经典学而思全等三角形全套.docx

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1、D第一讲全等三角形的性质及判定例1】 如图， ACDE，BCEF， AC DE 求证： AF BD补充】如图所示： ABCD ，AB CD 求证： ADBC例 2 】 已知：如图， B 、 E 、 F 、 C 四点在同一条直线上， AB DC ， BE CF ， B C 求证： OA OD 补充】已知：如图， AD BC ， AC BD ，求证： CD 补充】如图，在梯形 ABCD中， AD BC ，E为CD中点，连结AE并延长 AE交BC的延长线于点 F求证：FC AD ADEFBBC例3】 如图， AB ，CD相交于点 O，OA OB，E、F为CD上两点， AE BF ， CE DF 求证

2、： AC BD 补充】已知，如图， AB AC ， CE AB ， BF AC ，求证： BF CE 例 4 】 如图，DCE 90 ，CD CE，AD AC ，BE例 10】 如 图所示，例 11 】 E 、DAC ，垂足分别为 A，B ，试说明 AD AB BE已知 AB DC ， AE DF ， CE BF ，证明：AF DE F 分别是形 ABCD 的 BC 、 CD 边上的点，且 BE CF 求证：补充】 E 、F 、G分别是形 ABCD 的BC、CD 、AB边上的点， GEAEDFCEF ，GE EF 求证： BG CF BC 例 12】 在 凸五边形中，D， BCDE ，M 为

3、CD 中点求证：DFCAM CD D 求证： BC EF 补充】如图所示： AF CD ， BC EF ， AB DE ， A例 13】（1）如图， ABC的边 AB、AC 为边分别向外作形 ABDE和形 ACFG，连结 EG，试判 断ABC 与 AEG面积之间的关系，并说明理由 .（ 2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有形的面积之和是 a 平方米，圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？例14】如图， ABC 中，AB BC ， ABC 90 ，D是 AC上一点， 且CD CB AB，DE AC交 AB于 E

4、点求证： AD DE EB E例15】 ABC 中， B 90 ， M 为 AB上一点，使得 AM BC ， N为 BC 上一点，使得 CN BM ，连AN、CM 交于P点试求 APM的度数，并写出你的推理证明的过程例16】如图， I 是ABC 的心，且 CA AIBC 若BAC 80 ，求ABC 和 AIB 的大小例17】已知： BD、CE 是 ABC 的高，点 P在 BD的延长线上， 证： AP AQ； AP AQ BP AC ，点Q在CE 上，CQ AB，求例18】 如左下图，在矩形 ABCD中， E为CB延长线上一点且 AC CE， F 为AE的中点求证： BF FD 如右下图，在 A

5、BC中，BE、CF分别为边 AC 、AB的高，D为BC的中点，DM EF于M 求 证： FM EM A18.补充：如图， 已知 ABD 等腰三角形例19】如图， ABC 为边长是 1的等边三角形， BDC 为顶角 ( BDC) 是120 的 等腰三角形，以 D为顶点作一个 60 角，角的两边分别交 AB于M ，AC 于 N ，连接 MN ，形成一个 AMN 求 AMN 的周长家庭作业求证： AB DE 习题1】已知：如图， ABDE ， AC DF ，BE CF习题 2】 已知： DEF MNP，且 EFNP，FP，D48，E52，MN12cm，求： P 的度数及 DE的长 .【习题 3】如图

6、，矩形 ABCD中， E是AD上一点， CE EF 交AB于F点，若 DE 2 ，矩形周长为 16， 且 CE EF ，求 AE 的长DC习题 4】在四边形 ABCD中， ADBC ， A的平分线 AE交DC于E 求证：当 BE是 B的角平分线时，有 AD BC AB 月测备选备选 1】 如图所示： AB AC ， ADAE，CD 、 BE相交于点 O 求证：OA 平分DAE 备选 2】 如图所示，在 ABC 中， AD BC 于点 D， B 2 C 求证： AB BD CDDB备选3】如图， ABC中，D是BC的中点，过 D点的直线 GF交AC于F，交 AC的平行线 BG于G点，DE DF，

7、交 AB于点 E，连结 EG、 EF.1)求证： BG CF.2)请你判断 BE+CF 与 EF的大小关系，并说明理由C第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线9 ，则 BC 边上的中线 AD 的长的取值【例 1】 在 ABC中， AB 5,AC补充】已知：围是什么？例 2 】 已知：如图，梯形ABCD 中， AD BC ，点 E是CD 的中点，BE 的延长线与 AD 的延长线相交于点 F 求证： BCE FDE 例 3 】 如图，在 ABC 中， D 是 BC 边的中点， F ， BDE CDF E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF BE 求证：例4】 如图， ABC中， ABAC

