，当积分步长h 0.10，0.25和0.40时，其误差如表3.5所示。,误差不随计算步数的增加而快速增加，数值解稳定,误差呈振荡趋势，其数值解不稳定,数值解发散,第3章 连续系统的数字仿真,本章内容,3.1 微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类 3.1.3 单步法 3.1.4 多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差3.2 从传递函数到Z函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到Z函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似,3.2 从传递函数到Z函数的

12、转换,Z域离散相似模型-Z函数离散采样 零阶信号重构器离散采样 一阶信号重构器离散采样 三角形信号重构器从传递函数G(s)转换为Z函数G(z)的算子替换方法欧拉法（零阶近似）屠斯丁（Tustin）法（一阶近似）,3.2.1 Z 域离散相似模型,(a)连续时间模型,(b)连续时间系统的Z域离散相似化过程,图3.6 连续系统的Z域离散化过程,连续时间系统的Z域离散相似化过程,保持：离散输入信号u(tm)经信号重构器（Gh(s)）重构，转换为与 原输入信号相似的连续信号；,将 离散为。,从u(tm)到 之间的离散传递函数G(z)表达式为,零阶信号重构器（zero-order hold）,图3.8 零

13、阶信号重构器,图3.9 零阶信号重构器的频谱特性,零阶信号重构器的传递函数为,代入式（3.23），得,一阶信号重构器（first-order hold）,一阶信号重构器的传递函数为,代入式（3.23），得,(b)(a)图中虚线框中的放大图,(a)一阶信号重构器恢复信号示意图；,图3.10 一阶信号重构器,三角形信号重构器（triangle-hold）,代入式（3.23），得,三角形信号重构器的传递函数为,图3.12 三角形信号重构器,表3.6 不同信号重构器和系统脉冲传递函数,e.g.3.4 系统传递函数为,解：（1）采用零阶信号重构器,根据表3.6可得,（2）采用一阶信号重构器,（3）采用三

14、角形信号重构器,3.2.2 算子替换法,算子替换法应用s算子与z算子的转换公式，常用的两种替换方法：欧拉法和屠斯丁法。,1.欧拉法,已知微分方程,其传递函数为,根据 欧拉公式，当积分步长 h=T 时，有,两边取 Z 变换,得,2.屠斯汀（Tustin）法,根据梯形法公式，当积分步长 h=T 时，有,两边取 Z 变换,得,S算子和z算子之间的转换另一种思路,展开台劳级数得,截取第一项得到近似式,截取前二项 得到近似式,（3）离散时间状态表达式,第3章 连续系统的数字仿真,本章内容,3.1 微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类 3.1.3 单步法 3.1.

15、4 多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差3.2 从传递函数到Z函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到Z函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似,3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换,设连续时间系统的状态空间表达式为,该连续状态方程的解为,其中,(a)连续时间线性状态空间表达式,(b)线性状态空间表达式的时间离散,应用离散相似方法对上述连续系统进行离散相似，如图所示,离散,设采样间隔为T，mT 和(m+1)T 为两个依次相连的采样瞬间，将tm=mT和tm+1=(m+1)T分别

16、代入状态方程的解，有,式(3.34)减去式(3.33)与eAT的乘积，得,离散时间状态空间表达式的离散模型（零阶、一阶）,式（3.35）中 与m无关，令m0，可得,设在输入端加采样间隔为T的开关和零阶信号重构器，有 u(mT+T)u(mT),0 t T,输入信号零阶重构的离散状态空间表达式,其中,零阶重构近似,输入量u(t)的采样和零阶重构近似,如图所示，式是在假设输入量在采样间隔中保持常量推导出来的，但实际上u(t)是变化的，所以零阶重构近似处理的误差如图示。,若在输入端加采样间隔为T的开关和一阶信号重构器，有,则,其中,一阶重构近似,输入信号一阶重构的离散时间状态空间表达式,转移矩阵，的近

17、似计算,在状态方程的时域离散相似中，关键问题是计算系统的转移矩阵 和。在式（3.32）中给出了求解 的拉氏逆变换公式（解析解），但是在高阶或多输入多输出系统很难通过解析方法求解，但是可以应用数值方法进行近似计算。,应用数值方法进行求解是基于泰勒级数展开方法,设x=AT，对于零阶和一阶信号重构，有,泰勒级数展开,设x=AT，零阶信号重构,一阶信号重构,（与零阶信号重构相同）,相似变换法最小多项式计算法 请查阅有关参考文献。,转换状态空间表达式时间离散模型的其它方法,解：,求转移矩阵（拉氏逆变换法）,（1）,（2）级数展开法,第3章 连续系统的数字仿真,本章内容,3.1 微分方程的数值积分数值解

18、3.1.1 数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类 3.1.3 单步法 3.1.4 多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差3.2 从传递函数到Z函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到Z函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似,3.4 几个典型环节的状态空间表达式离散相似模型,积分环节,比例-积分环节,惯性环节,比例-惯性环节,积分环节,（1）传递函数,（2）可观标准型的状态空间表达式,其中,（3）离散状态表达式,比例-积分环节,（1）传递函数,（2）可观标准型的状态空间表达式,其中,（3

19、）离散时间状态表达式,惯性环节,（1）传递函数,其中,（3）离散时间状态表达式,（2）可观标准型的状态空间表达式,比例-惯性环节,（1）传递函数,其中,（2）可观标准型的状态空间表达式,积分环节的四种连续时间数学模型,（2）传递函数,（3）状态空间表达式,其中,（1）微分方程,（4）结构框图,积分环节的四种离散模型,离散时间周期（T）,（4）离散结构框图,（3）离散状态空间表达式,（1）差分方程（欧拉法）,（2）Z函数,算子替换（欧拉法）,比例积分环节的四种连续时间数学模型,（2）传递函数,（3）状态空间表达式,其中,（1）微分方程,（4）结构框图,比例积分环节的四种离散模型,（4）离散结构框

20、图,（3）离散状态空间表达式,（1）差分方程（欧拉法）,（2）Z函数,算子替换(图斯汀法),离散时间周期（T）,惯性环节的四种连续时间数学模型,（2）传递函数,（3）状态空间表达式,其中,（1）微分方程,（4）结构框图,惯性环节的四种离散时间模型,（4）离散Z域结构框图,（3）离散状态空间表达式,（1）差分方程（欧拉法）,（2）Z函数,算子替换（欧拉法）,离散周期（T）,比例惯性环节的四种连续时间数学模型,（2）传递函数,（3）状态空间表达式,其中,（1）微分方程,（4）结构框图,比例惯性环节的四种离散时间模型,（4）离散Z域结构框图,（3）离散状态空间表达式,（1）差分方程（欧拉法）,（2）Z函数,算子替换(欧拉法),离散时间周期（T）,