第七章--二次型汇总.doc

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1、第七章 二次型 二次型是型论的内容之一，是非线性的.二次型的研究源于解析几何中对有心二次曲线和二次曲面方程的化简.由于实二次型的讨论,可以转化为对实对称矩阵的讨论,所以将它纳入线性代数的内容,本章内容可以看作矩阵化简理论一个方面的应用.本章的重点是实二次型化标准形及正定二次型.7.1 二次型及其矩阵定义1 数域上的一个二次齐次多项式 , (1)称为上的一个元二次型.称二次型的系数.由于,令,其中.即为对称矩阵:.那么(1)可表为 , (2)其中.(2)称为(1)的矩阵表示式,称为二次型的矩阵. 的秩称为该二次型的秩.显然,每一个元二次型都对应一个阶对称矩阵.例1 三元二次型的矩阵.下面我们主要

2、讨论实数域上的二次型,即对实对称矩阵进行讨论.我们的目的是化实对称矩阵为对角形矩阵.实对称矩阵有如下性质:性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设是阶实对称矩阵,为的特征值,是属于特征值的特征向量.即有 (3)令为的共轭向量,为的共轭矩阵（由的元素的共轭数构成）.由(3)两边取共轭有,即.因,所以. (4)对(4)两边取转置,得. (5)用右乘(5)两边,得.于是.由,而,则有0.因此,即,故为实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.证 设是实对称矩阵的两个不同的特征值,是分别属于的特征向量（实元列向量）,即有, ,那么.又.于是.而,故,即正交.性质3 阶实对称矩阵相似于阶

3、对角形矩阵.证 对采用归纳法.,令.若,已是对角形矩阵.若,由. (6)(6)式右端为的二次三项式,其判别式0.因而有两个不同的特征值,由定理6.3.1的推论,可对角化.设对阶实对称矩阵,结论成立.当为阶实对称矩阵时,设.由于,也属于的特征向量,于是可取为单位向量.令为正交矩阵,则有该矩阵仍为对称矩阵.而于是其中为阶对称矩阵.由归纳假设,有()阶可逆矩阵,使得令且令,则. (7)实对称矩阵的讨论可以放在欧氏空间中进行.一个实对称矩阵化对角形矩阵,先求出的全部特征值(它即为对角矩阵中的元素)及相应的特征向量.将的属于同一特征值的特征向量正交化,单位化,仍为的属于该特征值的特征向量.由于属于不同特

4、征值的特征向量正交,那么,此时的这个特征向量均为单位向量,且两两正交.以它们为列构成(7)式中的,则为正交矩阵.于是有定理7.1.1 是阶实对称矩阵,则一定存在阶正交矩阵,使得为对角形矩阵.定义2 设,是数域上两个阶矩阵,如果存在上的一个阶可逆矩阵,使得 (8)那么就称与合同,记为.矩阵的合同关系具有以下性质:1自反性: . 在(8)中取即可.2对称性: 若,则有可逆矩阵,使.于是 .即有.3传递性: 若,则有可逆矩阵,使得, .于是,即有.若,显然秩()=秩().定理7.1.1说明,任意一个实对称矩阵都合同于一个对角形矩阵.例2 设求正交矩阵,使为对角形.解 A的特征多项式,特征值为:.对求

5、得齐次线性方程组的基础解系.对应的齐次线性方程组分别求得基础解系: ,.将单位化得:, , .于是 ,而 .习 题 1.写出下列实二次型的矩阵.(1) (2) ;(3) .2.设,求可逆矩阵为对角形.3.设是一个可逆对称矩阵.证明,.4.为四阶实对称矩阵,秩(),问与合同的对角形矩阵有哪几种情况?*5. 设是欧氏空间的一个线性变换,若有,则称是一个对称变换.证明对称变换在的任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵.7.2 实二次型的标准形我们已经知道,如果是阶实对称矩阵,秩,那么,总存在阶可逆矩阵,有 . (1)显然,与(1)中这个对角形矩阵相应的二次型只含有变量的平方项,即为称此二次型为与相应的二

6、次型的标准形.如何将一个二次型化为标准形,定理7.1.1已经给出了一个方法.事实上,设实二次型.其中 .由定理7.1.1,则有正交矩阵,使得.令那么 . (2)(2)中的全部特征值.的第列为属于的特征向量正交化、单位化后所得的特征向量.上述这种化二次型为标准形的方法,称为正交变换法.如果不考虑求正交矩阵,那么,求出实二次型矩阵的全部特征值后,便可得到该二次型的标准形.在正交变换法中,( 为正交矩阵),称为坐标的正交变换.解析几何中.就是通过这种坐标的正交变换,将有心二次曲线或二次曲面方程化为标准形式的.正交变换法中,如果要求出正交矩阵,显然是比较麻烦的.下面我们再给出两种化二次型为标准形的方法

7、.1.初等变换法设,由可逆,令,为初等矩阵,那么有. (3)又. (4)(3)与 (4)说明,对施行某一类行初等变换后,同时施行相应的列的初等变换,并且对单位矩阵施行同样的列变换,当化成对角矩阵时,那么化为可逆矩阵.综合(3)、(4),可表成如下形式:,其中为对角形矩阵.这种化实二次型为标准形的方法称为初等变换法.例1 用初等变换法化下列二次型为标准形.解 的矩阵.所以,而经可逆变量替换,. 2.配方法.配方法是将二次型的一些项,配成全完平方项,逐步通过可逆的变量替换,最后化成只含新变量的平方项的二次型例2 用配方法化下列二次型为标准形.解令 ,或,.经变量替换,其中, , ,有 .再令 ,