8、 ， AD是中线求证： DAC DAB 例 5 】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，长 BE 交 AC 于 F ， AFEF ，求证： AC BE E是 AD上一点，延例 6 】 如图所示，在ABC 和 A B C 中， AD 、BC 上的中线，且 AB AB ，AC AC ， AD AD ， 求 证ABC A BC AD 分别是 BC 、A例7】 如图，在 ABC中， AD交BC于点 D ，点E是BC中点， EF AD交CA的延长线于点 F，交 EF 于点 G ，若 BG CF ，求证： AD 为 ABC 的角平分线例 8 】 已知 AD 为 ABC 的中线，ADB，

9、ADC 的平分线分别交 AB于E、交 AC 于F 求证：BE CF EF 例9】 在 Rt ABC中， A 90 ，点 D为BC的中点，点 E、F 分别为 AB 、AC上的点，且 ED FD以 线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝 角三角形？例 10】已知 ABC， B= C，D，E分别是 AB及 AC 延长线上的一点，且 BD=CE，连接 DE交底 BC于 G，求证 GD= GE例 11】 如 图所示，在 ABC 中， 证 AD2 1 AB2 AC24D是BC的中点， DM垂直于 DN ，如果 BM2 CN2 DM2 DN2，求（勾股定理

10、的容，选做 ）例10】在 Rt ABC 中， F是斜边 AB的中点， D 、E分别在边 CA 、CB上，满足BE 4，则线段 DE的长度为 _DFE 90 若 AD 3 ，图 6家庭作业习题 1】 如图，在等腰 ABC 中， ABAC ，D 是 BC 的中点，过 A 作 AEDE ，AFDF ，且 AE AF 求证： EDB FDC F习题 2】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE AC，延长 BE交 AC于F ， AF与EF相等吗？为什么？习题 3】 如右下图，在ABC 中，若 B 2 C ， ADBC， E为BC边的中点求证： AB 2DE

11、备选 1】如图，已知 AB= DC，AD= BC，O是 BD中点，过 O点的直线分别交 DA、BC的延长线于 E，F 求证： E= F备选 2】如图， ABC 中， AB AC， BAC 90 ，D是 BC中点， ED FD，ED与 AB交于 E，FD 与 AC 交于 F 求证： BE AF ， AE CF D第三讲 全等三角形与角平分线问题例 1 】 在 ABC 中， D 为 BC 边上的点，已知 BAD CAD ， BD CD ，求证： AB AC 例 2 】 已知 ABC 中， AB AC ， BE 、 CD 分别是 ABC 及 ACB 平分线求证： CD BE 例3】 如图，在 ABC

12、中， B 60 ，AD、CE分别平分 BAC、 BCA ，且AD与CE 的交点为 F 求 证： FE FD 例4】 如图，已知 ABC的周长是 21，OB ，OC分别平分 ABC和 ACB ，OD BC于D ，且OD 3， 求 ABC 的面积D补充】如图所示： AB AC ， AD AE，CD 、 BE相交于点 O求证： OA平分 DAE已知CD 、ABC 中， A 60o，BD 、CE 分别平分 BC 的数量关系，并加以证明ABC 和ACBBD 、CE交于点 O，试判断 BE、如图，已知E是 AC上的一点，又 12，求证：ED EB DB例 7 】 如图所示，OP 是 AOC 和 BOD 的

13、平分线，OA OC ， OB OD 求证：AB CD 如图所示， 已知 ABC 中， AD平分BAC ，E、F 分别在BD 、AD 上DEAC 求证： EF ABCD ，EF例10】如图，在四边形 ABCD中， AC平分 BAD，过 C作CE AB于E ，并且 AE 1(AB AD)，则 2ABC ADC 等于多少？B补充】长方形 ABCD中，AB=4，BC=7，BAD的角平分线交 BC于点 E，EFED交AB于F，则EF=_补充】在 ABC 中，AB AC ，AD是BAC 的平分线 P是 AD上任意一点 求证：AB AC PB PC 例11】如图，在 ABC 中，B 2 C ， BAC 的平

14、分线 AD 交 BC 与 D 求证： AB BD AC 例 12】 如 图， ABC 中， AB AC ，A 108 ， BD 平分 ABC 交 AC 于 D 点求证： BC AC CD 巩固】已知等腰 ABC ， A 100 ，ABC 的平分线交 AC 于 D ，则 BD AD BC A例13】如图所示，在 ABC中， AD平分 BAC ， AD AB，CM AD于M ，求证 AB AC 2AM例 14】 如 图，ABC 中，ABAC ， BD 、 CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD于D， AE CE于 E 求证： AD AE 例 15】如 图， AD 180 ， BE 平分ABC

15、， CE 平分BCD ，点 E 在 AD上 探讨线段 AB 、 CD 和 BC 之间的等量关系 探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系习题 2】如图，在 ABC 中， AB BD AC ， BAC 的平分线 AD 交 BC 与 D 求证： B 2 C 习题 3】AD是 ABC的角平分线， BEAD交 AD的延长线于 E，EFAC交AB于F 求证：AF FB习题 4 】如图所示， AD 平行于 BC，DAE= EAB ，习题 5 】 ABC 中， 证： BFD为BC 中点，DE CG CABE= EBC ，AD= 4，BC= 2，那么 AB=BC 交 BAC 的平分线于点 E，EF AB于 F

16、 EG AC 于G 求G月测备选备选 1】在 ABC 中， AD平分 BAC ， AB BD AC求 B: C 的值备选 2】如图，已知在 ABC 中， ABC 3 C ，1 2， BE AE 求证： AC AB 2BE备选 3】如图所示， 在四边形 ABCD 中， AD BC ， A的平分线 AE交DC于 E ，求证：当BE是 B的 平分线时，有 AD BC AB E1 )求证： AN BM 第四讲 全等三角形与旋转问题例 1 】 已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形2)求证： CD=CE(3) 求证： CF 平分 MCN4) 求证： DE AB如图，

17、四边形 ABCD 、DEFG 都是形，连接 AE、CG 求证： AE如图，NCG 等边三角形 ABC 与等边 DEC 共顶点于 C 点求证： AEBDCDBC ，问 BPD 的度数是否例4】 如图， D是等边 ABC 的一点，且 BD AD， BP AB， DBP 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由AOF 求证： BE BF例5】 如图，等腰直角三角形 ABC中， B 90 ，AB a，O为AC中点， EO 为定值补充】如图，形 OGHK 绕形 ABCD中点 O旋转，其交点为 E、 F ，求证： AE CF ABC(2004)如图，已知点 E是形 ABCD的边CD上一点，点F 是CB

18、的延长线上一点， 且EA AF求 证： DE BF 补充】如图所示，在四边形 ABCD 中， ADC ABC 90 ，AD CD，DP AB于P ，若四边形 ABCD 的面积是 16，求 DP 的长E、F 分别是形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且 EAF 45 ， AHEF ， H 为垂足，求证：AH AB F【巩固】如图，形 ABCD 的边长为 1，点 F 在线段 CD 上运动， 边于点 E 求证： AF DF BE 设 DF x(0x1)， ADF 与 ABE的面积和 及 S 若不存在，请说明理由AE 平分 BAF 交 BCS 是否存在最大值？若存在，求出此时 x 的值补充】

19、(1)如图，在四边形 ABCD中， ABAD，B D 90 ，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且 1EAF= BAD求证： EFBE FD;2(2) 如图 ，在四边形 ABCD中，ABAD，B+D180 ，E、F分别是边 BC、CD上的点，且 1EAF= BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明习题 1】 如图，已知 ABC 和ADE 都是等边三角形，B、C、DD 在一条直线上，试说明 CE 与 AC CD相等的理由习题 2】 (省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试 )已知：如图，点 E是形 ABCD 的边 AB上任意一点，过 点 D作DF DE交BC的延长线于点 F求证： DE

20、 DF C3，CD 1，E是 AD中点，试判断 ECB习题 3】 在梯形 ABCD 中， ABCD ， A 90 ，AB 2，BC 与 EB 的位置关系，并写出推理过程习题4】已知：如图，点C为线段 AB上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形 CG、CH 分别是 ACN 、 MCB 的高求证： CG CH 月测备选P从B出发向 C 运动，备选1】在等腰直角 ABC中， ACB 90o，AC BC，M 是 AB的中点，点MQ MP 交 AC 于点 Q ，试说明 MPQ 的形状和面积将如何变化备选 2】 如图，形 ABCD 中， FAD FAE 求证： BE DF AE ADF备选 3】 等边

21、 ABD 和等边CBD的边长均为 1，E是 BE AD上异于 A、D的任意一点，F 是 CD 上一点，满足 AE CF 1，当 E、F移动时，试判断BEF 的形状DC第五讲 轴对称和等腰三角形例 1 】 在 ABC 中， ABAC ， BC BDED EA求 A 补充】在ABC 中， AB AC ， BC BD ， AD ED EB 求 AWord 资料例2】 ABC的两边 AB和AC的垂直平分线分别交 BC于D、E，若 BAC DAE 150 ，求 BAC 例3】 如图，点 O是等边 AO AD一点， AOB 110o， BOC将BOC 绕点C按顺时针方向旋转19060得ADC ，连接 OD