8、= , .经变量替换 其中, ,有 .令,那么,经可逆变量替换有.采用初等变换法或配方法化二次型为标准形,由于变换过程不同,或者选择配方的变量不一样,所化得的标准形可能不同,但标准形中,所含变量的平方项的个数都是一样的,这是因为两个相似或合同的矩阵有相同的秩.一个二次型经过变量的替换后,化成一个含新变量的二次型,那么,称这两个二次型是等价的.于是可以说,一个实二次型与它的标准形等价.为了避免实二次型的标准形可能出现的不唯一性,我们需要将它的标准形作进一步的规范.设阶实对称矩阵,秩(0,为实可逆矩阵,且.必要时,交换对角矩阵中的两列和两行(相当于对它右乘以左乘以),因而,总可以假定0; 0, 0

9、.令,则有于是我们得到定理7.2.1任意一个秩为的实元二次型,都与如下一个二次型等价: (5)二次型(5)称为实二次型的规范形.下面我们进一步证明(5)中的也是唯一确定的,即有定理7.2.2(惯性定理) 实二次型的规范形是唯一的.证 设实二次型的秩为，且经过可逆变量替换和分别化为和.即经 ,有 (6)假设,令.那么, 即为 (7)考虑齐次线性方程组: (8)(8)中方程个数为 ,因而有非零解:，其中,.将它代入(6)的右端得0,又代入(8)的前个方程知(7)中有,于是(6)的左端0,矛盾.因而,同法可得,从而.规范形(5)中的称实二次型的正惯性指数,称为负惯性指数,称为二次型的符号差,记为,即

10、.由惯性定理得,推论 两个实二次型等价,当且仅当它们有相同的秩和符号差.习 题 1.用正交变换法,化二次型为标准形.2.分别用初等变换法和配方法,将二次型化为标准形.3.求下列二次型的秩、正惯性指数和符号差.(1)(2)4.将等价的二次型作为一类,证明,所有的元实二次型共有个类.7.3 正定二次型 一个元实二次型,实际上可以看成定义在实数域上的一个元实函数.用取代,得到一个唯一确定的实数,称该实数为在时的值.定义1 设有元实二次型,如果对于任何一组不全为零的实数,都有0,那么称是正定二次型.正定二次型的矩阵称为正定矩阵(是正定矩阵简称A正定).定理7.3.1 元实二次型正定的充分必要条件是它的

11、正惯性指数.证 若的正惯性指数,则经可逆变量替换,可化为规范形. (1)任取,代入,得线性方程组.由可逆及,可得唯一非零解.令得0.故是正定二次型.反之,若正定,而正惯性指数.1.设秩,则该二次型经可逆变量替换,化为规范形: (2)取,得.由且可逆,知.令,代入(2),得,与正定矛盾. 2).设秩,则该二次型经可逆变量替换化为规范形:取.同样可得而必与正定矛盾.故由定理7.3.1,可得推论1 阶实对称矩阵,正定的充分必要条件是的所有特征值都大于零.推论2阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是合同于单位矩阵.由推论1,2可知, 是正定矩阵,那么对应的二次型是正定二次型.这样,对正定二次型的讨论可

12、以转化为对正定矩阵的讨论,下面给出正定矩阵的几个性质.性质1 实对称矩阵正定的充分必要条件是存在可逆的实矩阵,使得.事实上,若正定,那么有可逆矩阵,使.于是令,则有.反过来,若,且可逆,那么令,便有,由定理7.3.1的推论2知,A正定.性质2 实对称矩阵A正定,则0事实上,在性质1中,对两边取行列式即得.为了直接从来判定是否正定,我们先给出定义2 设阶实对称矩阵,由的前行,前列的元构成的阶子式,称为的阶主子式(或称阶顺序主子式).取便得到的所有主子式.定理7.3.2 是阶实对称矩阵, 正定的充分必要条件是的所有主子式都大于零.证 设为k元二次型,其矩阵为.任取代入,有令,则.由正定,有0,因此

13、正定,从而正定,由性质2, |0,反之，设.的所有主子式0,.从第二行起,逐步对的第行,第列施行同样的第三类初等变换,首先有,其中0,仍为对称矩阵(因为 为第三类初等矩阵).如此下去,最后得. (3)由行列式的性质得知0,0,0,因此0,0,.而(3)相当于,其中为第三类初等矩阵的乘积,而A对应的二次型经可逆变量替换,有的正惯性指数,因而正定,故正定.例1 证明是正定矩阵.证 由于的主子式0,0,0.所以正定.例2 为何值时,二次型是正定二次型.解 的矩阵.的主子式,00由解得0.即当0时,所给二次型为正定二次型.与正定二次型相仿,我们可以定义负定二次型,半正定二次型.即对任意的,若0,那么称为负定二次型;若有0,那么称为半正定二次型.习 题 1.下列矩阵中,哪些是正定矩阵(1) (2) (3).2.下列二次型中,哪些是正定二次型(1) ;(2) .3.取何值时,下列二次型是正定的.4.证明:如果正定,那么、也正定.5.如果阶正定矩阵,证明也是正定矩阵.