22、 ，则COD 是等边三角形；当 为多少度时， AOD是等腰三角形？例 4 】 如图，在 ABC 中， B 求 EDC 的度数DCC ，D 在 BC 上， BAD 50o ，在 AC 上取一点 E ，使得 ADEAED ，DC例5】 如图， ABC 为等边三角形，延长 BC到 D，又延长 BA到 E，使AE BD ，连接 CE,DE ，求证： CDE 为等腰三角形例6】 如图，在 ABC中， B， C为锐角， M , N , D分别为边 AB 、AC 、BC上的点，满足 AM AN， BD DC ，且 BDM CDN 求证： AB AC 板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点 A在

23、直线 l外，点 P为直线 l 上的一个动点，探究是否存 在一个定点 B，当点 P在直线 l上运动时， 点 P与A、B两点的 距离总相等，如果存在，请作出定点 B ；若不存在，请说明理 P 由例 8】 如图， 在公路 a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站， 要求到 A、B 两仓库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？例 9 】 如图， AOB 45 ，角有点 P ，在角的两边有两点 Q 、 R（均不同于 O点），求作 Q、 R，使得 PQR的周长的最小【补充】如图， M 、 N为 ABC的边 AC、BC 上的两个定点，在 AB上求 一点 P ，使 PMN

24、 的周长最短B例10】已知如图，点M 在锐角 AOB的部，在OB 边上求作一点 P，使点 P到点 M 的距离与点 P 到OA的边的距离和最小【补充】已知： A 、 B两点在直线 l的同侧， 在l上求作一点 M ，使得| AM BM | 最小 A【补充】已知： A 、B两点在直线 l的同侧，在l上求作一点 M ， 使得 | AM BM | 最大例11】如图，形ABCD中，AB 8 ，M是DC上的一点，且DM 2，N是 AC上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值AMB补充】例题中的条件不变，求 DN MN 的最小值与最大值补充】如图，已知形 ABCD的边长为 8，M在 DC上，且 DM 2，N

25、是 AC上的一个动点， 则DN MN 的最小值是DMC家庭作业4 和 9 ，则第三边长为12cm 和 21cm 两部分，则这个等腰三角形的D 无法确定习题 1】 (2007 双柏中考 )等腰三角形的两边长分别为习题 2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 底边的长为 ( )A 17cmB 5cmC 17cm 或 5cm习题3】已知等腰三角形的周长为 20，腰长为 x，求 x的取值围习题 4】 (2004 天津 )在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )习题 5】 判断下列图形 (图 )是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 月测备选备选 1】 ABC 的一个角

26、的大小是 400 ，且 A B ，那么 C 的外角的大小是 ( ) A140 B 80 或100C 100 或140D 80 或14012 和 15 两部分，求腰长和底长3，E的 BC上一点，满足 BE 2，在斜边 ABB备选 4】 在形 ABCD中， E在 BC上， BE 2，CE1， P在BD上，求 PE和 PC的长度之和的最小值备选 2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 备选 3】 （省竞赛题 ） 如图，在等腰 Rt ABC 中， CA CB 上求作一点 P 使得 PC PE 长度之和最小板块一、截长补短例 1 】 已知 ABC 中，第六讲 全等三角形中的截长补短A 60o，

27、BD 、CE 分别平分 ABC 和 . ACB ，BD 、CE交于点 O，试判断 BE、CD 、 BC的数量关系，并加以证明例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD的边 AB所在直线上的任意一点 （点 B除外），作 DMN 60 ，射线 MN与DBA外角的平分线交于点 N，DM与MN 有怎样的数量关系 ?例3】 ADAB， CB AB， DM= CM= a ， AD= h ，CB= k ， AMD= 75 ， BMC= 45 ，则 AB 的长为 ( )A. aB. kC. k hD. h2例4】 已知：如图， ABCD是形， FAD= FAE. 求证： BE+ DF= AE.例5】 以 ABC

28、 的 AB、AC 为边向三角形外作等边ABD、 ACE ，连结 CD 、BE 相交于点 O求证：OA平分 DOE EE例6】 （北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题 ）如图所示， ABC是边长为 1的正三角形， BDC 是 顶角为 120 的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60 的 MDN ，点 M、 N分别在 AB、 AC上， 求 AMN 的周长例 7】 五边形 ABCDE中， AB= AE， BC+ DE= CD， ABC+ AED= ，求证： AD平分 CDEA板块二、全等与角度【例10】如图，在 ABC中， BAC 60 ，AD是 BAC的平分线，且 AC AB BD，求 ABC的度数 .例11】在正 ABC取一点 D，使DA DB，在 ABC外取一点 E，使 DBE DBC，且 BE BA，求 BED.1ABC中， AD是中线求证： AD 21(AB AC)